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| Aufgabe | Es sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] definiert durch
[mm] f(t)=\integral_{0}^{1}{\bruch{e^{(1+x^{2})t^{2}}}{1+x^{2}} dx}.
[/mm]
a) Zeige, dass f differenzierbar ist mit [mm] f'(t)=-2e^{-t^{2}}*\integral_{0}^{t}{e^{-u^{2}} du}
[/mm]
b) Zeige nun: [mm] (\integral_{0}^{t}{e^{-u^{2}} du})^{2}=\bruch{\pi}{4}-f(t)
[/mm]
c) Beweise: [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-u^{2}} du}=\bruch{\wurzel{\pi}}{2}. [/mm] |
Hallo,
sitze jetzt schon ewig lange an der a) und versuche den Integranten nach t abzuleiten, um f'(t) zu bekommen. Aber irgendwie will das nicht klappen.
Kann mir vielleicht jemand ein bisschen helfen?
Warum steht bei der Ableitung als obere Grenze auf einmal t und nicht 1???
Mein Ansatz ist, dass ich [mm] 1+x^{2} [/mm] mit u substituiere und dann weiterrechne.
Aber wie gesagt. Es klappt einfach nicht.
Gruß Waldemar
Danke für jeden hilfreichen Tip
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Hallo Walodja1987,
> Es sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] definiert durch
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> [mm]f(t)=\integral_{0}^{1}{\bruch{e^{(1+x^{2})t^{2}}}{1+x^{2}} dx}.[/mm]
>
>
> a) Zeige, dass f differenzierbar ist mit
> [mm]f'(t)=-2e^{-t^{2}}*\integral_{0}^{t}{e^{-u^{2}} du}[/mm]
>
> b) Zeige nun: [mm](\integral_{0}^{t}{e^{-u^{2}} du})^{2}=\bruch{\pi}{4}-f(t)[/mm]
>
> c) Beweise: [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-u^{2}} du}=\bruch{\wurzel{\pi}}{2}.[/mm]
> Hallo,
>
> sitze jetzt schon ewig lange an der a) und versuche den
> Integranten nach t abzuleiten, um f'(t) zu bekommen. Aber
> irgendwie will das nicht klappen.
>
> Kann mir vielleicht jemand ein bisschen helfen?
>
> Warum steht bei der Ableitung als obere Grenze auf einmal t
> und nicht 1???
>
> Mein Ansatz ist, dass ich [mm]1+x^{2}[/mm] mit u substituiere und
> dann weiterrechne.
Wo kommt plötzlich das "-" bei den Aufgabenteilen her?
Teile den Exponenten in zwei Summanden auf und substituiere dann.
>
> Aber wie gesagt. Es klappt einfach nicht.
>
> Gruß Waldemar
>
> Danke für jeden hilfreichen Tip
Gruß
MathePower
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Ist das richtig, dass ich [mm] 1+x^{2} [/mm] mit u substituieren muss?
Kann mir bitte jemand sagen, warum in Aufgabe a) bei der Ableitung beim Integral als obere Grenze auf einmal t steht?
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Hallo Walodja1987,
> Ist das richtig, dass ich [mm]1+x^{2}[/mm] mit u substituieren muss?
Ziehe den Exponenten auseinander:
[mm]\left(1+x^{2}\right)*t^{2}=t^{2}+x^{2}*t^{2}[/mm]
Nun substituiere u=x*t[/mm]
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> Kann mir bitte jemand sagen, warum in Aufgabe a) bei der
> Ableitung beim Integral als obere Grenze auf einmal t
> steht?
Gruß
MathePower
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Hmm... ok ich habe jetzt u=xt gesetzt.
Jetzt sieht es bei mir so aus.
[mm] \bruch{e^{-t^{2}-u^{2}}}{1+x^{2}} [/mm] jetzt ohne Integral geschrieben.
was ist jetzt mit dem Nenner? Wie soll ich denn jetzt diesen Bruch ableiten?
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Hallo Wolodja1987,
> Hmm... ok ich habe jetzt u=xt gesetzt.
>
> Jetzt sieht es bei mir so aus.
>
> [mm]\bruch{e^{-t^{2}-u^{2}}}{1+x^{2}}[/mm] jetzt ohne Integral
> geschrieben.
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> was ist jetzt mit dem Nenner? Wie soll ich denn jetzt
> diesen Bruch ableiten?
Du musst erst die Ableitung nach t bilden und dann substituieren.
Gruß
MathePower
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Achso ok, ich versuche das morgen mal, weil jetzt ist schon spät.
Danke für die Tipps.
Bis morgen.
Gruß Walodja1987
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Hallo, komme einfach nicht weiter bei diese Aufgabe. Ich leite zuerst nach t ab, das [mm] 1+x^{2} [/mm] kürzt sich weg und dann substituiere ich u mit x*t.
Kann mir bitte jemand weiter helfen?
Dankeschön
Gruß Walodja1987
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Mi 04.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich nehm mal an im ersten Int. hast du das - vergessen?
differenziert hast du als Integrand:
[mm] -e^{-t^2}*2t*e^{-x^2*t^2}
[/mm]
[mm] -2e^{-t^2} [/mm] ziehst du aus dem Integral.
dann u=t*x , du=tdx Integrationsgr: x=0=>u=0 ;x=1=>u=t
Kommst du damit hin?
sonst schreib mal was du so rechnest.
Gruss leduart
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hey super vielen Dank für diesen Hinweis mit dem Rausziehen aus dem Integral. Könntest du mir vielleicht noch sagen, warum dann aufeinmal bei der Ableitung beim Integral ein t als obere Grenze gesetzt ist?
Dankeschön
Gruß Walodja1987
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| Aufgabe | b) Zeige nun:
[mm] (\integral_{0}^{t}{e^{-u^{2}} du})^{2}=\bruch{\pi}{4}-f(t)
[/mm]
c) Beweise:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-u^{2}} du}=\bruch{\wurzel{\pi}}{2}. [/mm] |
Diese beiden Aufgaben fehlen mir noch.
Bin gerade bei der b), aber es klappt einfach nicht. Bringt es mir was, wenn ich weiß, dass [mm] arctan(1)=\bruch{\pi}{4} [/mm] ist? Wie muss ich denn das Integral zum Quadrat nehmen? Muss ich wieder Rücksubstituieren?
Wäre sehr dankbar für hilfreiche Tipps.
Dankeschön
Gruß Walodja1987
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 07.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:17 Mi 04.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum das t als obere Grenze steht steht in meinem post schon. Auch Grenzen muss man subst.!
Gruss leduart
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