www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenReelle Analysis mehrerer VeränderlichenParametrisierte Kurven
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Parametrisierte Kurven
Parametrisierte Kurven < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Parametrisierte Kurven: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:39 Mo 15.06.2009
Autor: Pikhand

Aufgabe
Wir wollen zeigen, dass man reguläre Kurven "gerade biegen" kann.
Sei [mm] \gamma [/mm] eine reguläre parametrisierte Kurve in [mm] \IR², [/mm] d.h. [mm] \gamma \in C^{\infty} [/mm] ((a,b), [mm] \IR²) [/mm] mit [mm] \gamma'\not=0 [/mm] für alle [mm] t\in(a,b). [/mm]
Zeigen Sie, dass es zu jedem [mm] t_0 \in [/mm] (a,b) ein [mm] \epsilon>0, [/mm] eine Umgebung [mm] U\subset\IR² [/mm] von [mm] \gamma(t_0) [/mm] und einen Diffeomorphismus
[mm] \Phi:U-->\Phi(U) [/mm] gibt, so dass für alle t  [mm] \in (t_0-\epsilon,t_0+\epsilon) [/mm] gilt:
[mm] \gamma(t) \in [/mm] U, [mm] \Phi(\gamma(t))=(t,0) [/mm]
Wieso kann eine Kurve im allgemeinen nicht global auf (a,b), sondern nur lokal, d.h. auf [mm] (t_0-\epsilon,t_0+\epsilon), [/mm] gerade gebogen werden?
Falls [mm] \gamma [/mm] zusätzlich injektiv ist, kann man dann global gerade biegen?
Hinweis: Im Fall [mm] \gamma_1'(t_0)\not=0 [/mm] betrachten wir die Hilfsfunktion [mm] \alpha_1:(a,b) \times \IR->\IR², \alpha_1(t,x)=\gamma(t)+(0,x) [/mm] und wenden den Satz über die Umkehrfunktion an. Was kann man bei [mm] \gamma_1'(t_0) [/mm] machen?

Hallo,
bei der Aufgabe meinte auch unser Übungsgruppenleiter, dass wir das kaum schaffen können. Aber ich würde trotzdem gerne was dazu machen, es wäre also toll wenn mir jemand einen Ansatz oder noch besser ein bisschen mehr geben könnte.
Vielen Dank,
Steffen

        
Bezug
Parametrisierte Kurven: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:05 Di 16.06.2009
Autor: felixf

Hallo Steffen

> Wir wollen zeigen, dass man reguläre Kurven "gerade biegen"
> kann.
>  Sei [mm]\gamma[/mm] eine reguläre parametrisierte Kurve in [mm]\IR^2,[/mm]
> d.h. [mm]\gamma \in C^{\infty}[/mm] ((a,b), [mm]\IR^2)[/mm] mit [mm]\gamma'\not=0[/mm]
> für alle [mm]t\in(a,b).[/mm]

Das soll [mm] $\gamma'(t) \neq [/mm] 0$ fure alle $t [mm] \in [/mm] (a, b)$ heissen, oder?

>  Zeigen Sie, dass es zu jedem [mm]t_0 \in[/mm] (a,b) ein [mm]\epsilon>0,[/mm]
> eine Umgebung [mm]U\subset\IR²[/mm] von [mm]\gamma(t_0)[/mm] und einen
> Diffeomorphismus
> [mm]\Phi:U-->\Phi(U)[/mm] gibt, so dass für alle t  [mm]\in (t_0-\epsilon,t_0+\epsilon)[/mm]
> gilt:
>  [mm]\gamma(t) \in[/mm] U, [mm]\Phi(\gamma(t))=(t,0)[/mm]

Beschaeftige dich doch erstmal hiermit. Probier mal den Hinweis:

>  Hinweis: Im Fall [mm]\gamma_1'(t_0)\not=0[/mm] betrachten wir die
> Hilfsfunktion [mm]\alpha_1:(a,b) \times \IR \to \IR^2[/mm], [mm]\alpha_1(t,x)=\gamma(t)+(0,x)[/mm]
> und wenden den Satz über die Umkehrfunktion an.

>  Wieso kann eine Kurve im allgemeinen nicht global auf
> (a,b), sondern nur lokal, d.h. auf
> [mm](t_0-\epsilon,t_0+\epsilon),[/mm] gerade gebogen werden?
>  Falls [mm]\gamma[/mm] zusätzlich injektiv ist, kann man dann global
> gerade biegen?

Die zweite Frage gibt einen Hinweis auf die erste. Und von mir noch einen Hinweis: die zweite Frage kann ebenfalls negativ beantwortet werden, dazu muss man aber etwas nachdenken (beachte: die Kurven sind auf $(a, b)$ definiert, nicht auf $[a, b]$).

> Was kann man bei [mm]\gamma_1'(t_0)[/mm] machen?

Da fehlt ein $= 0$, oder?

Tipp hierzu: kann es sein, dass [mm] $\gamma_1'(t_0) [/mm] = [mm] \gamma_2'(t_0) [/mm] = 0$ ist?

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Parametrisierte Kurven: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:17 Di 16.06.2009
Autor: Pikhand

Dankeschön :)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]