Parameteraufgabe/Falluntersch. < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Di 14.02.2006 | | Autor: | Mathe0 |
| Aufgabe | Folgende Funktion ist gegeben:
[mm] f_t(x)= \bruch{(t+1)}{16}*x^4- \bruch{1}{16}*x^3 -\bruch{t+1}{2}*x^2+3/4*x+t
[/mm]
1. Bestimmen Sie die Hoch und Tiefpunkte.
2. Für welche Werte von t hat das Schaubild zwei Hochpunkte?
3. Für welche Werte von t liegt der Extremwert an der Stelle [mm] x=\bruch{3}{4*(t+1)} [/mm] links von 2 bzw. rechts von -2. |
Hallo,
habe hier eine Parameteraufgabe bei der ich nicht auf die richtige Lösung komme. Ich poste mal meinen Lösungweg und hoffe mir kann jemand einen Tip geben wo mein Fehler liegt.
Zu 1) Eigentlich kein Problem durch gleichsetzen der ersten Ableitung mit null bekomme ich als Extremstellen: x=3/(4*(t+1)); x=2; x=-2
Wenn ich mit dem Taschenrechner kontrolliere kommt das auch so hin.
Zu 2) Soll es ein Hochpunkt sein muss ja die zweite Ableitung kleiner als null sein. Ich habe deshalb folgende Bedingung aufgestellt:
f''_t(2)<0 und f''_t(-2)<0
[mm] \Rightarrow [/mm] 0>2*t+5/4
0>2*t+11/4
Dann bekomme ich für t raus t<-5/8 und t<-11/8
Also für t<-11/8 stimmt es, da bekomme ich zwei Hochpunkte aber bei t<-5/8 weiterhin zwei Tiefpunkte. Warum das? Es sollten dann doch auch zwei Hochpunkte vorhanden sein?
Zu 4) Hier habe ich mir überlegt das der variable Punkte nur links von zwei liegen kann, wenn bei zwei entweder ein Tiefpunkt und bei -2 ein Hochpunkt oder bei zwei ein HP und bei -2 ein TP ist.
Also folgende Bedingungen:
[mm] f''_t(x)=t*(\bruch{3*x^2}{4}-1)+\bruch{3*x^2}{4}-\bruch{3*x}{8}-1
[/mm]
f''_t(2)>0 und f''_t(-2)<0
oder f''_t(2)<0 und f''_t(-2)>0
Stimmt das soweit? Ich bekomme hier einfach keine vernünftigen Lösungen raus wenn ich das als Gleichungssystem in den Taschenrechner eingebe. Kann mir jemand einen Tipp geben?
Schonmal Danke
Mfg
Mathe0
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Mathe0,
> Folgende Funktion ist gegeben:
> [mm]f_t(x)= \bruch{(t+1)}{16}*x^4- \bruch{1}{16}*x^3 -\bruch{t+1}{2}*x^2+3/4*x+t[/mm]
>
> 1. Bestimmen Sie die Hoch und Tiefpunkte.
>
> 2. Für welche Werte von t hat das Schaubild zwei
> Hochpunkte?
>
> 3. Für welche Werte von t liegt der Extremwert an der
> Stelle [mm]x=\bruch{3}{4*(t+1)}[/mm] links von 2 bzw. rechts von
> -2.
> Hallo,
>
> habe hier eine Parameteraufgabe bei der ich nicht auf die
> richtige Lösung komme. Ich poste mal meinen Lösungweg und
> hoffe mir kann jemand einen Tip geben wo mein Fehler liegt.
>
> Zu 1) Eigentlich kein Problem durch gleichsetzen der ersten
> Ableitung mit null bekomme ich als Extremstellen:
> x=3/(4*(t+1)); x=2; x=-2
>
> Wenn ich mit dem Taschenrechner kontrolliere kommt das auch
> so hin.
Das bekomme ich auch ohne Taschenrechner heraus. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Zu 2) Soll es ein Hochpunkt sein muss ja die zweite
> Ableitung kleiner als null sein. Ich habe deshalb folgende
> Bedingung aufgestellt:
>
> f''_t(2)<0 und f''_t(-2)<0
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0>2*t+5/4
> 0>2*t+11/4
>
> Dann bekomme ich für t raus t<-5/8 und t<-11/8
>
> Also für t<-11/8 stimmt es, da bekomme ich zwei Hochpunkte
> aber bei t<-5/8 weiterhin zwei Tiefpunkte. Warum das? Es
> sollten dann doch auch zwei Hochpunkte vorhanden sein?
Zu untersuchen ist auch noch, für welche t bei [mm]x\;=\;\bruch{3}{4\;(t\;+\;1)}[/mm] ein Hochpunkt vorliegt.
Das musste dann mit den anderen beiden Lösungen irgendwie verkuddeln.
>
> Zu 4) Hier habe ich mir überlegt das der variable Punkte
> nur links von zwei liegen kann, wenn bei zwei entweder ein
> Tiefpunkt und bei -2 ein Hochpunkt oder bei zwei ein HP und
> bei -2 ein TP ist.
>
> Also folgende Bedingungen:
>
> [mm]f''_t(x)=t*(\bruch{3*x^2}{4}-1)+\bruch{3*x^2}{4}-\bruch{3*x}{8}-1[/mm]
>
> f''_t(2)>0 und f''_t(-2)<0
>
> oder f''_t(2)<0 und f''_t(-2)>0
Hier würde ich einfach die Ungleichung
[mm]-2\;<\;\bruch{3}{4\;(t\;+\;1)}\;<\;2[/mm]
betrachten und auf Erfüllbarkeit untersuchen.
>
> Stimmt das soweit? Ich bekomme hier einfach keine
> vernünftigen Lösungen raus wenn ich das als
> Gleichungssystem in den Taschenrechner eingebe. Kann mir
> jemand einen Tipp geben?
>
> Schonmal Danke
> Mfg
> Mathe0
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>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Mi 15.02.2006 | | Autor: | Mathe0 |
Hallo,
danke für die Antwort.
Ich habe mich jetzt nochmal an die Aufgabe drangesetzt hänge aber trotzdem fest
Also zu 2. Wenn ich jetzt noch wie mir geraten untersuche wann der variable Extrempunkt bei [mm] \bruch{3}{4*(t+1)} [/mm] ein Hochpunkt ist, dann untersuche ich diese [mm] Gleichung:f''_t(\bruch{3}{4*(t+1)})<0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 0> [mm] \bruch{9}{64*(t+1)}-t-1
[/mm]
Am Ende bekomme ich dann eine Gleichung die so aussieht: [mm] 64*t^2+128t+64>9 [/mm] und ab da weis ich nicht mehr wie ich weiter machen soll.
Was mich auch wundert ist, dass wenn ich in meinen TI-92Plus
f''_t(2)<0 und f''_t(-2)<0 eingebe, er mir nur -5/8 als Lösung rausbringt.
Zu 3.
Hier habe ich Probleme mit den Ungleichungen
1. Ungleichung
-2<3/(4t+1)
-2(4t+4<3
-8t<11
t<-11/8
2. Ungleichung
2>3/(4t+4)
8t+8>3
t>--5/8
Wenn jetzt t als negativ angenommen wird verändert sich doch das><-Zeichen und man kann wiedersprüchliche Lösungen irgendwie ausschließen. Ich bekomme das aber irgendwie nicht mehr richtig auf die Reihe. Kann mir jemand bei den Ungleichungen helfen?
Schonmal Danke
Mfg
Mathe0
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Hallo Mathe0!
Bei der Umformung der Ungleichungen musst du im ersten Schritt aufpassen, ob Du mit einem positiven Wert multiplizierst oder einem negativen:
$4*(t+1) \ > \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $t \ > \ -1$
$4*(t+1) \ < \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $t \ < \ -1$
Daher musst Du hier eine Fallunterscheidung vornehmen. Ich zeige Dir das mal an einer der beiden Ungleichungen:
$-2 \ < \ [mm] \bruch{3}{4*(t+1)}$
[/mm]
Fall 1: $4*(t+1) \ > \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $t \ > \ -1$
[mm] $\gdw$ [/mm] $-2*4*(t+1) \ < \ 3$
[mm] $\gdw$ [/mm] $-8t-8 \ < \ 3$
[mm] $\gdw$ [/mm] $-8t \ < \ 11$
[mm] $\gdw$ [/mm] $t \ [mm] \red{>} [/mm] \ [mm] -\bruch{11}{8} [/mm] \ = \ -1.375$ Ungleichheitszeichen umkehren, da Division durch negative Zahl!
Teillösungsmenge: [mm] $L_1 [/mm] \ = \ [mm] \left\{ \ t \ > \ 1 \ \right\}$
[/mm]
Fall 2: $4*(t+1) \ < \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $t \ < \ -1$
[mm] $\gdw$ [/mm] $-2*4*(t+1) \ [mm] \red{>} [/mm] \ 3$
[mm] $\gdw$ [/mm] $-8t-8 \ > \ 3$
[mm] $\gdw$ [/mm] $-8t \ > \ 11$
[mm] $\gdw$ [/mm] $t \ [mm] \red{<} [/mm] \ [mm] -\bruch{11}{8} [/mm] \ = \ -1.375$ Ungleichheitszeichen umkehren, da Division durch negative Zahl!
Teillösungsmenge: [mm] $L_2 [/mm] \ = \ [mm] \left\{ \ t \ < \ -\bruch{11}{8} \ \right\}$
[/mm]
Damit ergibt sich folgende Gesamlösungsmenge:
$L \ = \ [mm] L_1 [/mm] \ [mm] \cup [/mm] \ [mm] L_2 [/mm] \ = \ [mm] \left\{ \ t \ < \ -\bruch{11}{8} \ \vee \ t \ > \ 1 \right\} [/mm] \ = \ [mm] \left]-\infty;-\bruch{11}{8}\right[ [/mm] \ [mm] \cup [/mm] \ [mm] \left]1;+\infty\right[$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Mathe0!
Zu Deinem Problem mit der 2. Ableitung. Auch hier musst Du dieselbe Fallunterscheidung vornehmen mit $t \ > -1$ bzw. $t \ < \ -1$ (siehe andere Antwort).
Anschließend musst Du die entstehende quadratische Gleichung in $t_$ lösen, zB. mit der  p/q-Formel.
Gruß vom
Roadrunner
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