Parametergl.paralleler Geraden < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Sa 03.03.2007 | | Autor: | lauravr |
| Aufgabe | | Ermittle eine Parametergleichung für die Gerade [mm] g_{1}, [/mm] die parallel zu der durch die Punkte P(7|-1|2) und Q(1|0|-2) bestimmten Geraden [mm] g_{2} [/mm] verläuft und durch den Punkt [mm] P_{2}(-1|1|-2) [/mm] geht. |
Hallo, ich komme anscheinend nicht auf das richtige Ergebnis. Wo ist der Fehler? So bin ich vorgegangen:
Zuerst habe ich die Parametergleichung von P und Q, also [mm] g_{1}, [/mm] bestimmt:
[mm] g_{1} [/mm] = [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{7 \\ -1 \\ 2} [/mm] + [mm] t\vektor{-6 \\ 1 \\ -4}
[/mm]
Dann dachte ich mir, da [mm] g_{1} [/mm] und [mm] g_{2} [/mm] ja parallele Geraden, bzw. Vektoren sind, müssen diese linear abhängig sein. Also
[mm] g_{1} [/mm] = [mm] g_{2}
[/mm]
Bisher weiß ich, dass [mm] g_{2} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ -2} [/mm] + t [mm] \vektor{x+1\\y-1\\z+2}
[/mm]
Jetzt bilde ich ein lineares Gleichungssystem
[mm] \vmat{ 7 & -6t & = & -1 & +tx & +t \\ -1 & +t & = 1 & +ty & -t \\ 2 & -4t & = & -2 & +tz & +2t}
[/mm]
Und jetzt? Wenn ich für t z.B. t=1 setzte bekomme ich raus x= 1, y = 0, z = -2 . Also
[mm] g_{2} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ -2} [/mm] + t [mm] \vektor{2\\1\\0}
[/mm]
Das Programm zeigt mir aber [mm] g_{2} [/mm] und [mm] g_{1} [/mm] nicht als parallel an.
Wo liegt der Fehler??
Ich hoffe auf Hilfe, danke, Laura
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Hallo Laura!
> Ermittle eine Parametergleichung für die Gerade [mm]g_{1},[/mm] die
> parallel zu der durch die Punkte P(7|-1|2) und Q(1|0|-2)
> bestimmten Geraden [mm]g_{2}[/mm] verläuft und durch den Punkt
> [mm]P_{2}(-1|1|-2)[/mm] geht.
> Hallo, ich komme anscheinend nicht auf das richtige
> Ergebnis. Wo ist der Fehler? So bin ich vorgegangen:
>
> Zuerst habe ich die Parametergleichung von P und Q, also
> [mm]g_{1},[/mm] bestimmt:
Du meinst sicher [mm] g_{2}.
[/mm]
> [mm]g_{2}[/mm] = [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{7 \\ -1 \\ 2}[/mm] + [mm]t\vektor{-6 \\ 1 \\ -4}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Korrekt!
>
> Dann dachte ich mir, da [mm]g_{1}[/mm] und [mm]g_{2}[/mm] ja parallele
> Geraden, bzw. Vektoren sind, müssen diese linear abhängig
> sein. Also
> [mm]g_{1}[/mm] = [mm]g_{2}[/mm]
>
> Bisher weiß ich, dass [mm]g_{2}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ -2}[/mm] + t
> [mm]\vektor{x+1\\y-1\\z+2}[/mm]
>
> Jetzt bilde ich ein lineares Gleichungssystem
> [mm]\vmat{ 7 & -6t & = & -1 & +tx & +t \\ -1 & +t & = 1 & +ty & -t \\ 2 & -4t & = & -2 & +tz & +2t}[/mm]
>
> Und jetzt? Wenn ich für t z.B. t=1 setzte bekomme ich raus
> x= 1, y = 0, z = -2 . Also
> [mm]g_{2}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ -2}[/mm] + t [mm]\vektor{2\\1\\0}[/mm]
>
> Das Programm zeigt mir aber [mm]g_{2}[/mm] und [mm]g_{1}[/mm] nicht als
> parallel an.
>
>
> Wo liegt der Fehler??
Deine Lösung erscheint mir ein wenig kompliziert, dabei ist es denkbar einfach. Da Gerade [mm] g_{1} [/mm] parallel zu [mm] g_{2} [/mm] verlaufen soll, müssen deren Richtungsvektoren gleich sein. Du kannst also für den Richtungsvektor von [mm] g_{1} [/mm] den Richtungsvektor von [mm] g_{2} [/mm] einsetzen. Letztendlich unterschieden sich die beiden Geraden nur durch den Stützvektor - und diesen hast du quasi durch den Ortsvektor des Punktes [mm] P_{2} [/mm] gegeben. Diesen also nur als Stützvektor in die Geradengleichung einsetzen und schon bist du fertig.
Gruß,
Tommy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:30 Sa 03.03.2007 | | Autor: | lauravr |
Dankeschön... noch mal zum Sichergehen...
Die Lösung wäre also lediglich
[mm] g_{1} [/mm] = [mm] \vektor{-1\\1\\-2} [/mm] + t [mm] \vektor{-6\\1\\-4} [/mm] ??
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:42 Sa 03.03.2007 | | Autor: | VNV_Tommy |
> Dankeschön... noch mal zum Sichergehen...
> Die Lösung wäre also lediglich
>
> [mm]g_{1}[/mm] = [mm]\vektor{-1\\1\\-2}[/mm] + t [mm]\vektor{-6\\1\\-4}[/mm] ??
Exakt!
Gruß,
Tommy
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