Parametergleichung Gerade < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
Ich hoffe es kann mir jmd helfen. Ich muss folgende Aufgabe lösen:
Bestimmen sie aus der Parametergleichung der Gerade
g : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 3} [/mm] + t * [mm] \vektor{3 \\ -1 \\ 4} [/mm] eine möglcihe Gleichung mit Koordinaten.
Bilden alle Punkte, die diese Gleichjung erfüllen, eine Gerade? Begründen Sie ihre Antwort.
Meine Lösungsansatz für den ersten Teil (Koordinatenglechung besitmmen) ist wie folgt:
I [mm] x_{1} [/mm] = 1+3t
II [mm] x_{2} [/mm] = 0 - t
III [mm] x_{3} [/mm] = 3 + 4t
------------------------
I [mm] x_{1} [/mm] = 1+3t
II t = - [mm] x_{2}
[/mm]
III [mm] x_{3} [/mm] = 3 + 4*(- [mm] x_{2})
[/mm]
------------------------
I [mm] x_{1} [/mm] = 1+3*(- [mm] x_{2})
[/mm]
II t = - [mm] x_{2}
[/mm]
III 4* ( - [mm] x_{2} [/mm] ) + ( - [mm] x_{3} [/mm] ) = 3
--------------------
Ich habe also 2 Koordinatengleichungen rausbekommen
I [mm] x_{1} [/mm] + 3* [mm] x_{2} [/mm] + 0 * [mm] x_{3} [/mm] = 1
und
III 0* [mm] x_{1} [/mm] + 4* [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 3
Jezz nochmal meine Fragen:
1.)ist damit Teil 1 gelöst?
2.)Wie beiwese ich das mit den Punkten.?
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Hallo!
> Bestimmen sie aus der Parametergleichung der Gerade
> g : [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 3}[/mm] + t * [mm]\vektor{3 \\ -1 \\ 4}[/mm]
> eine möglcihe Gleichung mit Koordinaten.
> Bilden alle Punkte, die diese Gleichjung erfüllen, eine
> Gerade? Begründen Sie ihre Antwort.
>
> Meine Lösungsansatz für den ersten Teil
> (Koordinatenglechung besitmmen) ist wie folgt:
>
> I [mm]x_{1}[/mm] = 1+3t
> II [mm]x_{2}[/mm] = 0 - t
> III [mm]x_{3}[/mm] = 3 + 4t
> ------------------------
> I [mm]x_{1}[/mm] = 1+3t
> II t = - [mm]x_{2}[/mm]
> III [mm]x_{3}[/mm] = 3 + 4*(- [mm]x_{2})[/mm]
> ------------------------
> I [mm]x_{1}[/mm] = 1+3*(- [mm]x_{2})[/mm]
> II t = - [mm]x_{2}[/mm]
> III 4* ( - [mm]x_{2}[/mm] ) + ( - [mm]x_{3}[/mm] ) = 3
> --------------------
>
> Ich habe also 2 Koordinatengleichungen rausbekommen
> I [mm]x_{1}[/mm] + 3* [mm]x_{2}[/mm] + 0 * [mm]x_{3}[/mm] = 1
> und
> III 0* [mm]x_{1}[/mm] + 4* [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = 3
Mmh - müsstest du nicht noch eine der Gleichungen nach einer weiteren Variablen auflösen und dann in die zweite Gleichung einsetzen? Jedenfalls ist mir neu, dass man zwei solche Gleichungen rausbekommen kann (man kann schon unterschiedliche herausbekommen, aber in deinem Fall ist das irgendwie komisch, dass da so am Ende zwei stehen...).
Also, ich habe jetzt mal noch die erste Gleichung nach [mm] x_2 [/mm] aufgelöst und in die dritte Gleichung eingesetzt, da erhalte ich dann insgesamt:
[mm] -\bruch{4}{3}x_1-\bruch{4}{3}-x_3=3 [/mm] (aber keine Garantie für keine Rechenfehler)
> Jezz nochmal meine Fragen:
> 1.)ist damit Teil 1 gelöst?
s.o.
> 2.)Wie beiwese ich das mit den Punkten.?
Sorry, das weiß ich leider auch nicht.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hi, NightmareVirus,
es ist ja klar, dass man eine Gerade im Raum nicht mit Hilfe einer einzigen Koordinatengleichung darstellen kann.
Denn eine Koordinatengleichung im Raum stellt stets eine EBENE dar.
Insofern ist es schon logisch, dass Du für Deine Gerade ZWEI Koordinatengleichungen rauskriegst: Die Gerade ist sozusagen dargestellt als Schnittmenge zweier Ebenen in Koordinatenform.
(Übrigens hab' ich Deine Gleichungen nicht auf Rechenfehler überprüft!)
Nun aber zur Aufgabe, die man Dir gestellt hat:
> Bestimmen sie aus der Parametergleichung der Gerade
> g : [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 3}[/mm] + t * [mm]\vektor{3 \\ -1 \\ 4}[/mm]
> eine mögliche Gleichung mit Koordinaten.
> Bilden alle Punkte, die diese Gleichung erfüllen, eine
> Gerade? Begründen Sie ihre Antwort.
Ich verstehe die Sache so, dass Du lediglich irgendeine "Gleichung mit Koordinaten"
(also NICHT (!) Koordinatengleichung - die gibt's ja wie gesagt für die Gerade nicht )
erstellen sollst, die, wenn man alle Punkte der Geraden einsetzt, eine wahre Aussage ergibt:
Jede der beiden von Dir gefundenen Gleichungen ist damit brauchbar!
(Es gibt aber noch viele weitere!)
Und dann sollst Du nur noch begründen, dass diese Gleichung eben KEINE Gerade ist, sondern eine Ebene, die aber natürlich die anfangs gegebene Gerade enthält.
Wie begründest Du das am einfachsten?
Nun: Du nimmst 3 Punkte, die die Gleichung erfüllen und zeigst, dass sie nicht auf einer Geraden liegen.
(Da Du die Punkte beliebig wählen kannst, ist es möglich, dass Du mal 3 erwischt, die doch auf einer Geraden liegen. Dann behalte zwei davon bei und nimm' als 3. Punkt einen anderen als vorher; irgendwann haut's dann schon hin!)
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