Parameterform->Koordinatenform < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi Leute,
ich habe da eine Frage zur Umwandlung der Parameterform in die Koordinatenform. Es sind jeweils 4 Punkte zu je zwei Ebenen gegeben. Diese sind folgende:
Allgemein Darstellung --> Punkt (x1/x2/x3)
A(32/12/8) B(12/12/8) C(12/20/8) D(32/6/12) E(6/6/12) F(6/20/12)
Die Erste Ebene E1 bilden die Punkte: A,B,D,E
Die Zweite Ebene E2 bilden die Punkte : B,E,F,C
Ich habe selbst versucht zwei Ebenengleichungen aufzustellen, was ich auch gemacht habe und habe sie auch umgwandelt, aber es waere nett wenn jemand von euch ebenfalls zwei Ebenengleichungen aufzustellen und Umuwandeln, den meine ist glaube ich nicht richtig. Wenn es geht bitte so ausfuehrlich wie moeglich.
Ich habe folgendes geschrieben:
Die Erste Ebene E1: [mm] \overrightarrow{0A} [/mm] + [mm] \alpha \overrightarrow{AB} [/mm] + [mm] \beta \overrightarrow{AD}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{32 \\ 12 \\ 8} [/mm] + [mm] \alpha \vektor{-20 \\ 0\\ 0} [/mm] + [mm] \beta \vektor{0 \\ -6\\ 4}
[/mm]
Als Erste Koordinatengleichung: 2*x2 + 3*x3 = 48
Die Zweite Ebene E2: [mm] \overrightarrow{0C} [/mm] + [mm] \alpha \overrightarrow{CB} [/mm] + [mm] \beta \overrightarrow{CF}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{12 \\ 20\\ 8} [/mm] + [mm] \alpha \vektor{0 \\ -8\\ 0} [/mm] + [mm] \beta \vektor{-6 \\ 0\\ 4}
[/mm]
Die Zweite Koordinatengleichung: x1 - 3*x3 = -48
Es waere nett, wenn ihr mir helfen koentet.
Euer Peacemaker
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Muss man bei der Aufgabe auch nachprüfen, ob tatsächlich alle 4 angegebenen Punkte zu der Ebene gehören (dass also z.B. zur ersten Ebene, die du durch A, B und D aufgestellt hast, auch der vierte Punkte E gehört)?
Bei der ersten Ebene brauch ich dir wohl nichts vorrechnen, die hast du richtig aufgestellt, und richtig umgewandelt.
Die zweite Ebene hast du auch richtig in Parameterform aufgestellt, aber nicht richtig umgewandelt. Das richtige Ergebnis wäre [mm]2x_1+3x_3=48[/mm].
Das Problem ist nur: ich weiß jetzt nicht genau, wie ich dir das vorrechnen soll. Dazu gibt es verschiedene Möglichkeiten:
- die Parameterform in die Gleichungen [mm]x_1=...[/mm] bis [mm]x_3=...[/mm] auseinanderziehen, und mittels Umformungen die Parameter rauswerfen.
- Determinante
- Normalenvektor bestimmen, dann kennst du schon mal die Vorfaktoren a, b und c aus der Gleichung [mm]ax_1+bx_2+cx_3=d[/mm], und dann bleibt nur noch das d zu bestimmen.
Sag entweder bescheid, welche Version du in der Schule hattest.
Oder besser: schreib uns deinen Lösungsweg der zweiten Ebene mal auf, dann können wir ja den Fehler suchen. Ganz auf dem Holzweg kannst du nicht sein, die erste Ebene hat ja geklappt.
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Als erstes wollte ich dir fuer deine Antwort danken E. Kandrai.
Also zwei der Punkte ( B und E) gehoeren zu beiden Ebenen.
Bei der zweiten Ebene bin ich wiefolgt umgewandelt
Zunaechst habe ich 3 Gleichungen aufgestellt :
I x1 = 12 - 6 [mm] \beta
[/mm]
II x2 = 20 - 8 [mm] \alpha
[/mm]
III x3 = 8 + 4 [mm] \beta
[/mm]
I+II*0 = 12 - 6 [mm] \beta [/mm] (A)
I+III = 20 - 2 [mm] \beta [/mm] (B)
(A) - 3*(B) = (12 - 6 [mm] \beta) [/mm] - 3*(20 - [mm] 2\beta)
[/mm]
x1 - 3*x3 = - 48
Kann sein das mir Fehler unterlaufen sind. Ich hoffe du kannst mir sagen welche.
Euer Peacemaker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 Mi 29.12.2004 | | Autor: | dominik |
Mit Hilfe der Gleichungen x1 und x3 kannst Du [mm] \beta [/mm] eliminieren:
[mm] 2*x_{1} [/mm] = [mm] 24-12\beta
[/mm]
[mm] 3*x_{3} [/mm] = [mm] 24+12\beta
[/mm]
Nun beide Gleichungen addieren:
[mm] 2*x_{1}+3*x_{3}=48
[/mm]
Dies ist die Gleichung der Ebene. Diese Ebene verläuft parallel zur [mm] x_{2}-Achse, [/mm] da [mm] x_{2} [/mm] in der Gleichung nicht vorkommt.
Achtung: mit Null kannst du keine Gleichung erweitern, es gibt keinen Sinn, da die Gleichung 0=0 entsteht. Hier liegt der Fehler.
[mm] \alpha [/mm] der zweiten Gleichung [mm] x_{2} [/mm] lässt sich nicht eliminieren .
Viele Grüsse
dominik
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Danke fuer deine Antwort Dominik.
Aber Ich habe noch eine Frage, du hast gesagt, dass man das [mm] \alpha [/mm] aus der 2.Gleichung nicht eliminieren kann, aber bleibt diese dann Im Endergebniss unberueksichtigt. Ich dachte immer mann muss sowohl das [mm] \beta [/mm] als auch das [mm] \alpha [/mm] elimieren, oder nicht?
Euer Peacemaker
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Do 30.12.2004 | | Autor: | dominik |
Ja, das ist richtig: die Parameter [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] werden eliminiert sofern dies möglich ist. Bei [mm] \beta [/mm] hats geklappt (weil zwei Gleichungen [mm] \beta [/mm] enthalten und miteinander kombiniert werden können), bei alpha gehts nicht, weil nur eine Gleichung [mm] \alpha [/mm] enthält.
Nun muss man interpretieren: Der Parameter [mm] \alpha [/mm] ist irgend eine reelle Zahl: negativ, Null oder positiv. Das heisst, [mm] x_{2} [/mm] kann beliebige Werte annehmen. Sofern nun ein Punkt mit seinen Koordinaten [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] die gefundene Gleichung [mm] 2*x_{1}+3*x_{3}=48 [/mm] erfüllt, liegt er in der Ebene, unabhängig davon, welchen Wert [mm] x_{2} [/mm] hat; der Punkt wird immer in der Ebene liegen das heisst, die Ebene ist zur [mm] x_{2}-Achse [/mm] parallel.
Viele Grüsse
dominik
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