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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 So 22.11.2009 | | Autor: | DasDogma |
| Aufgabe | Betrachten Sie das von einem Parameter [mm]a \in[-1,1][/mm] abhängige Anfangswertproblem
[mm]x'(t,a)=(a+1)^2t^2+x(t,a), x(0,a)=sin(2a). [/mm]
Entwickeln Sie die Lösung [mm]x(t,a)[/mm] in ein Taylorpolynom zweiten Grades in a zum Aufpunkt [mm]a_{0}=0.[/mm] |
Hallo,
Ich habe diese Aufgabe in keinen anderen Foren gepostet.
Also ich habe die Aufgabe noch nicht komplett durchgerechnet, sondern erst mal bei einem Punkt stehen geblieben und wollte mal gucken was ihr sagt, weil ich mir da noch recht unsicher bin. Hier meine Lösung:
1.
[mm]a=0 \to x'(t,0)=t^2+x(t,0), x(0,0)=0 [/mm]
a) homogene Lösung ist [mm] x_{h}(t,0)=Ce^t[/mm]
b) inhomogene Lösung
[mm]x_{p}(t,0)=C(t,0)e^t[/mm]
[mm]x_{p}'(t,0)=C(t,0)e^t+C'(t,0)e^t=C(t,0)e^t+t^2[/mm]
[mm]C'(t,0)=t^2e^t \Rightarrow C(t,0)=\integral_{}^{}{t^2e^t dt}[/mm]
[mm]x_{p}(t,0)=-t^2-2t-2[/mm]
[mm]x(t,0)=x_{h}(t,0)+x_{p}(t,0)=Ce^t-t^2-2t-2[/mm]
[mm]C=2[/mm]
[mm]x(t,0)=2e^t-t^2-2t-2 [/mm]
Hier habe ich also den ersten Teil für das Taylorpolynom.
2.
[mm]x(t,a)=x(0,a)+\integral_{0}^{t}{[(a+1)^2u^2+x(u,a)] du}[/mm]
Jetzt leite ich nach a ab.
[mm]x_{a}(t,a)=x_{a}(0,a)+\integral_{0}^{t}{[2u^2(a+1)+x_{a}(u,a)] dx}[/mm]
Und nun nach t
[mm]\bruch{\partial}{\partial t}x_{a}(t,a)=x_{a}(t,a)+2t^2(a+1)[/mm]
Jetzt habe ich die zweite zu lösende DGL für das Taylorpolynom.
3.
Setze a=0
[mm]\bruch{\partial}{\partial t} x_{a}(t,0)=x_{a}(t,0)+2t^2[/mm]
4. Lösen der neuen DGL
a) homogene Lösung
[mm]x_{a_{h}}(t,0)=Ce^t[/mm]
b) inhomogene Lösung
[mm]x_{a_{p}}(t,0)=C(t,0)e^t[/mm]
[mm]x_{a_{p}}'(t,0)=C'(t,0)e^t+C(t,0)e^t=C(t,0)e^t+2t^2[/mm]
[mm]\Rightarrow C'(t,0)=2t^2e^{-t}[/mm]
[mm]C(t,0)=\integral_{}^{}{2t^2e^{-t} dt}=2e^{-t}(-t^2-2t-2)[/mm]
[mm]x_{a_{p}}(t,a)=2(-t^2-2t-2) \Rightarrow x_{a}(t,a)=Ce^t+2(-t^2-2t-2), x_{a}(0,0)=2cos(2*0)=2[/mm]
[mm]x_{a}(0,0)=C-4=2 \Rightarrow C=6[/mm]
[mm]x_{a}(t,0)=6e^t+2(-t^2-2t-2)[/mm]
So bis hier her habe ich gerechnet. Ich muss dann das ganze noch einmal machen, aber ich wollte wissen, ob ich bis hier her erst einmal richtig gerechnet habe.
Ich hoffe Ihr könnt mir das bestätigen oder mir andernfalls weiter helfen.
Gruß
Das Dogma
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 So 22.11.2009 | | Autor: | Dath |
Tipp: lös doch mal in Abhängigkeit von [mm]a[/mm]. Das ist ja nur eine Konstante, die wir nicht kennen. Die Rückführung auf eine Integralgleichung erster ordnung ist ja nett, aber ich weiß nicht, ob ihr das schon machen dürft. So grundsätzlich würde ich sagen, dass die Idee richtig ist, aber es liefert nix neues.
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Also ich denke schon, dass wir das so machen dürfen, da wir das so in der Übung an einem "viel zu einfachen" Beispiel erklärt bekommen haben.
Gut aber wenn Du meinst, dass meine Rechnung an sich stimmt, dann bin ich schon zufrieden. 
Vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Di 24.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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