Parameterdarstellung von L < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 & 2 & |0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & |-1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & |0}
[/mm]
[mm] \IL [/mm] = [mm] \{ \vektor{0 \\ 0 \\ -1 \\ 0} + s\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0} + t\vektor{-2 \\ 0 \\ -1 \\ 1}\}
[/mm]
Satz: (Parameterdarstellung)
Sei A [mm] \in K^{m x n} [/mm] eine Matrix in reduzierter Gauß'scher Normalform mit r Stufen und sei b [mm] \in K^{m x 1}. [/mm] Ist Ax = b lösbar, dann gilt
Lös(A,b) = [mm] \{ v + w | w = \summe_{k=1}^{n-r} \lambda_{k}w_{k} mit \lambda_{i} \in K \}
[/mm]
- wobei v die Spalte ist, die an den Stellen [mm] j_{i} [/mm] (1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] r) den Eintrag [mm] b_{i} [/mm] hat und sonst 0
- [mm] \{l_{1}, ..., l_{n-r}\} [/mm] := [mm] \{1, ..., n\} [/mm] \ [mm] \{j_{i}, ..., j_{r}\} [/mm] mit [mm] l_{1} [/mm] < [mm] l_{2} [/mm] < ... < [mm] l_{n-r}
[/mm]
- für alle k = 1, ..., n-r definieren wir [mm] w_{k} [/mm] als die Spalte, die an den Stellen [mm] j_{i} [/mm] (1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] r) den Eintrag [mm] -a_{il_{k}} [/mm] hat, an der Stelle [mm] l_{k} [/mm] den Eintrag 1 und sonst 0
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wir haben heute im Tutorium das Gauß-Jordan-Verfahren geübt, was für mich auch kein Problem darstellt. Unser Tutor hat uns auch gesagt, wie man anhand der Gauß'schen Normalform sofort die Lösung inklusive der Parameterdarstellung ablesen kann.
Ich habe zwar verstanden, wie er auf den ersten Vektor [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ -1 \\ 0} [/mm] innerhalb der Lösungsmenge kommt aber konnte seinen Erklärungen bezüglich der beiden folgenden Vektoren nicht folgen. Als ich nachfragte, verwies er auf den oben angegebenen Satz aus der Vorlesung. Ich habe zwar versucht ihn zu verstehen aber solche Verfahren - ohne ein handfestes Beispiel vor mir zu haben - verstehe ich nur sehr schwer. Wie man auf die Parameterdarstellung ohne diesen Satz kommt weiß ich.. ich will jedoch verstehen, wie man das so schnell hinbekommen kann.
Könnte mir einer von euch bitte anhand des Beispiels Schritt für Schritt erklären, wie man auf die Parameterdarstellung kommt? Dankeschön
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> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 & 2 & |0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & |-1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & |0}[/mm]
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> [mm]\IL[/mm] = [mm]\{ \vektor{0 \\ 0 \\ -1 \\ 0} + s\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0} + t\vektor{-2 \\ 0 \\ -1 \\ 1}\}[/mm]
>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich glaube, Dir fehlt gerade ein Kochrezept aus der Sammlung einer gestandenen Hausfrau.
Paß auf:
wenn man eine Matrix auf reduzierte Zeilenstufenform gebracht hast, schön mit Nullen über den führenden Elementen (Pivots)),
dann schiebt man Zeilen ein, mit denen man sie zu einer quadratischen Matrix mit vollem Rang erweitert. Die einzuschiebenden Zeilen bestehen aus Nullen mit Ausnahme des führenden Elementes, welches -1 ist.
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 & 2 & |0 \\ \red{0} & \red{-1} &\red{0} & \red{0}& |\red{0}\\0 & 0 & 1 & 1 & |-1 \\ \red{0} &\red{0} & \red{0} &\red{-1} & |\red{0}}
[/mm]
Die Spalten mit den eingeschobenen -1 sind die Spalten vor den Parametern, hinter dem Strich sthet die ohne Parameter.
(Wenn's Dich stört, drehst Du's halt
[mm] \pmat{ 1 & \blue{-1} & 0 & \blue{2} & |0 \\ 0 & \blue{-1} &0 & \blue{0}& |0\\0 & \blue{0} & 1 &\blue{1} & |-1 \\0&\blue{0} & 0 &\blue{-1} & |0}.
[/mm]
Daß deren Vorzeichen genau andersrum ist als bei Deinem Tutor, muß Dich nicht weiter kümmern. Das ist egal. (Wenns Dich stört, drehst Du halt die Vorzeichen um.)
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | [mm] \pmat{ 1 & 0 & 4 & | 1 \\ 0 & 1 & 2 & | 4 \\ 0 & 0 & 0 & | 0 \\ 0 & 0 & 0 & | 0}
[/mm]
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Hallo angela,
danke für die Antwort. Jetzt habe ich das System verstanden - hoffe ich zumindest.
Ich bin bei einer Aufgabe nun auf folgende Matrix gekommen. Ist dann folgende Lösungsmenge richtig:
[mm] \IL [/mm] = [mm] \{ \vektor{1 \\ 4 \\ 0 } + s \vektor{4 \\ 2 \\ -1} \} [/mm] ?
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> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 4 & | 1 \\ 0 & 1 & 2 & | 4 \\ 0 & 0 & 0 & | 0 \\ 0 & 0 & 0 & | 0}[/mm]
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> Hallo angela,
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> danke für die Antwort. Jetzt habe ich das System verstanden
> - hoffe ich zumindest.
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> Ich bin bei einer Aufgabe nun auf folgende Matrix gekommen.
> Ist dann folgende Lösungsmenge richtig:
>
> [mm]\IL[/mm] = [mm]\{ \vektor{1 \\ 4 \\ 0 } + s \vektor{4 \\ 2 \\ -1} \}[/mm]
> ?
Hallo,
ja, das ist richtig.
Gruß v. Angela
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