Parametrisierung eines Torus < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktion [mm] \overrightarrow{x}: \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] gemäß
[mm] \overrightarrow{x}(\nu, \phi) [/mm] = [mm] \pmat{x(\nu, \phi) \\ y(\nu, \phi) \\ z(\nu, \phi)} [/mm] = [mm] \pmat{(R + r * cos(\nu)) * cos(\phi) \\ (R + r * cos(\nu)) * sin(\phi) \\ r * sin(\nu)} [/mm] mit 0 [mm] \le \nu \le 2*\pi, [/mm] 0 [mm] \le \phi \le 2*\pi [/mm] als Parametrisierung der Oberfläche eines Torus angesehen werden kann. Erklären Sie diese Darstellung anhand einer geeigneten Skizze. Wie lautet die Jakobi Matrix dieser Funktion? |
Hi,
irgendwie fehlt mir bei der obigen Aufgabenstellung etwas der Durchblick.
Folgendes hab ich mir dazu bisher überlegt:
Korrigiert mich, wenn ich falsch liege, aber einen Torus bekomme ich ja, wenn ich einen Kreis mit Radius r um die z-Achse rotieren lasse.
Der Einheitskreis [mm] x^{2} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] = 1 wird mit [mm] (cos(\alpha), sin(\alpha)) [/mm] parametrisiert. Demnach wird ein Kreis mit Radius r mit (r * [mm] cos(\alpha), [/mm] r * [mm] sin(\alpha)) [/mm] parametrisiert.
Stimmen diese Überlegungen soweit? Wenn ja, wie mache ich da weiter? Oder zäume ich das Pferd womöglich gar von der falschen Seite auf?
Vielen Dank!
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> Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]\overrightarrow{x}: \IR^{2} \to \IR^{2}[/mm]
> gemäß
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> [mm]\overrightarrow{x}(\nu, \phi)[/mm] = [mm]\pmat{x(\nu, \phi) \\ y(\nu, \phi) \\ z(\nu, \phi)}[/mm]
> = [mm]\pmat{(R + r * cos(\nu)) * cos(\phi) \\ (R + r * cos(\nu)) * sin(\phi) \\ r * sin(\nu)}[/mm]
> mit 0 [mm]\le \nu \le 2*\pi,[/mm] 0 [mm]\le \phi \le 2*\pi[/mm] als
> Parametrisierung der Oberfläche eines Torus angesehen
> werden kann. Erklären Sie diese Darstellung anhand einer
> geeigneten Skizze. Wie lautet die Jakobi Matrix dieser
> Funktion?
> Hi,
>
> irgendwie fehlt mir bei der obigen Aufgabenstellung etwas
> der Durchblick.
> Folgendes hab ich mir dazu bisher überlegt:
> Korrigiert mich, wenn ich falsch liege, aber einen Torus
> bekomme ich ja, wenn ich einen Kreis mit Radius r um die
> z-Achse rotieren lasse.
> Der Einheitskreis [mm]x^{2}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] = 1 wird mit [mm](cos(\alpha), sin(\alpha))[/mm]
> parametrisiert. Demnach wird ein Kreis mit Radius r mit (r
> * [mm]cos(\alpha),[/mm] r * [mm]sin(\alpha))[/mm] parametrisiert.
Ja genauso ist es im zweidimensionalen (mit [mm] 0\le\alpha<2\pi [/mm] und du meinst [mm] $x^2+y^2=1$). [/mm] Ein Kreis mit Radius r im dreidimensionalen, der auf der x,z-Ebene mit dem Mittelpunkt (0,0,0) liegt, ist demnach [mm] $(r*cos(\alpha),0,r*sin(\alpha))$
[/mm]
Jetzt überleg dir mal wie du es hinkriegst, dass der Mittelpunkt (R,0,0) ist.
Danach musst du diesen Kreis nur noch um die z-Achse rotieren lassen. Schau dir dazu an, was du durch den Kreis auf der x-z-Ebene als Parametrisierung schon hast und was noch zu der Form da oben noch fehlt (bedenke du lässt den Mittelpunkt (R,0,0) auch um die z-achse Rotieren und es ensteht ein Kreis auf der x,y-Achse.
Schau nochmal nach was die Jacobimatrix ist.
> Stimmen diese Überlegungen soweit? Wenn ja, wie mache ich
> da weiter? Oder zäume ich das Pferd womöglich gar von der
> falschen Seite auf?
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> Vielen Dank!
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> Ja genauso ist es im zweidimensionalen (mit [mm]0\le\alpha<2\pi[/mm]
> und du meinst [mm]x^2+y^2=1[/mm]).
Stimmt, meinte natürlich [mm] x^2+y^2=1. [/mm] War ein Flüchtigkeitsfehler meinerseits!
> Ein Kreis mit Radius r im
> dreidimensionalen, der auf der x,z-Ebene mit dem
> Mittelpunkt (0,0,0) liegt, ist demnach
> [mm](r*cos(\alpha),0,r*sin(\alpha))[/mm]
>
> Jetzt überleg dir mal wie du es hinkriegst, dass der
> Mittelpunkt (R,0,0) ist.
Das müsste ich dadurch hinkriegen, indem ich den Kreis in x-Richtung um R verschiebe. Wenn ich jetzt also alles, was ich bisher weiß, zusammensetze, dann ergibt sich folgende Teil-Parametrisierung:
[mm] \overrightarrow{x}(\nu, \phi) [/mm] = [mm] \pmat{x(\nu, \phi) \\ y(\nu, \phi) \\ z(\nu, \phi)} [/mm] = [mm] \pmat{(R + r * cos(\nu)) \\ \\ r * sin(\nu)}
[/mm]
> Danach musst du diesen Kreis nur noch um die z-Achse
> rotieren lassen.
Wenn ich den Kreis um die z-Achse rotieren lassen möchte, dann passiert das ja quasi wieder mit einer "Kreisbewegung".
Das heißt, es müsste sich dann folgendes ergeben:
[mm] \overrightarrow{x}(\nu, \phi) [/mm] = [mm] \pmat{x(\nu, \phi) \\ y(\nu, \phi) \\ z(\nu, \phi)} [/mm] = [mm] \pmat{(R + r * cos(\nu)) * cos(\phi) \\ (???) * sin(\phi) \\ r * sin(\nu)}
[/mm]
Was mir jedoch noch nicht so ganz klar ist: Wie komme ich zu dem mit ??? markierten Teil? Ich glaub, ich steh da grad etwas auf der Leitung.
> Schau nochmal nach was die Jacobimatrix ist.
Die Jacobi Matrix ist eine m * n Matrix sämtlicher erster partieller Ableitungen. Wenn ich mich beim Ableiten nicht verrechne, dann bekomme ich das denke ich hin.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:04 Do 08.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast richtig den kreis in der x-z Ebene hingeschrieben, wenn du ihn jetzt mit der Matrix
[mm] D=\pmat{ cos\Phi & -sin\Phi & 0 \\ sin\Phi & cos\Phi & 1}
[/mm]
drehst kommen die gedrehten Kreise raus. siehe mein Bildchen inm anderen post.
mit den Linien v=const kannst du den torus auch gut sehen.
gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Do 08.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du solltest das
a) die Kreise bei [mm] \nu=const, [/mm] verschiedene Werte
[mm] b)\phi=const [/mm] verschieden Wert ansehen.
dazu die 2 Bildchen mit a und b
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
(hergestellt mit 3D-Xploremath
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:24 Do 08.03.2012 | | Autor: | Schluchti |
Aaaah, jetzt hat es "klick" gemacht. :)
Vielen Dank an diddy449 und leduart!
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