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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 Sa 02.04.2011 | | Autor: | jaood |
Gegeben sei der Kreiskegel
[mm] \begin{displaymath}
B=\left\{ (x,y,z) < \sqrt{x^2+y^2} \leq 1-\frac{z}{2}, 0\leq z \leq 2 \right\}.
\end{displaymath}
[/mm]
[mm] \paragraph{(a)} [/mm] Die Oberfläche von $B$ soll unter Verwendung von Zylinderkoordinaten parametrisiert werden. Die Oberfläche setzt sich aus dem Kegelmantel $M$ und der Grundfläche $D$ zusammen.
[mm] \paragraph{(b)} [/mm] Es soll der Normalenvektor auf [mm] $\partial [/mm] B$ bestimmt werden.
[mm] \paragraph{(c)} [/mm] Es soll das skalare Oberflächenintegral
[mm] \begin{displaymath}
\iint\limits_{\partial B} \left(1-\frac{z}{2}\right)^2-(x^2+y^2) dO
\end{displaymath}
[/mm]
bestimmt werden.
Vielen Dank schon mal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Sa 02.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich denke du musst die 2 Teile getrennt ausrechnen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Sa 02.04.2011 | | Autor: | jaood |
Danke für die superfixe Antwort!
Bin ein wenig verwirrt durch die Aufgabenstellung, denn dort wird explizit gesagt berechnen sie DEN Normalenvektor und DAS skalare Oberflächenintegral.
Wenn ich jetzt die Normalenvektoren der Mantel und der Grundfläche berechne, dann habe ich ja zwei Normalenvektoren und nicht den Normalvektor auf [mm] \partial [/mm] B.
Und dann habe ich ja auch zwei unterschiedliche Oberflächeelemente und berechne den Flächeninhalt des Bodens und den des Mantels separat und addieren diese dann, ist das so richtig und geht nicht anders ja?
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Hallo jaood,
> Danke für die superfixe Antwort!
>
> Bin ein wenig verwirrt durch die Aufgabenstellung, denn
> dort wird explizit gesagt berechnen sie DEN Normalenvektor
> und DAS skalare Oberflächenintegral.
>
> Wenn ich jetzt die Normalenvektoren der Mantel und der
> Grundfläche berechne, dann habe ich ja zwei
> Normalenvektoren und nicht den Normalvektor auf [mm]\partial[/mm] B.
>
> Und dann habe ich ja auch zwei unterschiedliche
> Oberflächeelemente und berechne den Flächeninhalt des
> Bodens und den des Mantels separat und addieren diese dann,
> ist das so richtig und geht nicht anders ja?
Ja, das ist richtig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 So 03.04.2011 | | Autor: | jaood |
Okay vielen Dank!
Wenn ich jetzt die Normalenvektoren ausrechne, dann habe ich zwei Normalenvektoren, einmal den der Kreisfläche, einmal den des Mantels.
Muss ich diese irgendwie noch weiter verwerten, damit ich auf "den" Normalenvektor von Rand B komme?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 So 03.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
"den" normalenvektor gibt es nicht! auch für den mantel ist er ja vom ort abhängig.
also kannst du nur den NV in abh von x,y,z oder r 7theta 7phi angeben.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 So 03.04.2011 | | Autor: | jaood |
Okay Danke!
Bin nun dabei das skalare Oberflächenintegral zu berechnen. Komme dabei auf folgendes Ergebnis in Abhängigkeit von Rho:
[mm] \paragraph{(c)} [/mm] Es soll das skalare Oberflächenintegral
[mm] \begin{displaymath}
\iint\limits_{\partial B} \left(1-\frac{z}{2}\right)^2-(x^2+y^2) dO
\end{displaymath}
[/mm]
bestimmt werden.
Für die Grundfläche ergbit sich
[mm] &\iint\limits_{D} \left(1-\frac{z}{2}\right)^2-(x^2+y^2) [/mm] dO [mm] \\
[/mm]
&= [mm] \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} \left(\left(1-\frac{z}{2}\right)^2-(x^2+y^2) \right)\sqrt{\left( -\frac{z^3}{2} \right)^2} dzd\phi \\
[/mm]
&= [mm] \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} \left( \left(1-\frac{z}{2}\right)^2-(x^2+y^2)\right) \frac{z^3}{2} dzd\phi \\
[/mm]
&= [mm] \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} \left(1-z+\frac{z^2}{4}-\rho^2\right)\frac{z^3}{2} dzd\phi \\
[/mm]
&= [mm] \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} \frac{z^3}{2}-\frac{z^4}{2}+\frac{z^5}{8}-\frac{z^3\rho^2}{2} dzd\phi \\
[/mm]
&= [mm] \int_{0}^{2\pi} \frac{2}{15}-2\rho^2 d\phi \\
[/mm]
&= [mm] \frac{4\pi}{15}-4\pi\rho^2 [/mm]
Kann vlt mal jemand drüber gucken? Bin mir nicht sicher ob das so richtig ist. Habe [mm] x^2+y^2 [/mm] in Zylinderkoordinaten transformiert und so [mm] \rho^2 [/mm] erhalten. Nun ist aber ja das Ergebnis in Abhängigkeit von Rho. Gibt es einen besseren Ansatz oder stimmt das so?
Vielen Dank im voraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 So 03.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich versteh das nicht. die Grundfläche ist doch z=0, [mm] x^2+y^2<1? [/mm] wieso intgrierst du über z? auf dem mantel ist r=z-2 wieso kommt da noch r vor? was sind denn deine Normalenvektoren?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 So 03.04.2011 | | Autor: | jaood |
Also ich habe in a) die Grundfläche in Zylinderkoordinaten wie folgt parametrisiert
[mm] \begin{displaymath}
D= \begin{pmatrix} \frac{z}{2} \cos \phi \\
\frac{z}{2} \sin \phi \\ 0 \end{pmatrix}
\quad \text{ mit } \phi \in [0,2\pi], z \in [0,2]
\end{displaymath}
[/mm]
Dann hab ich in b) den Normalenvektor der Grundfläche errechnet
[mm] \begin{displaymath}
\frac{\partial \vec{d}}{\partial \phi} \times \frac{\partial \vec{d}}{\partial z} =
\begin{pmatrix} -\frac{z}{2} \sin \phi \\
\frac{z}{2} \cos \phi \\ 0 \end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix} z^2 \cos \phi \\
z^2 \sin \phi \\ 0 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 0 \\
0 \\
-\frac{z^3}{2}
\end{pmatrix}
\end{displaymath}
[/mm]
Und dann dachte ich mir halt, dass ich wenn ich die Fläche in a) in Zylinderkoordinaten parametrisieren soll, dass ich sie auch in diesen Integriere?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 So 03.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein z/2 ist doch dein [mm] \rho [/mm] oder mein r
und dein dD/dz ist falsh! d/dz(z/2)=1/2
[mm] dO=rd\phi [/mm] oder [mm] z/2*d\phi*dz [/mm] das sieht man schon an der dimensin z^3dz hat die dimension [mm] Länge^4!
[/mm]
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 So 03.04.2011 | | Autor: | jaood |
Hallo,
also richtig müsse der Normalenvektor dann lauten:
[mm] \begin{displaymath}
\frac{\partial \vec{d}}{\partial \phi} \times \frac{\partial \vec{d}}{\partial z} =
\begin{pmatrix} -\frac{z}{2} \sin \phi \\
\frac{z}{2} \cos \phi \\ 0 \end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\cos \phi \\
\frac{1}{2} \sin \phi \\ 0 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 0 \\
0 \\
-\frac{1}{4}z
\end{pmatrix}
\end{displaymath}
[/mm]
Dauert ergibt sich:
[mm] \iint\limits_{D} \left(1-\frac{z}{2}\right)^2-(x^2+y^2) [/mm] dO [mm] \\
[/mm]
= [mm] \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} \left(\left(1-\frac{z}{2}\right)^2-(x^2+y^2) \right)\sqrt{\left( -\frac{z}{4} \right)^2} dzd\phi \\
[/mm]
= [mm] \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} \left(\left(1-\frac{z}{2}\right)^2-(x^2+y^2) \right)\frac{z}{4} dzd\phi \\
[/mm]
Tut mir leid, dass ich nochmal fragen muss: Wie verarbeite ich nun das [mm] (x^2+y^2)? [/mm] Das ist ja das gleiche wie [mm] rho^2, [/mm] also der [mm] Radius^2. [/mm] Wenn bei der Parametrisierung der Fläche Rho = z/2 ist, kann ich dann hier einfach (z/2) für das [mm] (x^2+y^2) [/mm] ersetzen?
Vielen Dank schonmal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 So 03.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich finde es ungünstig , dass du bei der Grundfläche , die ja bei z =0 liegt deine integrationsvarable z nennst. dadurch wird so ziemlich alles falsch.
die GF ist doch [mm] x^2+y^2<1 [/mm] oder [mm] r^2<1, [/mm] z=0
also parametrisier die GF mit [mm] x=rcos\phi, y=rsin\phi [/mm] z=0
[mm] 0\le r\le1
[/mm]
dann ist dein integral ja viel einfacher. eigentlich hat da z nichts verloren.
auf ddem >mantel ist r von z abhängig.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 So 03.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich finde es ungünstig , dass du bei der Grundfläche , die ja bei z =0 liegt deine integrationsvarable z nennst. dadurch wird so ziemlich alles falsch.
die GF ist doch [mm] x^2+y^2<1 [/mm] oder [mm] r^2<1, [/mm] z=0
also parametrisier die GF mit [mm] x=rcos\phi, y=rsin\phi [/mm] z=0
[mm] 0\le r\le1
[/mm]
dann ist dein integral ja viel einfacher. eigentlich hat da z nichts verloren.
auf ddem Mantel ist r von z abhängig.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 So 03.04.2011 | | Autor: | jaood |
Danke für die Antwort.
Also mit der Parametrisierung:
[mm] \begin{displaymath}
D= \begin{pmatrix} \rho \cos \phi \\
\rho \sin \phi \\ 0 \end{pmatrix}
\quad \text{ mit } \phi \in [0,2\pi], \rho \in [0,1]
\end{displaymath}
[/mm]
Erhält man den Normalenvektor:
[mm] \begin{displaymath}
\frac{\partial \vec{d}}{\partial \phi} \times \frac{\partial \vec{d}}{\partial \rho} =
\begin{pmatrix} -\rho \sin \phi \\
\rho \cos \phi \\ 0 \end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix} \cos \phi \\
\sin \phi \\ 0 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 0 \\
0 \\
-\rho
\end{pmatrix}
\end{displaymath}
[/mm]
Und damit für das Oberflächenintegral (z=0) :
[mm] \iint\limits_{D} \left(1-\frac{z}{2}\right)^2-(x^2+y^2) [/mm] dO [mm] \\
[/mm]
= [mm] \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \left(\left(1-\frac{z}{2}\right)^2-(x^2+y^2) \right)\sqrt{\left( -\rho \right)^2} d\rho d\phi \\
[/mm]
= [mm] \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \left( \left(1-\frac{z}{2}\right)^2-(x^2+y^2)\right) \rho d\rho d\phi \\
[/mm]
= [mm] \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \left(1-z+\frac{z^2}{4}-\rho^2\right) \rho d\rho d\phi \\
[/mm]
= [mm] \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \rho-\rho^3 d\rho d\phi \\
[/mm]
= [mm] \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} d\phi \\
[/mm]
= [mm] \frac{\pi}{2} [/mm]
Habe ich das so richtig verstanden ja?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 So 03.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
das Ergebnis ist richtig, aber warum du nicht gleich z=0 und [mm] x^2+y^2=\rho^2 [/mm] einsetzt bleibt mit schleierhaft.
Gruss leduart
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