Parameterdarstellung von Gerad < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:57 Di 16.11.2004 | | Autor: | Logan |
Hallo,
verstehe folgende zwei Aufgaben nicht.
Aufgabe 1:
Begründe: Die Gerade durch die Punkte A und B wird auch durch die folgende Parameterdarstellung beschrieben.
1) [mm] \vec x= \overrightarrow{0A} + \bruch{1}{2} \times \overrightarrow{AB} - t \times \overrightarrow{BA}[/mm]
Wieso kann man die Gerade auch mit dieser Parameterdarstellung beschreiben und was ist hierbei [mm] \bruch{1}{2} \times \overrightarrow{AB} - t \times \overrightarrow{BA} [/mm]
Aufgabe 2:
Begründe allgemein:
Ist [mm]\vec v (\vec v \not= \vec o) [/mm] ein Richtungsvektor einer Geraden, so ist auch jeder Vektor [mm] s \times \vec v (s \not= 0) [/mm]
ein Richtungsvektor dieser Geraden.
Kann mir jemand erklären wieso das so ist?
Danke.
Logan
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Di 16.11.2004 | | Autor: | Youri |
> Hallo,
Hallo Logan!
Welcome back 
> Aufgabe 1:
>
> Begründe: Die Gerade durch die Punkte A und B wird auch
> durch die folgende Parameterdarstellung beschrieben.
Huch, Du machst Lineare Algebra.
> 1) [mm]\vec x= \overrightarrow{0A} + \bruch{1}{2}* \overrightarrow{AB} - t * \overrightarrow{BA}[/mm]
> Wieso kann man die Gerade auch mit dieser
> Parameterdarstellung beschreiben und was ist hierbei
> [mm]\bruch{1}{2} * \overrightarrow{AB} - t * \overrightarrow{BA}[/mm]
Ich hab das mit den Vektoren hier noch nie ausprobiert.
Also entschuldige, wenn ich ein paar Minuten brauche...
Jetzt wäre schön, wenn ich wüsste, was Du schon so über Geraden weisst.
Also: eine Gerade in der Parameterdarstellung ist folgendermaßen aufgebaut:
[mm] g: \vec{x}=\vec{p} + t*\vec{r} [/mm]
Hierbei ist der Stützvektor oder immer Du das nennen willst [mm]\vec{p}[/mm]. Durch diesen Vektor findest Du Deinen "Startpunkt" [mm]P[/mm] im Raum/ im Koordinatensystem.
Von dort aus wird dann mithilfe des Richtungsvektors ein Weg eingeschlagen. Und damit Du jeden Punkt auf der Geraden darstellen kannst, addierst Du ein variables Vielfaches des Vektors.
[Sehr unmathematisch formuliert]
In Deinem Beispiel möchte man nun wissen -
wird die Gerade durch die Punkte [mm]A, B [/mm], die man allgemein am leichtesten folgendermaßen darstellen kann:
[mm] g: \vec{x}= \overrightarrow{0A} + t*\overrightarrow{AB} [/mm]
auch dargestellt durch:
[mm]\vec{x}= \overrightarrow{0A} + \bruch{1}{2} * \overrightarrow{AB} - t * \overrightarrow{BA}[/mm]
Dann formen wir doch die zweite Darstellung mal mithilfe des Wissens über Vektoren ein wenig um...
Du weisst bestimmt:
[mm]\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}[/mm]
Mit diesem Wissen wird aus:
[mm]\vec{x}= \overrightarrow{0A} + \bruch{1}{2}* \overrightarrow{AB} - t * \overrightarrow{BA}[/mm]
[mm]\vec{x}= \overrightarrow{0A} + \bruch{1}{2} * \overrightarrow{AB} + t * \overrightarrow{AB}[/mm]
Den gemeinsamen Faktor [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] ausklammern...
[mm]\vec{x}= \overrightarrow{0A} + (\bruch{1}{2}+t)* \overrightarrow{AB}[/mm]
Wenn Du das nun mit der "naheliegendsten" Darstellung der Gerade vergleichst, stimmen "beide" bis auf den Faktor vor dem Richtungsvektor überein. Da dieser Faktor aber eine beliebige Zahl [mm] t \in \IR [/mm] ist, handelt es sich um dieselbe Gerade.
Klar geworden? Du kannst auch einfach den Vorfaktor vor der Richtungsvektor durch eine andere Variable [mm] s \in \IR [/mm] ersetzen.
Ähnlich funktioniert das bei:
> Aufgabe 2:
>
> Begründe allgemein:
>
> Ist [mm]\vec v (\vec v \not= \vec o)[/mm] ein Richtungsvektor einer
> Geraden, so ist auch jeder Vektor [mm]s \times \vec v (s \not= 0)[/mm]
> ein Richtungsvektor dieser Geraden.
Ich nehme mal an, wir befinden uns im Zweidimensionalen (reine Bequemlichkeit).
[mm] g_1: \vec{x}=\vec{p} + t*\vec{r} [/mm]
[mm] g_1: \vektor{x_1 \\ x_2 }=\vektor{p_1 \\ p_2} + t*\vektor{r_1 \\ r_2} [/mm]
Die zweite Gerade hat nun einen anderen Richtungsvektor...
[mm] g_2: \vektor{x_1 \\ x_2 }=\vektor{p_1 \\ p_2} + t*\vektor{s*r_1 \\ s*r_2} [/mm]
Dabei ist wie immer [mm] s,t \in \IR [/mm]
Fällt Dir ein Trick ein, so dass Du sehen kannst, dass die beiden Richtungsvektoren dieselbe Funktion erfüllen?
Versuche es mal...
Lieben Gruß,
Andrea.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 21:12 Di 16.11.2004 | | Autor: | Logan |
Zunächst einmal vielen Dank für die Antwort und für deine Bemühungen mir zu helfen.
Obwohl deine Hilfestellungen zu den Aufgaben sehr gut waren, könnte ich dennoch noch ein bisschen Hilfe gebrauchen.
Zu Aufgabe 1:
Was bei meinen Überlegungen zu dieser Aufgabe gefählt hat war folgendes: [mm]\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}[/mm]
Jedoch verstehe ich noch nicht ganz, was denn die Zahl 1/2 in der ganzen Gleichung zu suchen hat.
zu Aufgabe 2:
> Fällt Dir ein Trick ein, so dass Du sehen kannst, dass die beiden Richtungsvektoren dieselbe Funktion erfüllen?
Leider nicht.
Und irgendwie verstehe ich noch nicht, wie [mm]\vec v (\vec v \not= \vec o)[/mm] und [mm]s \times \vec v (s \not= 0)[/mm], Richtungsvektoren der Gleichen gerade sein können.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Di 16.11.2004 | | Autor: | Youri |
> Zunächst einmal vielen Dank für die Antwort und für deine
> Bemühungen mir zu helfen.
Jederzeit gerne! ("Imma für Sie daaaaaaaaaaa" knurrt Marc)
> Obwohl deine Hilfestellungen zu den Aufgaben sehr gut
> waren, könnte ich dennoch noch ein bisschen Hilfe
> gebrauchen.
Didaktisch 1a, mein lieber Logan!
> Zu Aufgabe 1:
>
> Was bei meinen Überlegungen zu dieser Aufgabe gefählt hat
> war folgendes: [mm]\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}[/mm]
>
> Jedoch verstehe ich noch nicht ganz, was denn die Zahl 1/2
> in der ganzen Gleichung zu suchen hat.
Meiner Meinung nach soll Dich das nur verwirren.
Es wird einfach ein "halber Richtungsvektor" addiert - Du kannst
Dir aussuchen, ob Du ihn beim zusammenfassen dem Stützvektor
zuschlägst (hätte Marc gemacht), oder aber meinen Weg gehst.
> zu Aufgabe 2:
>
> > Fällt Dir ein Trick ein, so dass Du sehen kannst, dass
> die beiden Richtungsvektoren dieselbe Funktion erfüllen?
>
> Leider nicht.
> Und irgendwie verstehe ich noch nicht, wie [mm]\vec v (\vec v \not= \vec o)[/mm]
> und [mm]s \times \vec v (s \not= 0)[/mm], Richtungsvektoren der
> Gleichen gerade sein können.
Hmph. Du hast eine Gerade. Der Richtungsvektor macht es Dir möglich, jeden Punkt auf der Geraden darzustellen. Ist der Wert für die Variable vor dem Richtungsvektor "0" - dann ist der dargestellte Punkt genau der Punkt P. Ist t=1 erhältst Du den Punkt, der vom Punkt P aus genau einmal den Richtungsvektor entfernt ist.
Diesen Faktor "s", der den Unterschied zwischen den beiden Richtungsvektoren ausmacht - kannst Du "ausklammern" - dann stimmen die beiden Vektoren überein.
Anders: Da es um eine Richtung geht - ist es ja egal, wie weit man in eine Richtung geht. Dadurch ändert sich die Richtung nicht. Man bleibt auf der Geraden.
Demnach:
$ [mm] g_2: \vektor{x_1 \\ x_2 }=\vektor{p_1 \\ p_2} [/mm] + [mm] t\cdot{}\vektor{s\cdot{}r_1 \\ s\cdot{}r_2} [/mm] $
Zieh den Faktor "s" vor den Vektor...
$ [mm] g_2: \vektor{x_1 \\ x_2 }=\vektor{p_1 \\ p_2} [/mm] + [mm] t*s*\vektor{r_1 \\ r_2} [/mm] $
Schon sieht die Gerade fast aus wie die erste.
[mm]t*s[/mm] ist auch nur eine reelle Zahl, der Richtungsvektor stimmt überein, der Ortsvektor ist derselbe.
Ich würde Dir empfehlen, mal ein paar Punkte einer konkreten Gerade in ein Koordinatensystem zu zeichnen - wähle diverse Werte für die Variable t, und berechne die Punkte - und dann darfst Du auch verbinden 
Das ganze ist ein bisschen gewöhnungsbedürftig, ist aber auch kein großer Unterschied zu linearen Funktionen mit ewig gleicher Steigung und Achsenabschnitt.
Loos, Logan
Lieben Gruß,
Andrea.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 Do 18.11.2004 | | Autor: | Emily |
Hallo Logan,
du solltst in der Vektorrechnung nicht die Operatoren " ." und " [mm] \times [/mm] "
verwechseln. Der "Malpunkt" gilt bei reelle Zahl mal Vektor (S - Multiplikation) oder bei
Vektor mal Vektor (Skalarprodukt).
Das "Malkreuz" steht für Vektor mal Vektor (Vektorprodukt).
Liebe Grüße
Emily
|
|
|
|
