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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:04 Di 19.10.2004 | | Autor: | ratz |
Hallo ,
ich habe eine parametrisierte Kurve [mm]c(t)[/mm] und möchte diese jetzt in kartesischen Koordinaten umrechen
[mm] c(t) = {\wurzel{a^2+a^2*p^2}*\ sin (p-arctan(p)),\wurzel{a^2+a^2*p^2}*\ cos (p-arctan(p))} [/mm]
hat jemend einen idee wie das gehen kann?
nach p auflösen geht bei beiden nicht und wenn ich
mal [mm]x^2+y^2 = ... [/mm] probiere bekomm ich das p auch nicht weg !?!
lg steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:56 Di 19.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Steffi
sei bitte so nett und untersuche nochmals genau, ob du dich nirgends vertippt hast!
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> ich habe eine parametrisierte Kurve [mm]c(t)[/mm] und möchte diese
> jetzt in kartesischen Koordinaten umrechen
>
> [mm]c(t) = {\wurzel{a^2+a^2*p^2}*\ sin (p-arctan(p)),\wurzel{a^2+a^2*p^2}*\ cos (p-arctan(p))}[/mm]
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1. vermute ich, dass es heissen sollte: $c(p)$ und nicht $c(t)$
2. vermute ich, dass es unter der Wurzel einmal ein Minus, das andere Mal ein Plus hat.
Kannst du das alles bitte nochmals checken?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 15:42 Di 19.10.2004 | | Autor: | ratz |
Hallo Paulus,
ja das soll natürlich [mm]c(p)[/mm] heißen, aber die zwei +
in der wurzel stimmen.
ich hab das nochmal probiert, mit [mm]x^2+y^2=...[/mm] und ich habs jetzt doch nach p auflösen können und dann einfach in x = .. eingesetzt, ich denke mal so muss das auch gehen.
Ich hab mich jedoch gleich an die nächste aufgabe gemacht und dort die gleichen Umformungen durchgeführt, Hier kann ich jetzt allerdings nicht mehr nach p auflösen. gibts auser [mm]x^2+y^2[/mm] noch andere manipulationen mit denen man oft aufs ergebnis kommt oder wie läst man dann folgende Parametrisierung in kartesische koordinaten auf??
[mm]c(p)={\wurzel{a^2+(a*(p-b+Pi/2-\ cos(p-b))/(1+sin(p-b)))^2}*
sin( p-arctan((p-b+Pi/2-\ cos(p-b))/(1+sin(p-b))) ),\wurzel{a^2+(a*(p-b+Pi/2-\ cos(p-b))/(1+sin(p-b)))^2}*
cos( p-arctan((p-b+Pi/2-\ cos(p-b))/(1+sin(p-b))) )}[/mm]
lg steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Di 19.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo ratz
ich frage mich ernsthaft, wozu du denn das $p$ eliminieren willst.
Ist das tatsächlich eine gestellte Aufgabe?
Es ist doch so, dass das eine schöne Spirale ergibt, und ein Eliminieren des Parameters $p$ betrachte ich deshalb als alles andere als sinnvoll.
Bei einer Spirale kann es ja gar keine Funktion $y(x)$ geben!
Kannst du mich da noch etwas mehr aufklären, ich bin irgendwie verwirrt!
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:21 Mi 20.10.2004 | | Autor: | ratz |
Morgen Paulus,
woran siehst du denn das das eine Spirale ist??
und warum gibt s da keine lösung [mm] y(x) = ... [/mm].
Das wusste ich bis jetzt noch nicht.
kann man das dann in polarkoordinaten darstellen??
lg steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Steffi
Die Dartstellung
$ c(t) = [mm] (\wurzel{a^2+a^2*t^2}*\sin (t-arctan(t)),\wurzel{a^2+a^2*t^2}*\cos [/mm] (t-arctan(t)))$
Bedeutet ja:
$x = [mm] \wurzel{a^2+a^2*t^2}*\sin [/mm] (t-arctan(t))$
$y = [mm] \wurzel{a^2+a^2*t^2}*\cos [/mm] (t-arctan(t))$
Wenn du mal den Wurzelausdruck wegdenkst, entsteht
$x = [mm] \sin [/mm] (t-arctan(t))$
$y = [mm] \cos [/mm] (t-arctan(t))$
Die weitere Substitution
[mm] $t-arctan(t)=\varphi$
[/mm]
führt zu
$x = [mm] \sin (\varphi)$
[/mm]
$y = [mm] \cos(\varphi)$
[/mm]
...und da siehst du ganz deutlich, dass das ein Kreis ist.
Wenn du den Wurzelausdruck wieder dazudenkst, erkennst du, dass sein Wert mit wachsendem Parameter $t$ steigt. Das heisst, der "Kreisradius" wird mit wachsendem $t$ grösser, der Kreis mutiert zu einer Spirale.
Das mit den Polarkoordinaten kannst du ja einmal versuchen, ich habe mir darüber aber noch keine konkreten Gedanken gemacht.
Evtl könnte man auch die Additionstheoreme anwenden?
Wie zum Beispiel
[mm] $\sin (\alpha+\beta)=\sin (\alpha) \cos (\beta) [/mm] + [mm] \sin (\beta) \cos (\alpha)$
[/mm]
Dann kann [mm] $\sin (\arctan [/mm] (t))$ auch noch umgesetzt werden. Ist aber nur so eine Idee, die ich nicht weiterverfolgt habe. (Rechenarbeit  )
Mit lieben Grüssen
Paul
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