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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 So 28.11.2010 | | Autor: | yuppi |
| Aufgabe | Gegeben seien die Vektoren :
x1 = [mm] \vektor{\beta \\ \\alpha \\ 0} [/mm] x2= [mm] \vektor{1 \\ \beta \\ \\alpha} [/mm] x3 = [mm] \vektor{0 \\ \\alpha \\ \beta}
[/mm]
ALPHA UND BETA ELEMENT DER REELEN ZAHLEN |
Hallo zusammen
Für welche Parameterwerte alpha, beta element reeler zahlen gilt :
a) x1, x2,x3 liegen auf einer Geraden
Ich verstehe leider nicht was von mir gefordert wird und wie man an diese Sache rangeht..
Ich könnte das glaub ich nichtsmal mit normalen Zahlen. Kann mir jemand bitte zeigen wie das geht...
Gruß yuppi
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> Gegeben seien die Vektoren :
> x1 = [mm]\vektor{\beta \\ \\alpha \\ 0}[/mm] x2= [mm]\vektor{1 \\ \beta \\ \\alpha}[/mm]
> x3 = [mm]\vektor{0 \\ \\alpha \\ \beta}[/mm]
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> ALPHA UND BETA ELEMENT DER REELEN ZAHLEN
> Hallo zusammen
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> Für welche Parameterwerte alpha, beta element reeler
> zahlen gilt :
>
> a) x1, x2,x3 liegen auf einer Geraden
>
> Ich verstehe leider nicht was von mir gefordert wird und
> wie man an diese Sache rangeht..
>
> Ich könnte das glaub ich nichtsmal mit normalen Zahlen.
> Kann mir jemand bitte zeigen wie das geht...
>
> Gruß yuppi
Nimm dir doch drei Punkte, die tatsächlich einfach auf einer Geraden liegen, z.B. [mm] P_1(1;1;1), P_2(2;2;2) [/mm] und [mm] P_3(3;3;3). [/mm] So die liegen alle auf der Winkelhalbierenden bzw Raumhalbierenden, wie du willst ;) Warum liegen sie alle auf einer Geraden? Augenscheinlich weil sie in die selbe Richtung gehen und direkt hintereinander liegen, das ist klar. Aber man kann dies auch mathematisch z.B: dadurch zeigen, dass die Richtungsvektoren identisch sind bzw ein Vielfaches.
Also der Vektor [mm] \overrightarrow{P_1P_2} [/mm] und der Vektor [mm] \overrightarrow{P_2P_3} [/mm] müssen ja irgendwie identisch sein, wenn alle drei Punkte auf einer Geraden liegen sollen, oder? Nunja, was wären denn die Ergebnisse?:
[mm] $\overrightarrow{P_1P_2}=\vektor{1\\1\\1}$
[/mm]
[mm] $\overrightarrow{P_2P_3}=\vektor{1\\1\\1}$
[/mm]
Ohja, also haben beide den selben Richtungsvektor.
Um jetzt ganz sicher zu gehen, dass die Punkte auf einer Geraden liegen, kannst du für die Punkte [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] eine Geradengleichung aufstellen:
[mm] $g:\vec{x}=\vec{P_1}+\lambda \overrightarrow{P_1P_2}=\vektor{1\\1\\1}+\lambda \vektor{1\\1\\1}$
[/mm]
Diese Gleichung muss auch zu den Punkt [mm] P_3 [/mm] führen, der ja auf dieser Geraden liegen soll.
[mm] $\vektor{3\\3\\3}=\vektor{1\\1\\1}+\lambda \vektor{1\\1\\1}$ [/mm] Dies ist offenbar für [mm] \lambda [/mm] = 2 der Fall.
Sofern ihr schon das Kreuzprodukt oder Vektorprodukt hattet, ginge es auch auf diese Weise. Da gilt nämlich, dass für kollineare Vektoren (mit ein und demselben Richtungssinn) gilt: [mm] $\vec{a} \times \vec{b} [/mm] = 0 $ Weil der Winkel zwischen beiden 0° oder 180° beträgt und der sinus dieses Winkels verschwindet bzw. gleich 0 ist.
Demnach muss auch gelten: [mm] $\overrightarrow{P_1P_2}=\overrightarrow{P_2P_3} \gdw \vektor{1\\1\\1} \times \vektor{1\\1\\1}=\vec{0} [/mm] $
Also entweder bildest du zunächst von deinen drei Punkten jeweils die beiden Richtungsvektoren dazwischen, also bei dir: [mm] \overrightarrow{x_1x_2} [/mm] und [mm] \overrightarrow{x_2x_3} [/mm] und schaust, ob du dann mit einer Geradengleichung den dritten Punkt erreichen kannst oder du löst das Ganze über das Kreuzprodukt
Die Schwierigkeit liegt dann vor allem in einer korrekten Auswertung, du hast hier sehr viele Variablen. Ich komme z.B: auf eine mögliche Lösung, die da lautet [mm] \lambda [/mm] = 0 und [mm] \beta [/mm] = 0, auch wenn sie mir nicht gefällt. So oder so musst du sehr sorgfältig rechnen und nachdenken.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 So 28.11.2010 | | Autor: | yuppi |
Also erstmal vielen Dank für deine super ausführliche Antwort =)
Also ich habe es nun mit den zwei Richtungsvektoren versuchen....
Das mit dem Kreuzprodukt habe ich leider nicht ganz verstande...
Soll ich da von beiden Richtungsvektoren das Kreudprodukt ermitteln ? Und wenn das = 0 ist liegen alle 3 Punkte auf einer Geraden...
Habe ich dich richtig verstanden =?
Also ich habe es zunächst einmal mit den 2. RV ausprobiert.
Also beide waren unterschiedlich...
das heißt aber noch nicht, das diese nicht auf einer geraden liegen..
Ich habe nun eine Gerade in Punkt-Richtungsform gebildet:
g:x = [mm] \vektor{\beta\\ \alpha \\ 0} [/mm] + r [mm] \vektor{1-\beta \\ \beta-\alpha \\ \alpha-0}
[/mm]
Also ich komme nicht auf x2 und x3 durch verändern der Variable r....
Kannst du mir das veranschaulichen vielleicht anhand dieser Aufgabe.. ?
Gruß yuppi
[mm] \vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
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> Also erstmal vielen Dank für deine super ausführliche
> Antwort =)
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> Also ich habe es nun mit den zwei Richtungsvektoren
> versuchen....
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> Das mit dem Kreuzprodukt habe ich leider nicht ganz
> verstande...
>
> Soll ich da von beiden Richtungsvektoren das Kreudprodukt
> ermitteln ? Und wenn das = 0 ist liegen alle 3 Punkte auf
> einer Geraden...
> Habe ich dich richtig verstanden =?
Genau so, das Kreuzprodukt ist nicht nur als Determinante definiert sondern ähnlich wie das Skalarprodukt auch über Betrag der beiden Vektoren * [mm] sin(\phi) [/mm] und wenn alle Punkte auf einer Geraden liegen müssen beide Richtungsvektoren ja einen WInkel von 0 oder 180° einschließen, daher muss das Kreuzprodukt aus den beiden Richtungsvektoren 0 sein, ist ne leichtere Lösung als das was wir jetzt machen
>
> Also ich habe es zunächst einmal mit den 2. RV
> ausprobiert.
>
> Also beide waren unterschiedlich...
> das heißt aber noch nicht, das diese nicht auf einer
> geraden liegen..
richtig! Deshalb habe ich das auch in der Antwort weiter ausgeführt, natürlich haben auch zwei parallele Geraden denselben Richtungsvektor. Das wäre nur eben ein erster Hinweis auf Parallelität. Das letzte Kriterium ist dann, dass der dritte Punkt auf der Geraden liegen muss
>
> Ich habe nun eine Gerade in Punkt-Richtungsform gebildet:
>
> g:x = [mm]\vektor{\beta\\ \alpha \\ 0}[/mm] + r [mm]\vektor{1-\beta \\ \beta-\alpha \\ \alpha-0}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") So habe ich es auch
>
> Also ich komme nicht auf x2 und x3 durch verändern der
> Variable r....
>
Das ist nun auch etwas tricky. Nun zunächst musst du ja erstmal deinen dritten Punkt einbinden, also es muss gelten:
[mm] $\vektor{\beta\\ \alpha \\ 0}+ [/mm] r [mm] \vektor{1-\beta \\ \beta-\alpha \\ \alpha-0}=\vektor{0\\ \alpha \\ \beta}$
[/mm]
das bringt dich zu einem inhomogenen dreizeiligen LGS, dass du versuchen musst zu lösen. SChau mal, wie du damit zurecht kommst ;) Also ich habe jetzt auch nicht direkt eine allg. Lösung gefunden, ich muss dann auch Zahlen annehmen, schauen wir mal zusammen weiter
EDIT: doch eigentlich ist es eine allg. Lösung, da die Probe mit der anderen Variante fehlschlägt, also du kommst eigentlich auf eine Lösung für diese GLeichungen
> Kannst du mir das veranschaulichen vielleicht anhand dieser
> Aufgabe.. ?
>
> Gruß yuppi
>
>
> [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 So 28.11.2010 | | Autor: | yuppi |
ich komme irgendwie nicht klar... also mit dem inhomogenen gleichungssystem...
Ich versuchs mal mit dem Kreuzprodukt vielleicht fällt es mir damit einfacher.. du kannst mir ja dann, wenn das glück für mich bestünde zeigen wie das dann mit dem inhomogenen gleichungssystem geht... da sind für mich relativ variabeln...
ich versuchs also jetzt mit kreuzprodukt und sag dir dann was raus kam...
danke
gruß yuppi
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> ich komme irgendwie nicht klar... also mit dem inhomogenen
> gleichungssystem...
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> Ich versuchs mal mit dem Kreuzprodukt vielleicht fällt es
> mir damit einfacher.. du kannst mir ja dann, wenn das
> glück für mich bestünde zeigen wie das dann mit dem
> inhomogenen gleichungssystem geht... da sind für mich
> relativ variabeln...
>
> ich versuchs also jetzt mit kreuzprodukt und sag dir dann
> was raus kam...
>
> danke
Du hast Glück ;)
Ich hoffe mal, dass die Lösung so korrekt ist, keine Gewähr ;)
Wir waren bei der Gleichung:
$ [mm] \vektor{\beta\\ \alpha \\ 0}+ [/mm] r [mm] \vektor{1-\beta \\ \beta-\alpha \\ \alpha-0}=\vektor{0\\ \alpha \\ \beta} [/mm] $
Das übersetzten wir in ein LGS:
I [mm] $\beta+r-r \beta [/mm] = 0 $
II [mm] $\alpha [/mm] +r [mm] \beta [/mm] - r [mm] \alpha [/mm] = [mm] \alpha$
[/mm]
III $0+r [mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta [/mm] $
Demnach können wir aus der dritten GLeichung direkt den Wert für r ablesen [mm] $r=\bruch{\beta}{\alpha}$
[/mm]
Setzen wir das gefundene r in I und II ein so erhalten wir die GLeichungen:
I: $ [mm] \beta +\bruch{\beta}{\alpha}-\bruch{\beta^2}{\alpha}=0$
[/mm]
II: $ [mm] \alpha [/mm] + [mm] \bruch{\beta^2}{\alpha}-\beta [/mm] = [mm] \alpha$
[/mm]
Lösen wir das jeweils nach [mm] \beta [/mm] auf, so erhalten wir die beiden Abhängigkeitsgleichungen:
I [mm] $\beta*(\beta [/mm] - [mm] (1+\alpha))=0$ [/mm] mit der Lösung $ [mm] \beta [/mm] = 0 $ oder $ [mm] \beta [/mm] = [mm] \alpha [/mm] +1 $
und
II $ [mm] \beta [/mm] * [mm] (\beta [/mm] - [mm] \alpha) [/mm] = 0$ mit den Lösungen [mm] \beta [/mm] = 0 und [mm] \beta [/mm] = [mm] \alpha
[/mm]
Jetzt haben wir zwei Lösungen und damit das LGS aufgeht muss ja die Lösung identisch sein. Aber [mm] \beta [/mm] kann nicht einmal [mm] \alpha [/mm] und einmal [mm] \alpha [/mm] + 1 sein. Daher kann nur [mm] \beta [/mm] = 0 die richtige Lösung sein.
Demnach gilt:
[mm] \beta [/mm] = 0
[mm] r=\bruch{\beta}{\alpha}=0
[/mm]
Jetzt endlich in die Geradengleichung:
$ [mm] \vektor{0\\ \alpha \\ 0}+ [/mm] 0* [mm] \vektor{1-0 \\ 0-\alpha \\ \alpha-0}=\vektor{0\\ \alpha \\0} [/mm] $
Und es stimmt!!
[mm] \alpha [/mm] darf beliebig gewählt werden. Ich weiß nicht, ob dies die einzige Lösung ist, aber auf die schnelle eine scheinbar richtige. Demnach muss [mm] \beta [/mm] null sein, damit die drei Punkte auf einer Geraden liegen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 So 28.11.2010 | | Autor: | yuppi |
Also übers Kreuzprodukt habe ich :
[mm] \vektor{\beta^2 -\alpha*\beta \\ -\alpha*\beta -1\beta +1\beta^2 \\-\beta^2 -\alpha*\beta}
[/mm]
Was soll ich damit anfangen =?
Komme nicht weiter ...
Gruß yuppi
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> Also übers Kreuzprodukt habe ich :
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> [mm]\vektor{\beta^2 -\alpha*\beta \\ -\alpha*\beta -1\beta +1\beta^2 \\-\beta^2 -\alpha*\beta}[/mm]
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> Was soll ich damit anfangen =?
>
> Komme nicht weiter ...
>
> Gruß yuppi
So uff also erstmal diese Lösung, dann die andere, gib mir etwas Zeit ;)
Tjaja, das Kreuzprodukt sieht auf den ersten Blick nicht schlecht aus haha, mag zwar abschrecken, aber ist der bessere Weg ;)
Ich habe die ersten beiden Zeilen identisch, nur bei der letzten erhalte ich [mm] $+\beta^2 [/mm] - [mm] \alpha [/mm] * [mm] \beta$
[/mm]
Ich nehm mal meine Lösung:Wichtig ist, dass das Kreuzprodukt in unserem Fall den Nullvektor ergeben muss, damit die drei Punkte auf einer Geraden liegen, also hast du wieder ein LGS:
[mm] \beta^2-\alpha \beta [/mm] = 0
[mm] \beta^2-\alpha \beta [/mm] - [mm] \beta [/mm] = 0
[mm] \beta^2-\alpha \beta [/mm] = 0
Gleichung I und III sind identisch, eine kann gestrichen werden. Lösung des LGS:
[mm] \beta*(\beta [/mm] - [mm] \alpha)=0 [/mm] => [mm] \beta [/mm] = 0 oder [mm] \beta [/mm] = [mm] \alpha
[/mm]
[mm] \beta [/mm] * [mm] (\beta [/mm] - [mm] (\1 [/mm] + [mm] \alpha [/mm] )) = 0 => [mm] \beta [/mm] = 0 oder [mm] \beta [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + 1
Ab hier sind wir genau dort, wo wir bei der ersten Lösung schon waren. Zwei Bedingungen und es kann nur [mm] \beta [/mm] = 0 stimmen. Nur bist du damit hier schon fertig, denn wenn das Kreuzprodukt 0 ist, sind sie auf einer Geraden.
Uff...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 So 28.11.2010 | | Autor: | yuppi |
also wenn ich das zusammenaddiere kommt nicht 0 raus...
aber ich weiß ja auch nicht was die variabeln sind..
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