Parametrisierung Kurve < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] (2x-1)^2+y^2=9 [/mm] en rechte lijn y=0
1. Bepaal van elk deel van de curve in de guur een parametrizatie: (a) R->S (b) S->Q (c) Q->R
2. Bereken de integralen:
[mm] I_a=\integral_{a}^{} G(x,y)\, [/mm] dx
[mm] I_b=\integral_{b}^{} G(x,y)\, [/mm] dx
[mm] I_c=\integral_{c}^{} G(x,y)\, [/mm] dx
met G(x,y)=y
3. Bereken de integraal over de gesloten curve, dus langs pad (a) gevolgd door (b) en gevolgd door (c)
4. Bereken de integraalen
[mm] K_a=\integral_{a}^{} F\, [/mm] dx
[mm] K_b=\integral_{b}^{} F\, [/mm] dx
[mm] K_c=\integral_{c}^{} F\, [/mm] dx
met F=[x,y] |
hallo :)
ich habe die Aufgaben mal alle zusammen gestellt und wollte sie der Reihe nach lösen, weil ich denke, dass alle zusammenhängen.
ich hoffe das mit dem Bild hat geklappt ich versuche es hier nochmal anzuhängen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
also ich habe mir gedanken gemacht und habe rausgefunden dass [mm] (2x-1)^2+y^2=9 [/mm] eine Ellipse sein wird.
Nur weiß ich nicht wie ich parametrisiere, vorallem nicht wenn ich gar keine Wert habe :( Ich habe viel gelesen und kam leider auf keine Lösung :( aber um die anderen Teilaufgaben zu lösen muss ich erst parametrisieren.
Wie parametrisiere ich grundsätzlich und wie kann ich das auf diese Aufgabe übertragen?
Ich hoffe ihr könnt mir einen Tipp geben, wie ich an diese Aufgabe herangehen kann :)
Vielen lieben Dank für eure Hilfe :)
liebe Grüße, eure lernwillige alaizabel :)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> [mm](2x-1)^2+y^2=9[/mm] en rechte lijn y=0
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> 1. Bepaal van elk deel van de curve in de guur een
> parametrizatie: (a) R->S (b) S->Q (c) Q->R
>
> 2. Bereken de integralen:
> [mm]I_a=\integral_{a}^{} G(x,y)\,[/mm] dx
> [mm]I_b=\integral_{b}^{} G(x,y)\,[/mm] dx
> [mm]I_c=\integral_{c}^{} G(x,y)\,[/mm] dx
> met G(x,y)=y
>
> 3. Bereken de integraal over de gesloten curve, dus langs
> pad (a) gevolgd door (b) en gevolgd door (c)
>
>
> 4. Bereken de integraalen
> [mm]K_a=\integral_{a}^{} F\,[/mm] dx
> [mm]K_b=\integral_{b}^{} F\,[/mm] dx
> [mm]K_c=\integral_{c}^{} F\,[/mm] dx
> met F=[x,y]
> hallo :)
>
> ich habe die Aufgaben mal alle zusammen gestellt und wollte
> sie der Reihe nach lösen, weil ich denke, dass alle
> zusammenhängen.
> ich hoffe das mit dem Bild hat geklappt ich versuche es
> hier nochmal anzuhängen.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> also ich habe mir gedanken gemacht und habe rausgefunden
> dass [mm](2x-1)^2+y^2=9[/mm] eine Ellipse sein wird.,
ich denke, du solltest die implizite gleichung erstmal auf die form:
[mm] \frac{(x-x_0)^2}{a^2} [/mm] + [mm] \frac{(y-y_0)^2}{b^2} [/mm] = 1
bringen und dann daraus auf die parameterform:
[mm] \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
x_0+a\cos t\\
y_0+b\sin t
\end{pmatrix}
[/mm]
kommen
dann kannst du dir ja gedanken machen, in welchem bereich t liegen muss, um deine einzelnen kurvenbereiche zu beschreiben (ein plotter könnte da recht nützlich sein  )
> Nur weiß ich nicht wie ich parametrisiere, vorallem nicht
> wenn ich gar keine Wert habe :( Ich habe viel gelesen und
> kam leider auf keine Lösung :( aber um die anderen
> Teilaufgaben zu lösen muss ich erst parametrisieren.
> Wie parametrisiere ich grundsätzlich und wie kann ich das
> auf diese Aufgabe übertragen?
> Ich hoffe ihr könnt mir einen Tipp geben, wie ich an
> diese Aufgabe herangehen kann :)
>
> Vielen lieben Dank für eure Hilfe :)
>
> liebe Grüße, eure lernwillige alaizabel :)
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Vielen Dank für deine schnelle Antwort und den guten Tipp.
also:
[mm] 4x^2-4x+1+y^2=9 [/mm] ist ja das was ich habe
[mm] 4x^2-4x +y^2=8
[/mm]
aber das hat ja noch nichts mit deiner form zu tun :(
ich hab jetzt durch 4 dividiert
[mm] x^2-x+\bruch{y^2}{4}=2
[/mm]
ich muss ja auch eins rechts kommen, kann ich dann einfach auf beiden seiten -1 rechnen?
oder löse ich [mm] (2x-1)^2 [/mm] besser gar nicht auf und nehme das schon als [mm] (x-x_0)^2? [/mm] mit x=2x und [mm] x_0=1?
[/mm]
dann wären aber a=b=1?
und rechts steht immernoch 9...
Liebe Grüße und danke für deine Mühen :)
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> Vielen Dank für deine schnelle Antwort und den guten
> Tipp.
>
> also:
>
> [mm]4x^2-4x+1+y^2=9[/mm] ist ja das was ich habe
> [mm]4x^2-4x +y^2=8[/mm]
> aber das hat ja noch nichts mit deiner
> form zu tun :(
> ich hab jetzt durch 4 dividiert
> [mm]x^2-x+\bruch{y^2}{4}=2[/mm]
>
> ich muss ja auch eins rechts kommen, kann ich dann einfach
> auf beiden seiten -1 rechnen?
>
> oder löse ich [mm](2x-1)^2[/mm] besser gar nicht auf
wäre besser ja, aber umwandeln musst du es schon: [mm] (2x-1)^2=(2*(x-0.5))^2=4*(x-0.5)^2=\frac{(x-0,5)^2}{1/4} [/mm] nun auf beiden seiten noch durch 9 teilen, dann bekommst du schöne werte für a und b
> und nehme das
> schon als [mm](x-x_0)^2?[/mm] mit x=2x und [mm]x_0=1?[/mm]
> dann wären aber a=b=1?
> und rechts steht immernoch 9...
>
> Liebe Grüße und danke für deine Mühen :)
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:) Toll, vielen liebe Dank!
ich bin dann bei [mm] \bruch{(x-0,5)^2}{\bruch{1}{4}}+y^2=9
[/mm]
daraus folgt dann: [mm] \bruch{(x-0,5)^2}{\bruch{9}{4}}+\bruch{y^2}{9}=1
[/mm]
das sieht schonmal sehr schön aus. damit ist [mm] a=\bruch{3}{2} [/mm] und b=1
[mm] \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,5+\bruch{3}{2}*\cos t \\ \sin t \end{pmatrix}
[/mm]
ist das nun die Parametrisierung? ich würde t von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] laufen lassen.
ich habe mir die funktion gerade mal angeschaut, das ist ja gezeichnet nur eine halbe ellipse. ist das für die lösung relevant?
und wie rechne ich die verschiedenen Teilabschnitte aus?
Fragen über Fragen :)
Liebe Grüße :)
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> :) Toll, vielen liebe Dank!
>
> ich bin dann bei [mm]\bruch{(x-0,5)^2}{\bruch{1}{4}}+y^2=9[/mm]
> daraus folgt dann:
> [mm]\bruch{(x-0,5)^2}{\bruch{9}{4}}+\bruch{y^2}{9}=1[/mm]
> das sieht schonmal sehr schön aus. damit ist
> [mm]a=\bruch{3}{2}[/mm] und b=1
sind wir uns nicht eher einig, dass b=3 ist?
> [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,5+\bruch{3}{2}*\cos t \\ \sin t \end{pmatrix}[/mm]
somit y=3sin(t)
>
> ist das nun die Parametrisierung? ich würde t von 0 bis
> [mm]2\pi[/mm] laufen lassen.
dann hättest du die ganze ellipse! in deiner gegebenen zeichnung waren ja 3 punkte gegeben. versuche nun zu beschreiben, welche werte t für die jeweiligen abschnitte haben muss
[Dateianhang nicht öffentlich]
>
> ich habe mir die funktion gerade mal angeschaut, das ist ja
> gezeichnet nur eine halbe ellipse. ist das für die lösung
> relevant?
>
> und wie rechne ich die verschiedenen Teilabschnitte aus?
>
> Fragen über Fragen :)
>
> Liebe Grüße :)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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ja, wir sind uns einig :D b=3
okay, ich habe mir jetzt erstmal die c-strecke angeschaut, bei den anderen weiß ich nicht wie ich daran gehen soll... Hast du einen Tipp für mich?
aber bei c muss ja y=0 sein also muss t [mm] \pi [/mm] oder ein vielfaches von [mm] \pi [/mm] sein. aber bei x weiß ich es nicht. wenn ich dort [mm] \pi [/mm] oder ein vielfaches von [mm] \pi [/mm] einsetze komm ich immer auf -1. aber was mir das sagen soll weiß ich nicht :( da weiß ich nur es muss und O bis R gehen...
Liebe Grüße und ein riesiges Dankeschön schick ich dir :)
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hmmm, irgendwie macht es bei mir nicht klick...
also wenn ich für die c-strecke x=t setze komme ich auf [mm] x=0,5+\bruch{3}{2}\cos [/mm] x aber ich glaube das war schwachsinn. ich hab dann nach x aufgelöst und kam auf x=1,13424?
bei der Kurve a:
R: y=0 und x ja hmmm, :( keine ahnung :( vielleicht das Maximum in x-Richtung? also ableiten und 0 setzen ergibt: [mm] n*\pi [/mm] für alle geraden n hat x dort sein Maximum?
S: ich habe dann y [mm] (3\sin [/mm] t) abgeleitet und gleich 0 gesetzt. das ergibt:
[mm] \bruch{(2n-1)+\pi}{2} [/mm] entspricht [mm] \pi*n-\bruch{\pi}{2} [/mm] für alle ungeraden n hat y dort sein Maximum.?
danke :)
liebe grüße
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> hmmm, irgendwie macht es bei mir nicht klick...
> also wenn ich für die c-strecke x=t setze komme ich auf
> [mm]x=0,5+\bruch{3}{2}\cos[/mm] x aber ich glaube das war
> schwachsinn. ich hab dann nach x aufgelöst und kam auf
> x=1,13424?
unten die gerade hat ja nix mehr mit der ellipse zu tun, sondern ist ein eigener abschnitt..
y=0 im bereich -1 bis 2 ist 3 L.E. lang. in parameterform dann
[mm] \vektor{x \\ y}=\vektor{ t \\ 0} [/mm] mit t [mm] \in [/mm] [-1;2]
hier wird jedem x der wert t zugeordnet und y ist immer null, entspricht also der gerade unten.
>
> bei der Kurve a:
> R: y=0 und x ja hmmm, :( keine ahnung :( vielleicht das
> Maximum in x-Richtung? also ableiten und 0 setzen ergibt:
> [mm]n*\pi[/mm] für alle geraden n hat x dort sein Maximum?
> S: ich habe dann y [mm](3\sin[/mm] t) abgeleitet und gleich 0
> gesetzt. das ergibt:
naja du weisst y=0 [mm] \gdw [/mm] 3*sin(t)=0 [mm] \gdw t=n\pi [/mm] da brauchst du eigentlich nix ableiten
der einfachheit halber nehmen wir jetzt 0 als start-"t" von der kurve a.
der endpunkt ist, wenn y sein maximum hat, wie du wie ich finde etwas komplizierter durch ableiten gelöst hast
> [mm]\bruch{(2n-1)+\pi}{2}[/mm] entspricht [mm]\pi*n-\bruch{\pi}{2}[/mm]
> für alle ungeraden n hat y dort sein Maximum.?
richtig, man würde es aber eher als [mm] \frac{\pi}{2}+n2\pi [/mm] schreiben. der einfachheit halber auch hier wieder n=0 setzen, somit ist der endpunkt bei [mm] t=\frac{\pi}{2}
[/mm]
>
> danke :)
> liebe grüße
>
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ja, komplizierte Rechnungen sind meine Stärke ~.~
> unten die gerade hat ja nix mehr mit der ellipse zu tun,
> sondern ist ein eigener abschnitt..
> y=0 im bereich -1 bis 2 ist 3 L.E. lang. in parameterform
> dann
> [mm]\vektor{x \\ y}=\vektor{ t \\ 0}[/mm] mit t [mm]\in[/mm] [-1;2]
> hier wird jedem x der wert t zugeordnet und y ist immer
> null, entspricht also der gerade unten.
oookay, aber woher weißt du das mit dem -1 bis 2? wo kann ich das sehen?
> der einfachheit halber nehmen wir jetzt 0 als start-"t"
> von der kurve a.
> setzen, somit ist der endpunkt bei [mm]t=\frac{\pi}{2}[/mm]
> >
das heißt dann
[mm]\vektor{x \\ y}=\vektor{ t \\ 0}[/mm] mit t [mm]\in[/mm] [mm] [0;\bruch{2}{\pi}] [/mm] ?
und bei b dann [mm]\vektor{x \\ y}=\vektor{ t \\ 0}[/mm] mit t [mm]\in[/mm] [mm] [\bruch{-2}{\pi};0]
[/mm]
aber y kann ja nicht immer 0 sein... ich muss das S noch mit einbeziehen oder? oder ist y einfach wieder t?
liebe grüße :)
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> ja, komplizierte Rechnungen sind meine Stärke ~.~
>
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> > unten die gerade hat ja nix mehr mit der ellipse zu tun,
> > sondern ist ein eigener abschnitt..
> > y=0 im bereich -1 bis 2 ist 3 L.E. lang. in parameterform
> > dann
> > [mm]\vektor{x \\ y}=\vektor{ t \\ 0}[/mm] mit t [mm]\in[/mm] [-1;2]
> > hier wird jedem x der wert t zugeordnet und y ist immer
> > null, entspricht also der gerade unten.
>
> oookay, aber woher weißt du das mit dem -1 bis 2? wo kann
> ich das sehen?
du kennst den mittelpunkt der ellipse (1/2;0) und den halbmesser a (3/2) somit kennst du ja die ausbreitung auf der x-achse
>
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>
>
> > der einfachheit halber nehmen wir jetzt 0 als start-"t"
> > von der kurve a.
> > setzen, somit ist der endpunkt bei [mm]t=\frac{\pi}{2}[/mm]
> > >
>
> das heißt dann
> [mm]\vektor{x \\ y}=\vektor{ t \\ 0}[/mm] mit t [mm]\in[/mm]
> [mm][0;\bruch{2}{\pi}][/mm] ?
[mm] \frac{\pi}{2}... [/mm] aber auch hier sind die funktionen von x und y falsch. siehe unten zu b)
>
> und bei b dann [mm]\vektor{x \\ y}=\vektor{ t \\ 0}[/mm] mit t [mm]\in[/mm]
> [mm][\bruch{-2}{\pi};0][/mm]
wie bei b dann? für die kurven a und b gilt doch die mühsam erarbeitete parameterform der ellipse?!
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> aber y kann ja nicht immer 0 sein... ich muss das S noch
> mit einbeziehen oder? oder ist y einfach wieder t?
>
> liebe grüße :)
>
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oh, ich voll....genie :D
also da c ja eine gerade ist haben wir:
$ [mm] \vektor{x \\ y}=\vektor{ t \\ 0} [/mm] $ mit t $ [mm] \in [/mm] $ [-1;2]
und für b haben wir:
[mm] \vektor{x \\ y}=\vektor{ 0,5+\bruch{3}{2}\cos t \\ 3\sint} [/mm] mit t $ [mm] \in [/mm] $ [mm] [0;\bruch{\pi}{2}] [/mm]
weil teil von ellipse, erarbeitet.
und bei a geht t dann von [mm] [2\pi*n;?]? [/mm] weil x muss ja nun gleich 2 sein oder nur die obere grenze wirft in meinem kopf noch rästel auf...
bin ich nun auf dem richtigen weg?
vielen lieben dank für deine hilfe :)
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> oh, ich voll....genie :D
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> also da c ja eine gerade ist haben wir:
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> [mm]\vektor{x \\ y}=\vektor{ t \\ 0}[/mm] mit t [mm]\in[/mm] [-1;2]
>
> und für b haben wir:
>
> [mm]\vektor{x \\ y}=\vektor{ 0,5+\bruch{3}{2}\cos t \\ 3\sint}[/mm]
> mit t [mm]\in[/mm] [mm][0;\bruch{\pi}{2}][/mm]
>
> weil teil von ellipse, erarbeitet.
ne das ist für a! b sieht bis auf die grenzen ähnlich aus
>
> und bei a geht t dann von [mm][2\pi*n;?]?[/mm] weil x muss ja nun
> gleich 2 sein oder nur die obere grenze wirft in meinem
> kopf noch rästel auf...
>
> bin ich nun auf dem richtigen weg?
>
> vielen lieben dank für deine hilfe :)
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och mensch...
okay...
ich verstehe nicht warum das bei b nur ähnlich aussieht und nicht genauso. ich dachte das ist insgesamt eine halbe ellipse und die quasi noch mal geteilt in zwei viertel. dann müssten doch die beiden viertel indentisch sein?
und mit den grenzen bei b:
Q(-1/2, 0) und S(?/3) ist das korrekt? und wie komme ich auf den x-wert von S?
y muss nun einmal 0 sein und einmal 3 das heißt man finge bei [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] und ginge bis t=0?
tschuldigung, dass ich so schwer von begriff bin, ich geb mir alle mühe.
vielen dank für deine geduld
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> och mensch...
> okay...
>
> ich verstehe nicht warum das bei b nur ähnlich aussieht
> und nicht genauso. ich dachte das ist insgesamt eine halbe
> ellipse und die quasi noch mal geteilt in zwei viertel.
> dann müssten doch die beiden viertel indentisch sein?
worum gehts in der aufgabe überhaupt?
also die ellipse parametrisieren und dann?
>
> und mit den grenzen bei b:
> Q(-1/2, 0) und S(?/3) ist das korrekt? und wie komme ich
> auf den x-wert von S?
Q (-1/0)
S hat die maximale y ausrichtung bei [mm] t=\pi/2
[/mm]
dieses t in x eingesetzt ergibt?
>
> y muss nun einmal 0 sein und einmal 3 das heißt man finge
> bei [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] und ginge bis t=0?
das wär strecke a, aber trotzdem von 0 bis [mm] \pi/2
[/mm]
bei strecke b geht man dann von [mm] \pi/2 [/mm] bis [mm] \pi!
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
> tschuldigung, dass ich so schwer von begriff bin, ich geb
> mir alle mühe.
> vielen dank für deine geduld
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:13 Do 24.09.2009 | | Autor: | Alaizabel |
danke!
es geht darum: erstmal die teilabschnitte parametrisieren, das ist ja nun endlich geschafft.
dann Integrale berechen mit G(x,y)=y über jeweils a,b,c.
dann das komplette integral von a nach b nach c.
dann nochmal Integrale berechen mit K=[x,y] über jeweils, a,b,c
ich habe jetzt mal die ersten Integrale berechnet:
a: R->S [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} 3\sin x\, [/mm] dx= 3
b: S->Q [mm] \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi} 3\sin x\, [/mm] dx = 3
c: Q->R [mm] \integral_{-1}^{2} 0\, [/mm] dx = 0
ist das richtig?
kann ich nun die Integrale einfach addieren?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Do 24.09.2009 | | Autor: | fencheltee |
> danke!
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> es geht darum: erstmal die teilabschnitte parametrisieren,
> das ist ja nun endlich geschafft.
>
> dann Integrale berechen mit G(x,y)=y über jeweils a,b,c.
>
> dann das komplette integral von a nach b nach c.
>
> dann nochmal Integrale berechen mit K=[x,y] über jeweils,
> a,b,c
>
das sagt mir jetzt irgendwie nix, da muss wohl ein anderer nachschauen
> ich habe jetzt mal die ersten Integrale berechnet:
>
> a: R->S [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} 3\sin x\,[/mm] dx= 3
> b: S->Q [mm]\integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi} 3\sin x\,[/mm] dx =
> 3
> c: Q->R [mm]\integral_{-1}^{2} 0\,[/mm] dx = 0
>
> ist das richtig?
dachte irgendwie es geht um die kurvenlängen oder sowas?
die integrale ansich sind richtig berechnet, aber irgendwie zweifel ich noch an der richtigkeit der aufgestellten integrale
> kann ich nun die Integrale einfach addieren?
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okay, ich habe jetzt die richtigen Integrale
Q->R $ [mm] \integral_{-1}^{2} 0\, [/mm] $ dx = 0
das bleibt dabei.
aber die folgenden müssten wie folgt lauten:
R->S $ [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} 3\sin t*3\cos t\, [/mm] $ dt= [mm] \bruch{9}{2}e_y
[/mm]
S->Q $ [mm] \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi} 3\sin t*3\cos t\, [/mm] $ dt = [mm] \bruch{-9}{2}e_y
[/mm]
und zwar nach dem Prinzip:
G(x,y)=y
[mm] x(t)=0,5*\bruch{3}{2}\cos t*e_x+3*\sin t*e_y
[/mm]
[mm] x'(t)=\bruch{-3}{2}\sin t*e_x [/mm] + [mm] 3\cos t*e_y
[/mm]
daraus folgt dann
$ [mm] \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi} 3\sin t*3\cos t\, [/mm] $ dt
Bin ich auf dem richtigen weg?
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Hallo,
ich habe bei der Aufgabenstellung nicht gesehen,
wie die Punkte Q,R,S und damit die Kurvenbögen
a,b,c genau definiert sind. Die der ursprünglichen
Frage angehängten Dokumente erwiesen sich als
leer. Waren da irgendwelche Zeichnungen ?
(Ich habe nicht die ganze bisherige Diskussion
im Detail durchgesehen)
Wenn diese Sachen geklärt sind, sollte der Rest
nicht schwierig sein.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:04 Do 24.09.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Al,
ich habe in der Ausgangsfrage die eine (es sind beide Anhänge identisch) Skizze eingefügt.
Liebe Grüße
Herby
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:13 Fr 25.09.2009 | | Autor: | Alaizabel |
Vielen Dank für deine Hilfe!
ich dachte weil G(x,y)=y ist müsste ich den y-Term * den einmal abgeleiteten y-Term rechnen und dann integrieren.
Das war wohl mein Fehler.
Sobald ich wieder zuhause bin rechne ich die Integrale mal aus :)
Vielen Dank!
Liebe Grüße
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Hallo Al, vielen lieben Dank für Deine Hilfe :)
ich habe [mm] I_a [/mm] und [mm] I_b [/mm] berechnet und kam bei beiden auf [mm] -4,5*\bruch{\pi}{4}
[/mm]
ist das korrekt?
wenn ich nun düber die gesamte fläche integrieren soll, kann ich dann alle teilergebnisse addieren? was [mm] \bruch{\pi}{2}*-4,5 [/mm] wäre?
Liebe Grüße
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Hallo Alaizabel,
> Hallo Al, vielen lieben Dank für Deine Hilfe :)
>
> ich habe [mm]I_a[/mm] und [mm]I_b[/mm] berechnet und kam bei beiden auf
> [mm]-4,5*\bruch{\pi}{4}[/mm]
>
> ist das korrekt?
Ja, das ist korrekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> wenn ich nun düber die gesamte fläche integrieren soll,
> kann ich dann alle teilergebnisse addieren? was
> [mm]\bruch{\pi}{2}*-4,5[/mm] wäre?
Du hast jetzt über den Weg von R->Q integriert.
Die Teilergebnisse R->S und S->Q kannst Du addieren.
>
> Liebe Grüße
Gruss
MathePower
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uih, das ist toll :) dann wären die teile: 1,2,3 erledigt?
Jetzt hänge ich noch beim Linienintegral K(x,y)=[x,y] fest...
was sagt mir allein dieser ausdruck?
und wie kann ich damit integrieren?
ich hab gelesen: [mm] \integral_{}^{}{K(f(x))*f'(x) dx}
[/mm]
aber wie rechne ich K(f(x)) aus?
vielen Dank für eure Hilfe!
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Hallo Alaizabel,
> uih, das ist toll :) dann wären die teile: 1,2,3
> erledigt?
> Jetzt hänge ich noch beim Linienintegral K(x,y)=[x,y]
> fest...
> was sagt mir allein dieser ausdruck?
> und wie kann ich damit integrieren?
> ich hab gelesen: [mm]\integral_{}^{}{K(f(x))*f'(x) dx}[/mm]
> aber
> wie rechne ich K(f(x)) aus?
Nun, K ist ja zweidimensional.
Normalerweise hat man hier zu berechnen:
[mm]\integral_{}^{}{K \* \pmat{dx \\ dy}}=\integral_{}^{}{x*dx+y*dy}[/mm]
, wobei "*" das Skalarprodukt ist.
>
> vielen Dank für eure Hilfe!
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
vielen lieben Dank für deine Hilfe :)
ich habe jetzt für x und y einfach die parametrisierung der Ellipse genommen, ist das möglich? diese sind ja eigentlich von t abhängig und nicht von x oder y. und integriere ich einmal nach dx und einmal nach dy?
nun [mm] I_a={-3\cos x - \bruch{3\siny}{2}+0.5*y } [/mm] da kann ich die grenzen gar nicht richtig einsetzen. wo ist mein fehler?
das kommt mir immernoch spanisch vor unter anderem wegen dem y in der Gleichung...
vielen Dank für deine hilfe :)
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Hallo Alaizabel,
> Hallo MathePower,
>
> vielen lieben Dank für deine Hilfe :)
>
> ich habe jetzt für x und y einfach die parametrisierung
> der Ellipse genommen, ist das möglich? diese sind ja
> eigentlich von t abhängig und nicht von x oder y. und
> integriere ich einmal nach dx und einmal nach dy?
>
> nun [mm]I_a={-3\cos x - \bruch{3\siny}{2}+0.5*y }[/mm] da kann ich
> die grenzen gar nicht richtig einsetzen. wo ist mein
> fehler?
> das kommt mir immernoch spanisch vor unter anderem wegen
> dem y in der Gleichung...
Erstens ist hier, da das Differential dy nicht auftaucht,
[mm]\integral_{}^{}{x \ dx}[/mm]
zu berechnen.
Zweitens sind hierfür die Parametrisierungen der
Wege a,b,c auf dem Halbkreis zu verwenden.
>
> vielen Dank für deine hilfe :)
>
Gruss
MathePower
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[mm] I_a=\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{0,5+1,5\cos t + 3\sin t dt} [/mm] = 5,2854
[mm] I_b=\integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{0,5+1,5\cos t + 3\sin t dt}= [/mm] 2,2854
[mm] I_c=\integral_{-1}^{2}{t dt}=1.5
[/mm]
ist das richtig?
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Hallo Alaizabel,
> [mm]I_a=\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{0,5+1,5\cos t + 3\sin t dt}[/mm]
> = 5,2854
> [mm]I_b=\integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{0,5+1,5\cos t + 3\sin t dt}=[/mm]
> 2,2854
> [mm]I_c=\integral_{-1}^{2}{t dt}=1.5[/mm]
>
> ist das richtig?
Nur der Wert von [mm]I_{c}[/mm] ist richtig.
Bei [mm]I_{a}[/mm] bzw. [mm]I_{b}[/mm] muß es doch heißen:
[mm]\integral_{}^{}{\left( \ 0,5+1,5\cos\left(t\right) \ \right) * (-1,5)*\sin \left(t\right) \ dt}[/mm]
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower!
vielen Dank für deine Hilfe.
Ich habe nun errechnet:
[mm] I_a=$ \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\left( \ 0,5+1,5\cos\left(t\right) \ \right) \cdot{} (-1,5)\cdot{}\sin \left(t\right) \ dt} [/mm] $ =-1,875
[mm] I_b=$ \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{\left( \ 0,5+1,5\cos\left(t\right) \ \right) \cdot{} (-1,5)\cdot{}\sin \left(t\right) \ dt} [/mm] $ =0,375
jetzt müsste es ja richtig sein oder?
kannst du mir noch verraten warum es [mm] -1,5*\sin [/mm] t sind und nicht mehr [mm] 3*\sin [/mm] t ?
liebe grüße und einen schönen abend :)
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Hallo Alaizabel,
> Hallo MathePower!
> vielen Dank für deine Hilfe.
>
> Ich habe nun errechnet:
>
> [mm]I_a=[/mm] [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\left( \ 0,5+1,5\cos\left(t\right) \ \right) \cdot{} (-1,5)\cdot{}\sin \left(t\right) \ dt}[/mm]
> =-1,875
>
> [mm]I_b=[/mm] [mm]\integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{\left( \ 0,5+1,5\cos\left(t\right) \ \right) \cdot{} (-1,5)\cdot{}\sin \left(t\right) \ dt}[/mm]
> =0,375
>
> jetzt müsste es ja richtig sein oder?
Ja.
>
> kannst du mir noch verraten warum es [mm]-1,5*\sin[/mm] t sind und
> nicht mehr [mm]3*\sin[/mm] t ?
Nun, es ist
[mm]x\left(t\right)= 0,5 + 1,5 * \cos\left(t\right)[/mm]
Daraus ergibt sich
[mm]dx=\left( \ 0,5 + 1,5 * \cos\left(t\right) \ \right)' \ dt=-1,5*sin\left(t\right) \ dt[/mm]
>
> liebe grüße und einen schönen abend :)
>
>
Danke, gleichfalls.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:12 Do 24.09.2009 | | Autor: | Alaizabel |
ich weiß jetzt das es um linienintegrale geht, zumindest im letzten teil... vielleicht hilft das jemandem mir bei der lösung zu helfen...
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