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| Aufgabe | Es darf vorausgesetzt werde, dass die Menge
[mm] \{x\in\IR^{3}; |x|=1\} \cap \{x\in\IR^{3}; x_{1} + x_{2} = 0\} \cap ([0,\infty) [/mm] x [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR) \subset \IR^{3}
[/mm]
eine stückweise glatte Jordankurve ist. Geben Sie eine (ggf. stückweise) Parametrisierung an. |
Also,
Der erste Teil beschreibt ja einen Kreis mit Radius 1, der zweite Teil eine fallende Ursprungsgerade mit Steigung 1.
Ich habe mir mal eine Skizze gemacht mit der Geraden und dem Kreis. Der Schnitt davon sind ja aber nur zwei Punkte, wie soll ich davon eine Parametrisierung angeben?
Schon mal vielen Dank für die Hilfe :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Do 20.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es darf vorausgesetzt werde, dass die Menge
>
> [mm]\{x\in\IR^{3}; |x|=1\} \cap \{x\in\IR^{3}; x_{1} + x_{2} = 0\} \cap ([0,\infty)[/mm]
> x [mm]\IR[/mm] x [mm]\IR) \subset \IR^{3}[/mm]
>
> eine stückweise glatte Jordankurve ist. Geben Sie eine
> (ggf. stückweise) Parametrisierung an.
> Also,
> Der erste Teil beschreibt ja einen Kreis mit Radius 1, der
> zweite Teil eine fallende Ursprungsgerade mit Steigung 1.
> Ich habe mir mal eine Skizze gemacht mit der Geraden und
> dem Kreis. Der Schnitt davon sind ja aber nur zwei Punkte,
> wie soll ich davon eine Parametrisierung angeben?
> Schon mal vielen Dank für die Hilfe :)
Du bist doch im [mm] \IR^3 [/mm] !!!
[mm] \{x\in\IR^{3}; |x|=1\} [/mm] ist die Oberfläche der Einheitskugel !
[mm] \{x\in\IR^{3}; x_{1} + x_{2} = 0\} [/mm] ist eine Ebene !
FRED
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Achja, das habe ich übersehen,...
Also wenn man diese Ebene mit der Einheitskugel schneidet, erhält man einen Kreis, habe eine neue Skizze angefertigt.
Die Parametrisierung für einen Kreis kenne ich aber nur im zweidimensionalen mit [mm] (cos(\alpha), sin(\alpha)) [/mm] für [mm] \alpha [/mm] von 0 bis [mm] 2\pi
[/mm]
Funktioniert das auch im dreidimensionalen?
Habe es nocheinmal mit Rechnen probiert:
Ich habe ja die Gleichung für die Kugel und für die Ebene:
[mm] x^{2}+y^{2}+z^{2}=0 [/mm] und x + y = 0
Wenn ich die beiden jetzt schneide erhalte ich
[mm] 2y^{2} [/mm] + [mm] z^{2} [/mm] = 0
Bringt mich das irgendwie weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Do 20.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
zur prametrisierung hilft das doch nichts?
da du weisst, dass du einen Kreis in der Ebene x1+x2=0 brauchst, nimm einfach 2 darin senkrechte Einheitsvektoren, und multiplizier sie mit [mm] cos\phi [/mm] und [mm] sin\phi [/mm] dann hast du den Kreis.
Gruss leduart
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Ok, vielen Dank, ich habe jetzt auch rausgefunden, dass der Mittelpunkt des Schnittkreises bei (0,0,0) ist und der Radius 1 genauso wie bei der Kugel.
Ich habe mir einen Einheitsvektor gesucht: [mm] \vektor{1 \\ -1\\0} [/mm] .
Dieser liegt ja auch in der Ebene.
Normiert habe ich ihn auch aber nun finde ich keinen passenden der auf diesem Vektor senkrecht steht, außer (0,0,0).
Gibt es da wirklich keinen oder kann man für die z-Koordinate auch einfach etwas einsetzen, obwohl die ja gar nicht in der Ebenengleichung vorkommt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Do 20.06.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ok, vielen Dank, ich habe jetzt auch rausgefunden, dass der
> Mittelpunkt des Schnittkreises bei (0,0,0) ist und der
> Radius 1 genauso wie bei der Kugel.
> Ich habe mir einen Einheitsvektor gesucht: [mm]\vektor{1 \\ -1\\0}[/mm]
> .
Das stimmt soweit
> Dieser liegt ja auch in der Ebene.
> Normiert habe ich ihn auch aber nun finde ich keinen
> passenden der auf diesem Vektor senkrecht steht, außer
> (0,0,0).
Probier mal [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] dieser erfüllt doch die Bedingung der Ebene
> Gibt es da wirklich keinen oder kann man für die
> z-Koordinate auch einfach etwas einsetzen, obwohl die ja
> gar nicht in der Ebenengleichung vorkommt?
Marius
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Ja, der ist auf jeden Fall auch senkrecht auf dem Vektor den ich schon gefunden habe, aber ich könnte ja zum Beispiel auch [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
oder sowas nehmen, nur ist ja die Frage ob man das machen kann weil in der Ebenengleichung die z-Koordinate nicht vorkommt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Do 20.06.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Ja, der ist auf jeden Fall auch senkrecht auf dem Vektor
> den ich schon gefunden habe, aber ich könnte ja zum
> Beispiel auch [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 2}[/mm]
> oder sowas nehmen, nur
> ist ja die Frage ob man das machen kann weil in der
> Ebenengleichung die z-Koordinate nicht vorkommt...
Mache doch die Punktprobe. Wird die Ebenengleichung erfüllt?
Marius
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Ja, wird sie :)
Ok, ich erhalte damit nun als Parametrisierung:
[mm] \vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}}cos(t) \\ -\bruch{1}{\wurzel{2}}cos(t) \\ sin(t)}
[/mm]
Ist das ok so? :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:49 Do 20.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, nur noch angeben von wo bis wo t geht.
Gruss leduart
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Ok, super, vielen Dank.
t geht von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] oder?
Wie kann ich das denn hier als fertig markieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Fr 21.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
es war doch x1>0 gegeben, also nicht der ganze Kreis.
wenn du zufrieden bist schreib ne kurze Mitteilung dazu, keine Frage.
Gruss leduart
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Stimmt, daran habe ich gar nicht gedacht, dann t von 0 bis [mm] \pi/2 [/mm] ? :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Fr 21.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
prüf nach ob du dann y,z aus ganz R hast? kannst du dir den Kreis vorstellen ?
Gruss leduart
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Ich dachte jetzt, dass wenn x1 größer als 0 sein muss, das einfach der erste viertelkreis ist aber dann ist x2 ja auch immer größer 0 und x3 kommt irgendwie gar nicht vor? Oder ist es t von 0 [mm] bis\pi, [/mm] denn dann ist x1 immer größer 0, x2 kommt aus ganz R und bei x3 weiß ich es gerade nicht..
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Kann mir denn wirklich niemand sagen von wo bis wo t gehen muss? :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 So 23.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch die [mm] x_1 [/mm] Koordinate, für welche t ist die denn >0?
ausserdme hast du dir mal die ebene mit dem Kreis skizziert? Wenn wir dir einfach das Ergebnis sagen kannst du die nächste Aufgabe nicht..
Gruss leduart
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Ich glaube ich weiß nun was gemeint ist. Die x1-Koordinate ist ja:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] cos(t)
So, und das ist jetzt [mm] \ge [/mm] 0 für t [mm] \in [/mm] [0, [mm] \bruch{\pi}{2}] [/mm] und für
t [mm] \in [\bruch{3\pi}{2}, 2\pi]
[/mm]
Ist es das was gemeint ist?
Ich hatte glaube echt einen Denfehler, jetzt ergibt die Aufgabenstellung auch Sinn :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Mo 24.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig, ich hätte allerdings gesagt [mm] von-\pi/2 [/mm] bis [mm] +\pi/2
[/mm]
Gruss leduart
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In der Aufgabenstellung stand doch [mm] \cap ([0,\infty) [/mm] x [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR) [/mm] also muss x1 ja auf jeden Fall größer 0 sein oder?
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Ja genau [mm] x_1 [/mm] soll größer Null sein.
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