Parametertransformation < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] \gamma [/mm] : [a,b] [mm] \subset \IR \to \IR^n [/mm] eine reguläre Kurvve. Geben sie eine geeignete Parametertransformation [mm] \delta [/mm] : [mm] [\alpha,\beta] \to [/mm] [a,b] an,so dass [mm] g:=\gamma \circ \delta [/mm] nach der Bogenlänge parametrisiert ist, d.h. so dass |g'(t) |=1 für alle t [mm] \in (\alpha,\beta) [/mm] gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
/gamma heißt reguläre Kurve, wenn [mm] \gamma [/mm] einmal stetig differenzierbar ist und [mm] \gamma'(s) \not= [/mm] 0 für alle s [mm] \in [/mm] [a,b].
Weiter ist [mm] g'=\gamma'(\delta(t))*\delta'(t) [/mm] und der Betrag von g' soll nun 1 sein. Aber wie gehe ich jetzt weiter vor.Ich habe doch gar keine Vorschrift wie [mm] \gamma [/mm] oder [mm] \delta [/mm] ausschaut.
Vielen Dank für eure Mühe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 So 28.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Sandy
> Sei [mm]\gamma[/mm] : [a,b] [mm]\subset \IR \to \IR^n[/mm] eine reguläre
> Kurvve. Geben sie eine geeignete Parametertransformation
> [mm]\delta[/mm] : [mm][\alpha,\beta] \to[/mm] [a,b] an,so dass [mm]g:=\gamma \circ \delta[/mm]
> nach der Bogenlänge parametrisiert ist, d.h. so dass
> |g'(t) |=1 für alle t [mm]\in (\alpha,\beta)[/mm] gilt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> /gamma heißt reguläre Kurve, wenn [mm]\gamma[/mm] einmal stetig
> differenzierbar ist und [mm]\gamma'(s) \not=[/mm] 0 für alle s [mm]\in[/mm]
> [a,b].
> Weiter ist [mm]g'=\gamma'(\delta(t))*\delta'(t)[/mm] und der Betrag
> von g' soll nun 1 sein. Aber wie gehe ich jetzt weiter
> vor.Ich habe doch gar keine Vorschrift wie [mm]\gamma[/mm] oder
> [mm]\delta[/mm] ausschaut.
ich nenne [mm]\gamma[/mm] lieber c(t), gesucht t(s) mit
$|c'*t'|=1$
also (*) : $t'=1/|c'(t(s))|$
andererseits ist die Länge bestimmt durch:
$ l(t)= [mm] \integral_{a}^{t}{|c'(\tau)| d\tau}$
[/mm]
Umkehrfkt von $l, [mm] l^{-1}=T$ [/mm] dann gilt:$ l(T(s))=s $ und damit
$l'*T'=1$ (Ableitung nach s) oder $T'=1/l'$ mit $l'=|c'|$,
also: $T'=t$ nach (*) und damit ist [mm] $T=l^{-1}$ [/mm] die gesuchte Funktion , also die Umkehrfkt von l(t), die existiert, weil c reguläre Kurve.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 So 28.05.2006 | | Autor: | Sandy857 |
Ersteinmal Danke!
Doch wie kommst du auf [mm] l(t)=\integral_{a}^{t}{c'(\tau) d\tau} [/mm] und ist in diesem FAll [mm] t=\delta?
[/mm]
Mir ist klar, dass folgendes gilt: [mm] \integral {c'(\delta(t))*\delta'(t)} [/mm] = [mm] \integral {c'(\tau) d\tau} [/mm] mit [mm] \tau [/mm] = [mm] \delta(t), [/mm] doch wie kommt man auf die Grenzen a und t?
Sandy
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 So 28.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Sandy
> Ersteinmal Danke!
> Doch wie kommst du auf [mm]l(t)=\integral_{a}^{t}{c'(\tau) d\tau}[/mm]
> und ist in diesem FAll [mm]t=\delta?[/mm]
> Mir ist klar, dass folgendes gilt: [mm]\integral {c'(\delta(t))*\delta'(t)}[/mm]
Versteh die Frage nicht ganz, der Name der Integrationsvariablen ist doch egal! Und die Kurve ist ursprünglich als c(t), t aus [a,b] gegeben, die Länge von a bis t ist dann l(t)
Wie habt ihr Kurvenlängen denn berechnet? Du kannst als untere Grenze auch ein t1<t aus dem Intervall nehmen, das ändert an der Ableitung ja nichts. Und dann ist l(t) die Länge zwischen t1 und t. aber eigentlich willst du doch das ganze Intervall.
> = [mm]\integral {c'(\tau) d\tau}[/mm] mit [mm]\tau[/mm] = [mm]\delta(t),[/mm] doch wie
> kommt man auf die Grenzen a und t?
>
> Sandy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 So 28.05.2006 | | Autor: | Sandy857 |
Mir war nicht ganz klar, dass man die obere Grenze beliebig wählen kann. Ich hätte einfach [mm] L=\integral _{a}^{b}{\gamma'(\tau)d\tau} [/mm] geschrieben. Aber dann ist alles klar. Vielen Dank nochmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Di 30.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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