Parametrisierung Ellipsoid < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei Q der Körper, der entsteht, wenn die Kurve [mm] z=x^2 [/mm] mit [mm] 0\le x\le [/mm] 1 um die z-Achse rotiert.
i) Skizzieren Sie und parametrisieren Sie [mm] \delta [/mm] Q. Zeigen Sie dabei auch die Richtung des Vektoriellen Oberflächenelements ein.
ii) Berechnen Sie die Oberfläche von [mm] \delta [/mm] Q
iii) Es sei [mm] v:\IR [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] (x,y,z) [mm] \mapsto \pmat{ e^{x^{2}+y^{2}} \\ yz \\ z-x } [/mm] gegeben. Bestimmen Sie das Flussintegral von v durch [mm] \delta [/mm] Q.
iv) Berechnen Sie [mm] \integral \integral_{Q} \integral [/mm] div v(x,y,z) dxdydz und vergleichen Sie ihr Resultat mit der Antwort von iii). |
Schon beim Skizzieren bin ich mir nicht sehr sicher, was hier richtig ist. Das [mm] x^{2} [/mm] deutet auf einen halben Ellipsoid hin, aber da [mm] x\in [/mm] [0,1], sieht es wohl eher wie ein halber Kreis aus denke ich. Nur wie parametrisiere ich einen halben Kreis (wenn es denn richtig ist)? Ich brauche dann ja sowohl die Kreisscheibe in xy-Ebene, als auch die Kugel richtig?
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Wenn eine Parabel rotiert, entsteht ein ![[]](/images/popup.gif) Paraboloid, kein Ellipsoid. Übrigens, es heißt "das" Ellipsoid.
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Danke für die Aufklärung, aber die Frage ist nun: Wie parametrisiere ich ein Parabloid?
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Schneidest du parallel zur [mm]xy[/mm]-Ebene den Körper in der Höhe [mm]z[/mm] durch, erhältst du einen Kreis vom Radius [mm]r = \sqrt{z}[/mm]. Und wie man einen Kreis parametrisiert, sollte bekannt sein.
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Den Kreis zu parametrisieren sollte nicht das Problem sein, die Mantelfläche bringt mich da schon eher in Schwierigkeiten.
Mir fällt jedoch gerade etwas ein. Kann ich das Parabloid nicht so parametrisieren:
[mm] x_{P}:[0,1]\times[0,2\pi] \to \IR^{3}, [/mm] (r,phi) [mm] \mapsto \pmat{ r*cos(phi) \\ r*sin(phi) \\ r^2 } [/mm] ?
Ich glaube mal gehört zu haben, dass man einfach in den ersten beiden Spalten r* cos bzw. sin von phi nimmt, und unten die Rotationsfunktion nur mit r eingesetzt. Ist das die gesuchte Parametrisierung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:53 Di 15.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Den Kreis zu parametrisieren sollte nicht das Problem sein,
> die Mantelfläche bringt mich da schon eher in
> Schwierigkeiten.
>
> Mir fällt jedoch gerade etwas ein. Kann ich das Parabloid
> nicht so parametrisieren:
>
> [mm]x_{P}:[0,1]\times[0,2\pi] \to \IR^{3},[/mm] (r,phi) [mm]\mapsto \pmat{ r*cos(phi) \\ r*sin(phi) \\ r^2 }[/mm]
> ?
>
Ja, das ist eine gültige Paremtrisierung. Die ersten beiden Einträge stellen ja genau die vorhin schon erwähnte Kreisparametrisierung dar.
Gruß RMix
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Alles klar, ich habe dann mal das Kreuzprodukt der beiden partiellen Ableitungen gebildet und erhalte:
[mm] \bruch{\delta x_{K}}{\delta r} \times \bruch{\delta x_{K}}{\delta phi} [/mm] = [mm] \vektor{cos (phi) \\ sin (phi) \\ 2r} \times \vektor{-rsin (phi) \\ rcos (phi) \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{-2*r^{2}*cos (phi) \\ -2*r^{2}*sin(phi) \\ r}.
[/mm]
Bleibt die Frage, ob es in den Körper zeigt, oder nicht. Da die letzte Zeile positiv ist, vermute ich mal, dass das vektorielle Oberflächenelement in den Körper zeigt, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Di 15.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Alles klar, ich habe dann mal das Kreuzprodukt der beiden
> partiellen Ableitungen gebildet und erhalte:
>
> [mm]\bruch{\delta x_{K}}{\delta r} \times \bruch{\delta x_{K}}{\delta phi}[/mm]
> = [mm]\vektor{cos (phi) \\ sin (phi) \\ 2r} \times \vektor{-rsin (phi) \\ rcos (phi) \\ 0}[/mm]
> = [mm]\vektor{-2*r^{2}*cos (phi) \\ -2*r^{2}*sin(phi) \\ r}.[/mm]
>
> Bleibt die Frage, ob es in den Körper zeigt, oder nicht.
Nein, es ist immer noch kein Körper sondern nur eine Fläche, die du da parametrisiert hast.
> Da die letzte Zeile positiv ist, vermute ich mal, dass das
> vektorielle Oberflächenelement in den Körper zeigt,
> richtig?
Nun, für dieses Objekt zeigt der so gebildete Normalvektor dorthin, wo man bei einem Becher landläufig "innen" sagen würde. Stellst du den Becher aber auf den Kopf, lässt du also zB [mm] z(x):=-x^2 [/mm] rotieren, dann würde eine positive z-Komponente der Normalvektors bedeuten, dass er nach "aussen" zeigt.
Die positive z-Komponente bedeutet doch nur, dass der Vektor nach oben orientiert ist.
Wie definierst du eigentlich "innen"?
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Stimmt, "innen" ist schwer zu beschreiben, wenn das Gebilde kein Volumen hat. Zeigt das vektorielle Oberflächenelement also automatisch nach "außen", weil es ja kein "innen" gibt, sozusagen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Di 15.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Stimmt, "innen" ist schwer zu beschreiben, wenn das Gebilde
> kein Volumen hat. Zeigt das vektorielle Oberflächenelement
> also automatisch nach "außen", weil es ja kein "innen"
> gibt, sozusagen?
>
Wenns kein "Innen" gibt, dann gibts ja vermutlich auch kein "Außen", oder?
Die Frage ist nicht beantwortbar, solange keine Definition von "innen" oder "außen" am Tisch liegt. Das kann konkret dadurch geschehen, dass man eine bestimmte Parametrisierung vorgibt und dann definiert, dass die Richtung in die der Normalvektor (so wie von dir gebildet) weist, eben außen (oder auch innen) sei. Ändert man die Parametrisierung oder auch nur deren Orientierung, kann sich das sofort wieder umdrehen. Alles also nur Definitionssache.
Aber soweit ich die Angabe lese ist ja aber nichts dergleichen verlangt.
Du sollst doch nur das vektorielle Flächenelement einzeichnen.
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Alles klar, dann muss ich nur noch herausfinden, wohin genau der Vektor zeigt. Gibt es da einen Trick, um das zu erkennen? Wenn ich ihn einzeichnen soll, muss ich ja wissen, wo er liegt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Di 15.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Alles klar, dann muss ich nur noch herausfinden, wohin
> genau der Vektor zeigt. Gibt es da einen Trick, um das zu
> erkennen? Wenn ich ihn einzeichnen soll, muss ich ja
> wissen, wo er liegt.
Hatten wir das nicht schon? Du hast ja selbst gemeint, er würde in deinem Beispiel wegen der positiven z-Komponente nach innen zeigen.
ich meinte dann, "nach oben", was, so wie dein Paraboloid im Raum liegt, hier das gleiche ist, wenn wir mir "innen" den Bereich bezeichnen, den jeder normale Mensch als das Innere eines Bechers bezeichnen würde.
Gruß RMix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Mi 16.07.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
das [mm] r^2 [/mm] in deinem Normalenvektor ist falsch, es ist nur r
Gruß leduart
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> Sei Q der Körper, der entsteht, wenn die Kurve [mm]z=x^2[/mm] mit
> [mm]0\le x\le[/mm] 1 um die z-Achse rotiert.
Guten Abend
Ich möchte nur noch darauf hinweisen, dass bei der Rotation
des angegebenen Parabelbogens um die z-Achse überhaupt
kein (dreidimensionaler) Körper entsteht, sondern "nur" ein
(zweidimensionales) Flächenstück, das als paraboloidförmiger
"Becher" beschrieben werden könnte.
Wenn wirklich ein Körper erzeugt werden soll, so müsste nicht
bloß ein Kurvenstück, sondern ein Flächenstück der x-z-Ebene
um die z-Achse rotiert werden.
LG , Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 Di 15.07.2014 | | Autor: | elduderino |
Das hatte ich ja völlig übersehen, danke für den Hinweis!
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Doch handelt es sich nicht um einen dreidimensionalen Becher?
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> Doch handelt es sich nicht um einen dreidimensionalen
> Becher?
Der "Becher" ist ein zweidimensionales Flächenstück,
das in den 3D - Raum eingebettet ist. Sein Volumen
(Rauminhalt) ist gleich 0 .
Der Becher ist "leer" !
LG , Al-Chw.
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Das will mir nicht so wirklich in den Kopf. Wenn ich eine Parabel in der xz-Ebene habe und diese dann um die z-Ebene rotiere, habe ich doch einen Becher in einem dreidimensionalen Koordinatensystem, der dreidimensional und nicht zweidimensional ist oder nicht?
Ist denn davon mal abgesehen meine Parametrisierung, die etwas weiter oben in einer Frage steht, korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Di 15.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Das will mir nicht so wirklich in den Kopf. Wenn ich eine
> Parabel in der xz-Ebene habe und diese dann um die z-Ebene
> rotiere, habe ich doch einen Becher in einem
> dreidimensionalen Koordinatensystem, der dreidimensional
> und nicht zweidimensional ist oder nicht?
Du musst zwischen der Dimension des betrachteten Objekts und der Dimension des Raumes, in dem du dir dieses Objekt eingebettet denkst unterscheiden.
Wir leben ja wohl in einer dreidimensionalen Welt und verstehen uns als dreidimensionale "Objekte". Wenn unser Universum aber gekrümmt ist (du weisst schon, Wurmlöcher und so), so ist das nur in einer Einbettung in einen höherdimensionalen Raum möglich. Trotzdem werden wir dadurch nicht zu vierdimensionalen Wesen.
Die Parabel, die da in diesem Beispiel rotiert ist ja auch nur ein eindimensionales Gebilde, auch wenn ich mindestens einen zweidimensionalen Raum benötige um sie darzustellen.
> Ist denn davon mal abgesehen meine Parametrisierung, die
> etwas weiter oben in einer Frage steht, korrekt?
Ja.
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Gut, es handelt sich um ein zweidimensionales Gebilde. Wie soll ich dieses aber in einem dreidimensionalen Raum skizzieren? Das Parabloid, welches ich gerne zeichnen würde, ist ja dreidimensional...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Di 15.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Gut, es handelt sich um ein zweidimensionales Gebilde. Wie
> soll ich dieses aber in einem dreidimensionalen Raum
> skizzieren? Das Parabloid, welches ich gerne zeichnen
> würde, ist ja dreidimensional...
Sehen wir jetzt einmal ab von Spitzfindigkeiten, wie, dass in unserer realen Welt ohnedies alles 3-dimensional ist, auch die Bleistiftlinie die ich aufs Blatt Papier male, da wir niedrigdimensionalere Objekte gar nicht wahrnehmen können.
Das Paraboloid als Fläche, so wie sie bei diesem Beispiel entsteht, ist trotzdem zweidimensional, sorry.
Ich versteh jetzt auch die obige Frage nicht ganz.
Eine Dimension tiefer: Die Parabel in der xz-Ebene ist eindimensional und du hast sicher auch keine Probleme, sie im xz-Koordinatensystem einzuzeichnen. Die eindimensionale Parabellinie ist eben in den ebenen [mm] \IR^2 [/mm] der xy-Ebene eingebettet.
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Vielleicht liegt hier auch ein ganz anderes Problem vor, nämlich, dass ich nicht weiß, was genau ein- bzw. zwei- bzw. dreidimensional ist.
Für mich ist das Parabloid wie ein Becher oder ein Glas das auf meinem Tisch steht, und die sind doch dreidimensional. Wenn ich mir nun ein Parabloid plotten lasse, sieht das doch genau so aus, also schließe ich auf Dreidimensionalität...es wurde jedoch vorher schon geschrieben, dass dieser Becher die Wandstärke 0 hat, was ihn dann wohl zu einem zweidimensionalen Gebilde macht.
Allerdings bringt mich diese Erkenntnis(wenn sie denn eine ist) auch nicht weiter im Bezug auf das Skizzieren. Ich muss doch einfach nur einen "Becher" in ein 3D-Koordinatensystem zeichnen oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 Di 15.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Vielleicht liegt hier auch ein ganz anderes Problem vor,
> nämlich, dass ich nicht weiß, was genau ein- bzw. zwei-
> bzw. dreidimensional ist.
Ja, und es widerspricht ja auch dem normalen Sprachgebrauch, diese Becheroberfläche als Nicht-Dreidimensional zu bezeichnen. Obwohl das Wort OberFLÄCHE schon ein deutlicher Hinweis ist.
Ich habs schon früher kurz angeschnitten: Wenn etwas zweidimensional ist, dann benötigst du nur zwei Zahlen, zwei Koordinaten, um jeden beliebigen Punkt in dieser Punktmenge eindeutig zu beschreiben.
Auf einer Geraden (oder auch nur einer Strecke), und die ist sicher auch in deiner Terminologie 1-dimensional, legst du einen Nullpunkt und eine Orientierung fest und danach kannst du jeden Punkt der Geraden durch Angabe einer Koordinate (den orientierten Abstand vom Nullpunkt) eindeutig festlegen. Wenn du diese Gerade jetzt zu einer Parabel verbiegst oder aber (als dreidimensionale Wesen könne wir das gedanklich) sogar zu einer Spiralfeder, so ändert das an der Parametrisierung absolut nichts - eine einzige Zahl reich nach wie vor. Das Gebilde ist also nach wie vor eindimensional.
Aus dem gleichen Grund ist unsere Erdoberfläche auch nur zweidimensional und wir kommen bekanntlich mit nur zwei Koordinaten (zB Längen- und Breitengrad) zur Ortsangabe aus.
> Allerdings bringt mich diese Erkenntnis(wenn sie denn eine
> ist) auch nicht weiter im Bezug auf das Skizzieren. Ich
> muss doch einfach nur einen "Becher" in ein
> 3D-Koordinatensystem zeichnen oder nicht?
Ja  Und zusätzlich ein Flächenelement, vielleicht so hübsch wie hier auf Folie 4: vl22.pdf.
Gruß RMix
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Zunächst einmal muss ich mich hier für deine Hilfe bedanken, echt super! :)
Schön, dass ich jetzt weiß, was wie viele Dimensionen hat, bleibt nur noch eine Frage dazu: Wo und wie trage ich das Flächenelement ein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Di 15.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Zunächst einmal muss ich mich hier für deine Hilfe
> bedanken, echt super! :)
> Schön, dass ich jetzt weiß, was wie viele Dimensionen
> hat, bleibt nur noch eine Frage dazu: Wo und wie trage ich
> das Flächenelement ein?
Nun, so wie auf der Folie in dem Link den ich angegeben hatte wäre es sicher recht hübsch, wenn du es hinbekommst.
Ich weiß nicht, wie ihr das in der Vorlesung oder den Übungen üblicherweise gemacht habt. Ob man also von dir tatsächlich eine hübsche axonometrische Ansicht erwartet, oder ob eine Kreuzrißansicht mit projizierender Tangentialebene für ausreichend befunden wird.
Möglicherweise wird auch von dir erwartet, das du ein Linienraster für konstante Parameterwerte einzeichnest, also bei dir ein paar Schichtkreise (r=cons.) und ein paar Lagen der erzeugenden parabel (phi=const.).
Da solltest du dich wirklich schlau machen, was konkret von dir erwartet wird - das können wir hier nicht wirklich wissen, da wir nicht in deiner Vorlesung/Übung gesessen sind.
Gruß RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:32 Di 15.07.2014 | | Autor: | elduderino |
Im Tutorium hatten wir es ganz schlicht als Vektor dargestellt. Es gab einen Körper und der Vektor hat dann rein oder raus gezeigt, ich werde es dann so probieren, indem ich den Vektor [mm] (0,0,1)^{T} [/mm] wähle und ihn "in" den Becher zeigen lasse.
Tausend Dank für deine Hilfe, das hat mich echt weitergebracht! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 Di 15.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Im Tutorium hatten wir es ganz schlicht als Vektor
> dargestellt. Es gab einen Körper und der Vektor hat dann
> rein oder raus gezeigt, ich werde es dann so probieren,
> indem ich den Vektor [mm](0,0,1)^{T}[/mm] wähle und ihn "in" den
> Becher zeigen lasse.
(0,0,1) zeigt senkrecht nach oben!? Den gibts eigentlich nirgends.
Der Scheitelpunkt des "Bechers" (mit r=0 und phi=beliebig) ist ja eine Ausnahme, wenn du dir dein Kreuzprodukt ansiehst (Nullvektor).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Di 15.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Doch handelt es sich nicht um einen dreidimensionalen
> Becher?
Nun das bei Rotation entstehende Gebilde ist eine Fläche, also nur zweidimensional. Sonst würdest du bei der Parametrisierung ja auch nicht mit nur zwei Parametern das Auslangen finden.
Der "Becher" hat also die Wandstärke Null - da wird die eingegossene Flüssigkeit wenig Halt finden.
Ein Blatt Papier mag als Approximation einer Fläche herhalten (in Wirklichkeit ist das natürlich doch ein Quader). Wenn du dieses nun zu einem Stanitzel zusammenrollst kommt beim Papier da trotzdem keine Dimension dazu.
Gruß RMix
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Entschuldigt bitte, aber das ergibt für mich wirklich keinen Sinn. Wenn ich die Parabel (welche in der xz-Ebene liegt) um die z-Achse rotiere, entsteht doch automatisch eine weitere Dimension oder etwa nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Di 15.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Entschuldigt bitte, aber das ergibt für mich wirklich
> keinen Sinn. Wenn ich die Parabel (welche in der xz-Ebene
> liegt) um die z-Achse rotiere, entsteht doch automatisch
> eine weitere Dimension oder etwa nicht?
Ja, stimmt.
Die Parabel ist eindimensional und bei ihrer Rotation entsteht hier etwas zweidimensionales.
Das, was da entsteht kannst du gern als Oberfläche eines Körpers sehen.
Gruß RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Di 15.07.2014 | | Autor: | elduderino |
Ich glaube ich hab's jetzt. Danke für die Aufklärung! :)
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Wobei man hier schon einmal sagen sollte, daß laut Aufgabenstellung nicht der Paraboloid-Körper, sondern die Paraboloid-Fläche zu parametrisieren war. Schließlich steht in der Aufgabe ausdrücklich [mm]\partial Q[/mm] und nicht [mm]Q[/mm]. Du hast also von vorneherein alles richtig gemacht. Insofern war die ganze Aufregung etwas gekünstelt. Wenn sie dazu gedient hat, dir den Unterschied zwischen zwei- und dreidimensionalen Objekten klarzumachen, hatte sie vielleicht sogar ihr Gutes.
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Das ist jetzt aber sehr sophistisch. Ich will nur verweisen auf das Wort "Kreis", mit dem die Kreislinie wie auch die Kreisfläche bezeichnet wird. Oder schlimmer noch die Verhältnisse bei "Winkel". Was das genau ist, konnte mir bis heute kein Mathematiker richtig erklären.
Es kommt halt auf den Zusammenhang an.
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> Das ist jetzt aber sehr sophistisch. Ich will nur verweisen
> auf das Wort "Kreis", mit dem die Kreislinie wie auch die
> Kreisfläche bezeichnet wird. Oder schlimmer noch die
> Verhältnisse bei "Winkel". Was das genau ist, konnte mir
> bis heute kein Mathematiker richtig erklären.
> Es kommt halt auf den Zusammenhang an.
Hallo Leopold
Nach meiner Meinung sollten die Formulierungen, die
in einer Mathematik-Vorlesung oder in einem Lehrbuch
vorkommen, unbedingt so "sophisticated" (differenziert)
sein !
Da geht es auch nicht, für die Kreislinie und für die
Kreisscheibe einfach so dieselbe Bezeichnung "Kreis"
zu verwenden. Analog muss man natürlich auch z.B.
bei Begriffen wie "Dreieck" , "Rechteck" etc. bei genauer
Betrachtung spezifizieren, was man damit genau meint.
Handelt es sich um (zweidimensionale) Flächenstücke
mit polygonalem Rand oder meint man mit diesen
Ausdrücken in Wahrheit nur die Kantenzüge, die ein
solches Flächenstück umranden ?
LG , Al
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Ich bin's nochmal. Mittlerweile bei Aufgabenteil iv)
Die Divergenz habe ich ausgerechnet und erhalte div v= [mm] 2x*e^{x^2+y^2}+z+1
[/mm]
Ich habe mit der Transformationsformel gearbeitet und Zylinderkoordinaten gewählt, also
[mm] k:[0,1]\times [0,2pi]\times [0,x^2] \to \IR^{3} [/mm] , (Bei dem [mm] [0,x^{2}]) [/mm] bin ich mir nicht sicher
[mm] (z,phi,r)\mapsto \pmat{ rcos(phi) \\ rsin(phi) \\ z }
[/mm]
Dann habe ich div(v(k(z,phi,r))) gebildet:
[mm] 2r*e^{r^2}*cos(phi)+r^{2}+r.
[/mm]
Die Funktionaldeterminante von k ist r.
Also für das Integral den Term [mm] 2r*e^{r^2}*cos(phi)+r^{2}+r [/mm] mit r multiplizieren. Allerdings weiß ich jetzt nicht, wie die richtigen Integralgrenzen lauten. Einer geht von 0 bis 1, einer von 0 bis 2pi, aber beim dritten bin ich mir nicht sicher, ist es von 0 bis [mm] x^{2}?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Mi 16.07.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] div(v)=2xe^{x^2+y^2}+z+1=2r*cos(\phi)*e^{r^2}+z+1
[/mm]
wie kommst du auf dein Ergebnis?
es geht r von 0 bis z, z von 0 bis 1 [mm] \phi [/mm] von 0 bis [mm] 2\pi
[/mm]
Gruss leduart
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Divergenz von v ist [mm] 2x*e^{x^{2}+y^{2}}+z+1. [/mm] Dann setze ich ein:
x=r*cos(phi)
y=r*sin(phi)
[mm] z=r^{2} [/mm]
Oder darf ich hier nicht die Werte aus meiner Parametrisierung einsetzen? Da war ja die letzte Koordinate [mm] r^{2}
[/mm]
Bleibt z stattdessen einfach z?
Und wie kommt man darauf, dass r von 0 bis z geht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Mi 16.07.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein ,du setzt Zylinderkoordinaten, die du ja hingeschrieben hast ein!
deine Fläche speilt erst bei der Integration eine Rolle, div (v) hat ja erst mal nix mit der Fläche zu tun!
In meinem post war auch noch ein Fehler, r statt z, ich hab ihn berichtigt!
Gruss leduart
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