Parameterform < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 Do 20.11.2008 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | | Wie wandle ich die Parameterform in die Koordinatenform um ? |
na ja ich dachte mir ich habe die punkte
A (0/3/7)
B(6/1/2)
C(1/2/1)
dann wär die Parameterform :
E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 7} [/mm] + r* [mm] \vektor{6 \\ -2 \\-5} [/mm] + s* [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ -6}
[/mm]
Aber wie komm ich hier jetzt auf die Koordinatenform ??
|
|
| |
|
Die Koordinatenform bekommt man am schnellsten mit Hilfe des Normalenvektors [mm] \vec{n} [/mm] d.h. einem Vektor, der auf den beiden Spannvektoren (also auf der Ebene) senkrecht steht.
[mm] \vec{n}= \vec{u} [/mm] x [mm] \vec{v} [/mm] (Kreuzprodukt = Vektorprodukt)
Wie das geht, steht im Tafelwerk.
Die 3 Komponenten des Normalenvektors sind die Koeffizienten der Koordinatenform also [mm] \vec{n}= \vektor{a \\ b \\ c}
[/mm]
und so hast du schon FAST die Koordinatenform:
ax+by+cz =d
Das d bekommst du raus, wenn du einen beliebigen Punkt (z.B. A) der Ebene einsetzt (für x; y; z) und mit den a,b,c, rechnest du d aus ... fertig.
Mit jedem der 3 Punkte (A,B,C) kommst du auf das gleiche d!
|
|
|
| |
|
> Wie wandle ich die Parameterform in die Koordinatenform um
> ?
> na ja ich dachte mir ich habe die punkte
>
> A (0/3/7)
> B(6/1/2)
> C(1/2/1)
>
> dann wär die Parameterform :
>
> E: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 3 \\ 7}[/mm] + r* [mm]\vektor{6 \\ -2 \\-5}[/mm]
> + s* [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ -6}[/mm]
>
> Aber wie komm ich hier jetzt auf die Koordinatenform ??
>
Da gibts mehrere Möglichkeiten...Mit dem Kreuzprodukt wurde es schon vorgestellt.
Eine andere Möglichkeit ist einfach die Determinate von [mm] \vektor{-x_1 \\ 3 -x_2 \\7-x_3} ;\vektor{6 \\ -2 \\-5};\vektor{1 \\ -1 \\ -6} [/mm] auszurechnen, kommt aber aufs gleiche hinaus
Gruss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Do 20.11.2008 | | Autor: | Ayame |
ich hatte das Vektorprodukt jedoch noch nicht daher würde ich es sehr ungern in der klausur benutzen.
wär es denn auch in Orndung wenn ich die 2 Spannvektoren
[mm] \vec{a}=\vektor{6 \\ -2 \\-5}
[/mm]
[mm] \vec{b}=\vektor{1 \\ -1 \\-6}
[/mm]
so weiter benutze :
[mm] \vec{n}*\vektor{6 \\ -2 \\-5}=0 [/mm] --> 6x - 2y - 5z = 0
[mm] \vec{n}*\vektor{1 \\ -1 \\-6}=0 [/mm] --> x - y - 6z = 0
und dass ich dann nach x auflöse ??
Mein lehrer hat uns auch mal einen tipp gegeben wie wir
[mm] \vec{n} [/mm] zu einem Vektor ableiten können :
zu [mm] \vec{a}=\vektor{6 \\ -2 \\-5} [/mm] wär dann [mm] \vec{n}=\vektor{0 \\ -5 \\ 2}
[/mm]
Ist das so ok ???
Dann wär die Koordinatenform :
E : [mm] \vec{n} [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] - [mm] \vec{n} [/mm] * [mm] \vec{a}
[/mm]
E : [mm] \vektor{0 \\ -5 \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ -5 \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{ 0\\ 3 \\ 7} [/mm] [ der Ortsvektor zu Punkt A]
E: 0*y - 5y + 2z + 1
Ist das so richtig ??
|
|
|
| |
|
> ich hatte das Vektorprodukt jedoch noch nicht daher würde
> ich es sehr ungern in der klausur benutzen.
>
ohne dauert es etwas länger sollte aber keine Probleme bereiten 
> wär es denn auch in Orndung wenn ich die 2 Spannvektoren
>
>
> [mm]\vec{a}=\vektor{6 \\ -2 \\-5}[/mm]
> [mm]\vec{b}=\vektor{1 \\ -1 \\-6}[/mm]
>
> so weiter benutze :
>
> [mm]\vec{n}*\vektor{6 \\ -2 \\-5}=0[/mm] --> 6x - 2y - 5z = 0
> [mm]\vec{n}*\vektor{1 \\ -1 \\-6}=0[/mm] --> x - y - 6z = 0
>
> und dass ich dann nach x auflöse ??
>
hmmm, ich denke ich weiß was du meinst... der Normalenvektor ist Senkrecht zu beiden Spannvektoren der Ebene. Das bedeutet [mm]\vec{n}*\vektor{6 \\ -2 \\-5}[/mm] = [mm] 6n_1 [/mm] - [mm] 2n_2 [/mm] - [mm] 5n_3 [/mm] = 0 und [mm]\vec{n}*\vektor{1 \\ -1 \\-6}[/mm] = [mm] n_1 [/mm] - [mm] n_2 [/mm] - [mm] 6n_3 [/mm] = 0. Es gilt nämlich, dass das Skalarprodukt 0 ergeben muss wenn zwei Vektoren orthogonal zueinander sind
Mit Hilfe der beiden Gleichung löst du das unterbestimmte LGS und erhälst schon den Normalenvektor
Gruss
|
|
|
| |
|
Dein Vektor [mm] \vec{n} [/mm] ist NUR senkrecht zum Vektor [mm] \vec{a}. [/mm]
Zu [mm] \vec{b} [/mm] ist er NICHT senkrecht.
Aber der Normalenvektor muss zu BEIDEN Spannvektoren senkrecht sein.
Deine Methode funktioniert also NUR, wenn du ein Paar senkrechte Vektoren brauchst.
Also ohne Kreuzprodukt, löst du das Gleichungssystem, wie auch schon defjam123 geschrieben hat.
Ein Tipp noch dazu:
z.B. Addierst du zur Gleichung I die Gleichung II*(-2) (damit das y "verschwindet"). Dann hast du eine Gleichung mit 2 Unbekannten - du wählst dir für eine der beiden Variablen eine beliebige Zahl (geschickt ist eine, bei der es danach keine Brüche gibt) und berechnest die andere damit. Nun kannst du y mit I bzw. mit II berechnen und hast [mm] \vec{n}.
[/mm]
Warum man eine Zahl wählen kann? Weil es unendlich viele Normalenvektoren zu [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] gibt (sind alle Vilefache voneinander).
|
|
|
|
