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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 So 09.10.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | | Parametrisiere den Kreis in der Ebene z=x im [mm] \IR^3 [/mm] mit dem Mittelpunkt (4,4,4) und dem Radius 3, der entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufen wird. |
Hallo,
ich konnte noch nie parametrisieren, hab das nie verstanden :( is ne Übungsaufgabe für die Klausur...also ich weiß, dass bei nem Kreis immer x=r*cost und y=r*sint ist. Aber wie hilft mir das denn jetzt?:(
Kann mir da jemand helfen?
Gruß David
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Jetzt mußt du nur diese Parametrisierung über ein Paar orthogonaler normierter Richtungsvektoren [mm]\vec{u}, \vec{v}[/mm] der Ebene am Mittelpunkt anheften:
[mm]t \mapsto (4,4,4) + \left( 3 \cos t \right) \cdot \vec{u} + \left( 3 \sin t \right) \cdot \vec{v}[/mm]
Für die Richtungsvektoren gibt es unendlich viele Möglichkeiten. Um schnell zu einer Lösung zu kommen, machst du dir am besten eine Zeichnung. Schließlich hat die Ebene [mm]z=x[/mm] eine besondere Lage im Koordinatensystem.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 So 09.10.2011 | | Autor: | David90 |
Naja aber ich versteh das noch nicht so richtig, nimmt man für eine Parametrisierung immer normierte Richtungsvektoren? Kann man denn jeden normeirten Vektor nehmen, der einen einfällt?
Gruß David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:26 So 09.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
i.A. sollte die Ebene vorgegeben sein, in der der Kreis im [mm] \IR^3 [/mm] liegt, das passiert durch das normierte Paar senkrechter Vektoren. Überlege, was du für ne Figur bekommst, wenn sie nicht normiert, oder nicht senkrecht sind!
das kannst du auch mit 2 vektoren in der z=0 Ebene überlegen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 So 09.10.2011 | | Autor: | David90 |
Also in der z=x-Ebene ist doch y=0 oder also braucht man ja nur die x- und die z-Komponente mit nem normierten Richtungsvektor mal nehmen, z.b. mit [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] oder? Ich weiß nich was für eine Figur entsteht, wenn die Richtungsvektoren nicht senkrecht und normiert sind. Die würden ja dann jede Länge annehmen können und zwar in jede Richtung oder?
Gruß David
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Nein, in der Ebene [mm]z=x[/mm] ist nicht [mm]y=0[/mm], sondern beliebig. Wie liegt die Ebene im Koordinatensystem (Zeichnung)? Am besten zeichnest du auf deinem Blatt die [mm]x[/mm]-Achse nach rechts, die [mm]z[/mm]-Achse nach oben. Die [mm]y[/mm]-Achse geht vom Blatt nach hinten weg (wenn das Blatt also auf dem Tisch liegt, zeigt die [mm]y[/mm]-Achse nach unten in den Fußboden).
Wo ist nun die Ebene [mm]z=x[/mm]? Und was sind zwei möglichst einfache orthogonale Richtungsvektoren der Ebene?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 So 09.10.2011 | | Autor: | David90 |
So hab ichs ja auch gemacht mit dem Koordinatensystem, naja wir wissen doch nur dass x=z ist also ist die Fläche oder Ebene doch ein Quadrat. Und dann weiß man ja nich wie tief die Ebene ins Blatt rein geht. Und [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] ist doch normiert oder nicht?
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Solange du hier nur etwas von [mm]\frac{1}{\sqrt{2}}[/mm] erzählst, kann ich gar nichts sagen. Ein Vektor hat drei Koordinaten. Und jetzt solltest du einfach einmal zwei Richtungsvektoren der Ebene angeben. Das sind immerhin sechs Zahlen. Und dann sieht man weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 So 09.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm doch erst mal die z=0 Ebene, da sind die einfachsten 2 othonormalen vektoren (1,0,0) und (0,1,0)
du hast also etwa um den punkt (2,3,0) den kreis
t--> (2,3,0)+r*cos(t)*(1,0,0)+r*sin(t)*(0,1,0) wenn der zweite Vektor etwa nicht normiert wäre sondern (0,2,0) dann hättest du
t--> (2,3,0)+r*cos(t)*(1,0,0)+2r*sin(t)*(0,1,0)
erkennst du die Figur?(fängt mit El an!)
wenn du jetzt (1,0,0) und [mm] (1/\wurzel{2},1/\wurzel{2},0) [/mm] nimmst kannst du den 2 ten Vektor zerlegen und es wieder in den "normalen" schreiben, was hast du dann? wieder ne EL...)
deshalb also für den kreis immer 2 orthonormale vektoren in deiner Ebene,in der ebene z=x ist y beliebig, da hast du also Vektoren der Form (a,b,a)
natürlich kannst du es auch immer in der Form
x(t)=..
y(t)=..
z(t)=...
schreiben,
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 So 09.10.2011 | | Autor: | David90 |
Ok habs verstanden wenn man keine normierten Vektoren nimmt, dann enststeht ne Ellipse, weil muss ja immer der gleiche Abstand um den Mittelpunkt sein. Also ich hab das jetzt so geschrieben:
c(t) = [mm] \vektor{4 \\ 4 \\ 4} [/mm] (also zum Anfang schreibt man immer den Mittelpunkt hin) dann + [mm] \vektor{\bruch{3}{\wurzel{2}*cos(t)} \\ 3*sin(t) \\ {\bruch{3}{\wurzel{2}*cos(t)}}}
[/mm]
Gruß David
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So stimmt es. (Du solltest allerdings den Bruchfehler beim Cosinus noch ausbessern.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 So 09.10.2011 | | Autor: | David90 |
Ok und was ist wenn man jetzt einen Kreis im [mm] \IR^3 [/mm] in der xz-Ebene mit dem Radius 2 um den Punkt (4,0,2) parametrisieren will? Da macht man das doch nicht mit den Einheitsvektoren oder?
Gruß David
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Hallo David,
> Ok und was ist wenn man jetzt einen Kreis im [mm]\IR^3[/mm] in der
> xz-Ebene mit dem Radius 2 um den Punkt (4,0,2)
> parametrisieren will? Da macht man das doch nicht mit den
> Einheitsvektoren oder?
Warum nicht? Es ist immer ein praktischer Ansatz. Zusammenfassen kann man ja dann später...
[mm] x=x_M+r*\sin{(t)},\quad y=y_M,\quad z=z_M+r*\cos{(t)}
[/mm]
Anders geschrieben:
[mm] \vec{x}=\vec{m}+r\sin{(t)}\vektor{1\\0\\0}+r\cos{(t)}\vektor{0\\0\\1}=\vektor{x_M\\y_M\\z_M}+r\left(\vektor{\sin{(t)}\\0\\0}+\vektor{0\\0\\\cos{(t)}}\right)=\vektor{4\\0\\2}+r\vektor{\sin{(t)}\\0\\\cos{(t)}}
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:28 Mo 10.10.2011 | | Autor: | David90 |
ok aber warum habe ich bei der vorherigen Parametrisierung durch die Norm ( [mm] \wurzel{2} [/mm] ) geteilt und hier nicht?
Gruß David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:39 Mo 10.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wieso hast du denn gerade durch [mm] \wurzel{2} [/mm] geteilt? das ist ne reelle Zahl, keine Norm. Welchen Betrag hatten deine Vektoren in der vorigen aufgabe? welche in dieser. was wäre die Normierung von (1,0,0) oder (0,1,0) denn?
du würdest vielleicht besser sin und cos vor die einzelnen Vektoren schreiben, als einen einzigen zusmmengefassten Vektor, so wie es am Anfang vorgeschlagen wurde. also k(t)= m+r*cos(t)*v1+r*sin(t)*v2 (Vektorpfeile weggelassen)
welches waren denn deine 2 Vektoren in der vorigen Aufgabe?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:56 Mo 10.10.2011 | | Autor: | David90 |
Naja bei der vorherigen Aufgabe war die Lösung ja [mm] \vektor{ 4\\ 4 \\ 4 } [/mm] + [mm] \vektor{\bruch{3}{\wurzel{2}}*cos(t) \\ 3*sin(t) \\ {\bruch{3}{\wurzel{2}}*cos(t)}} [/mm] . Also hier hab ich ja durch [mm] \wurzel{2} [/mm] geteilt...weil ich hab ja mit Einheitsvektoren gearbeitet und bei der Aufgabe jetzt ja auch. Und der Betrag von den beiden Einheitsvektoren ist doch [mm] \wurzel{2}...
[/mm]
Gruß David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:08 Mo 10.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hatte gesagt, es wird einfacher, wenn du die 2 einheitsvektoren einzeln schreibst und mit rcost und rsint mult. du schreibst wieder nur einen. was sind in den beiden aufgaben die jeweiligen einheitsvektoren. Und deine aussage: der Betrag von einheitsvektoren ist [mm] \wurzel{2} [/mm] ist eifach falsch!! Warum heissen die Einheitsvektoren? (1,1,1,)ist KEIN inheitsvektor sondern ein vektor mit 3 komponenten 1 wie machst du daraus einen einheitsvektor?
Was ist der Betrag von (1,0,0)?
also bitte deine Kreise wirklich deutlich mit 2 senkrecht stehenden Einheitsvektoren schreiben!
Gruss leduart
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> Parametrisiere den Kreis in der Ebene z=x im [mm]\IR^3[/mm] mit dem
> Mittelpunkt (4,4,4) und dem Radius 3, der entgegen dem
> Uhrzeigersinn durchlaufen wird.
Mal ganz abgesehen von der Lösung im Einzelnen:
Eine Angabe in der Aufgabenstellung macht eigentlich
keinen Sinn, wenn sie nicht näher definiert wird, nämlich
die von der Durchlaufung "entgegen dem "Uhrzeigersinn".
Im [mm] \IR^3 [/mm] gibt es einfach keinen festgelegten "Uhrzeiger-
sinn", wie man ihn etwa noch im [mm] \IR^2 [/mm] definieren kann.
Ein positiver oder negativer Drehsinn ist im [mm] \IR^3 [/mm] erst
dann definiert, wenn ein axialer Vektor mit einem vorge-
gebenen Richtungssinn vorliegt. Letzteres ist hier nicht
der Fall. Als axialer Einheitsvektor kämen für die Drehung
in der Ebene mit der Gleichung z=x ebensogut der Vektor
[mm] $\pmat{\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\\-\frac{1}{\sqrt{2}}}$ [/mm] als auch sein Gegenvektor [mm] $\pmat{-\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\\ \frac{1}{\sqrt{2}}}$ [/mm] in Frage.
LG Al-Chw.
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