Part. DGL < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Di 05.05.2009 | | Autor: | tc2009 |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{\partial^2 w}{\partial^2 y}=\bruch{1}{2w^3}(\bruch{\partial w}{\partial x})^2-\bruch{1}{w^2}\bruch{\partial^2 w}{\partial^2 x} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich möchte diese partielle Differentialgleichung lösen. Da ich mich mit partiellen DGLs nicht so gut auskenne, wollt ich fragen, ob mir jemand sagen kann ob diese Gleichung überhaupt lösbar ist (falls man dass überhaupt so direkt sagen kann). Falls ja, wäre es natürlich auch super, wenn mir jemand sagen könnte welchen Ansatz man dazu nutzen sollte.
Falls die Gleichung nicht lösbar ist, brauch ich mich nämlich gar nicht erst in das Thema einzuarbeiten.
Ein kleiner Hinweis noch: Ich suche nicht die Lösung w(x,y)=const.
Vielen Dank schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi,
> [mm]\bruch{\partial^2 w}{\partial^2 y}=\bruch{1}{2w^3}(\bruch{\partial w}{\partial x})^2-\bruch{1}{w^2}\bruch{\partial^2 w}{\partial^2 x}[/mm]
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> Hallo zusammen,
> ich möchte diese partielle Differentialgleichung lösen. Da
> ich mich mit partiellen DGLs nicht so gut auskenne, wollt
> ich fragen, ob mir jemand sagen kann ob diese Gleichung
> überhaupt lösbar ist (falls man dass überhaupt so direkt
> sagen kann). Falls ja, wäre es natürlich auch super, wenn
> mir jemand sagen könnte welchen Ansatz man dazu nutzen
> sollte.
> Falls die Gleichung nicht lösbar ist, brauch ich mich
> nämlich gar nicht erst in das Thema einzuarbeiten.
> Ein kleiner Hinweis noch: Ich suche nicht die Lösung
> w(x,y)=const.
Tja, wenn das so leicht waere eine PDG einfach durch hinschauen zu analysieren. Kenne mich mit der materie ganz gut aus (PDG war mein vertiefungsgebiet im diplom), aber so eine ist mir bisher noch nicht begegnet. Man koennte sie eventuell als nichtlineare stationaere diffusionsgleichung charakterisieren, allerdings wird vermutlich vor allem das [mm] $1/w^2$ [/mm] auf der rechten seite probleme bereiten.
Fazit: es ist alles andere als klar, ob und wie diese gleichung zu loesen ist. Ich halte es fuer problematisch. Hast du sie selber hergeleitet? In welchem zusammenhang?
gruss
matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:23 Fr 08.05.2009 | | Autor: | tc2009 |
Schade, das hört sich ja gar nicht so gut an. Aber ich kann ja nochmal kurz beschreiben, wie ich auf diese DGL gekommen bin.
Also: Ich möchte damit ein Feld aus zwei Kurvenscharen beschreiben, die sich im 90° Winkel schneiden, und bei dem jedes Flächenelement, das von zwei benachbarten Kurven je Schar eingeschlossen wird, die gleiche Fläche hat. Dies ist natürlich der Fall bei zwei Scharen aus Geraden, die orthogonal zueinander verlaufen. Ich möchte aber auch verzerrte Felder damit darstellen können. Das Ganze kann man sich im Prinzip als so eine Art Geschwindigkeitsfeld vorstellen, bei dem das Material in die Richtung einer Kurvenschar fließt und am Ende des Feldes mit der gleichen Geschwindigkeit austritt. Da Flächenkonstanz angenommen wird, müssen die Flächenelemente gleich groß sein.
Aus den beiden Bedingungen, die an dieses Feld gestellt werden, folgen die beiden Gleichungen:
1=w(x,y)*h(x,y)
Wobei w die Breite in x-Richtung eines infinitesimal kleinen Flächenelements ist. Und h entsprechend die Breite in y-Richtung. Diese Gleichung entsteht aus der Forderung dass alle Flächen gleich Groß sind.
Aus der Forderung, dass beide Scharen sich im 90° Winkel schneiden, lässt sich folgende Gleichung herleiten:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{\partial h}{\partial x} dy}=\integral_{}^{}{\bruch{\partial w}{\partial y} dx}
[/mm]
Die Terme in den Integralen stellen dabei im Prinzip die Krümmung der Kurve dar, die dann zu dem Winkel aufintegriert werden, damit der 90° Winkel zwischen den Scharen erhalten bleibt, müssen beide Winkel sich also gleich viel ändern.
Durch Einsetzen der Ersten Gleichung in die zweite, erhält man dann:
[mm] \integral_{}^{}{-\bruch{1}{w^2} \bruch{\partial w}{\partial x}dy}=\integral_{}^{}{\bruch{\partial w}{\partial y} dx}
[/mm]
Durch Ableiten nach dx und dy erhält man dann die ursprüngliche Gleichung.
So, ich hoffe ich habe dabei keine Fehler gemacht und es war einigermaßen verständlich. Würde mich natürlich riesig freuen, wenn mir da jemand weiterhelfen kann. Ansonsten werde ich mein Glück jetzt numerisch mit Finite Differenzen Methode versuchen, was natürlich längst nicht so schön wäre, wie eine analytische Lösung.
Vielen Dank und schöne Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 Mo 11.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich versteh wohl dein problem nicht ganz.
Was sind "benachbarte Kurven"
wenn du etwa parallele orthogonale Geraden abbildest, sind dann die Bilder 2er aequidistanter Geraden benachbart?
bei dieser Abbildung kannst du aber entweder die einkel oder die Flaechen gleich lassen, sicher nicht beides.
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:49 Mo 11.05.2009 | | Autor: | tc2009 |
Schade, dass man hier keine Bilder einfügen kann. Ich versuchs nochmal genauer zu beschreiben.
Wenn man sich vorstellt, dass man eine Kurvenschar hat, die aus parallelen Geraden besteht, und wenn man sich dazu eine zweite Kurvenschar vorstellt, die genauso aussieht, bloß, dass sie zur ersten Schar um 90° gedreht ist, dann hat man zwei Scharen die quasi eine Fläche von gleich großen Quadraten bilden (wie ein Schachbrett).
Wenn ich für die eine Schar die Geradenposition mit dem Parameter x variiere und für die andere Schar mit dem Parameter y, dann würden also zwei Geraden mit dem Abstand dx und zwei Gegraden mit dem Abstand dy eine Fläche einschließen, die überall im Feld gleich groß wäre. Außerdem schneiden sich eine Kurve der einen Schar und eine Kurve der anderen Schar immer im 90° Winkel. Ein solches Feld würde also das erfüllen was ich will. Mit benachbarten Kurven meine ich in diesem Falle also zwei Kurven der einen Schar mit einem Abstand dx und zwei Kurven der anderen Schar mit einem Abstand dy.
Ein zweites vorstellbares Feld, das diese Kriterien erfüllt wäre z.B. eine Geraden-Schar deren Geraden von einem Mittelpunkt nach außen laufen und die gleichmäßig um 360° verteilt sind. Und eine Kurven-Schar, die aus Kreisen um diesen Mittelpunkt besteht. Es ist offensichtlich, dass beide Scharen sich im 90°-Winkel schneiden. Damit "benachbarte" Kurven auch immer die gleiche Fläche einschließen müsste der Zuwachs der Kreisdurchmesser allerdings exponentiell nach Außen abnehmen. Also irgendwie so: [mm] r(y)=\wurzel{y}
[/mm]
Der Abstand von benachbarten Kurven müsste dann hier natürlich auch mit dy und nicht mit dr gemessen werden.
Diese zwei Beispiele sind also zwei spezielle Lösungen für ein solches Feld, das ich suche. Ich möchte aber ein Feld beschreiben bei dem ich zwei Kurvenscharen habe wovon die eine bei x=0 eine Gerade beschreibt und für x=C irgendeine Kurve und genauso für y=0 eine Gerade und für y=C auch irgendeine Kurve. Also im Prinzip zwei Geraden-Scharen die in eine Richtung irgendwie verzerrt werden.
Ich bin mir sicher, dass solche Felder möglich sind; ich bin mir allerdings nicht so sicher, dass man die auch analytisch berechnen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 20.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo tc2009,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]\bruch{\partial^2 w}{\partial^2 y}=\bruch{1}{2w^3}(\bruch{\partial w}{\partial x})^2-\bruch{1}{w^2}\bruch{\partial^2 w}{\partial^2 x}[/mm]
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> Hallo zusammen,
> ich möchte diese partielle Differentialgleichung lösen. Da
> ich mich mit partiellen DGLs nicht so gut auskenne, wollt
> ich fragen, ob mir jemand sagen kann ob diese Gleichung
> überhaupt lösbar ist (falls man dass überhaupt so direkt
> sagen kann). Falls ja, wäre es natürlich auch super, wenn
> mir jemand sagen könnte welchen Ansatz man dazu nutzen
> sollte.
> Falls die Gleichung nicht lösbar ist, brauch ich mich
> nämlich gar nicht erst in das Thema einzuarbeiten.
> Ein kleiner Hinweis noch: Ich suche nicht die Lösung
> w(x,y)=const.
Mit dem Separationansatz [mm]w\left(x,y\right)=X\left(x\right)*Y\left(y\right)[/mm] kommt man auf eine Lösung.
>
> Vielen Dank schonmal!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Mo 11.05.2009 | | Autor: | tc2009 |
Hallo MathePower,
Vielen Dank erstmal für den Tip. Kannst du mir vielleicht nochmal etwas genauer erklären, wie man zu einer Lösung kommt. Ich komm nämlich nur zu einem numerisch lösbaren Ergebnis.
Ich kann ja nochmal kurz darstellen, wie ich das gerechnet habe, vielleicht kannst du mir dann sagen, wo mein Fehler liegt.
Mit dem Separationsansatz komme ich für Y auf folgende Gleichung:
[mm] Y''=\bruch{\lambda}{Y}
[/mm]
Diese Differentialgleichung lässt sich dann umformen zu:
[mm] Y''2Y'=\bruch{\lambda 2 Y'}{Y}
[/mm]
[mm] \Rightarrow (Y')^2=2 \lambda [/mm] ln(Y)
[mm] \Rightarrow Y=e^{\bruch{Y'^2}{2 \lambda}}
[/mm]
Diese Gleichung wollte ich dann lösen mit dem Ansatz:
y(p)=g(p), [mm] x(p)=C+\integral_{}^{}{\bruch{g'(p)}{p} dp}
[/mm]
Das bringt mich dann auf die Gleichung
[mm] x(p)=C+\bruch{1}{\lambda}\integral_{}^{}{e^{\bruch{p^2}{2 \lambda}} dp}
[/mm]
Und dieses Integral lässt sich nach meinen Informationen mit der Fehlerfunktion erf(p) lösen, die aber nur numerisch berechnet werden kann.
Hab ich irgendwo etwas falsch gemacht?? Gibt es eine einfachere Lösung, oder muss man die numerische Berechnung in Kauf nehmen. Wäre super wenn du mir nochmal die Lösung erklären könntest, die du meintest.
Vielen Dank und schöne Grüße
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Hallo tc2009,
> Hallo MathePower,
> Vielen Dank erstmal für den Tip. Kannst du mir vielleicht
> nochmal etwas genauer erklären, wie man zu einer Lösung
> kommt. Ich komm nämlich nur zu einem numerisch lösbaren
> Ergebnis.
> Ich kann ja nochmal kurz darstellen, wie ich das gerechnet
> habe, vielleicht kannst du mir dann sagen, wo mein Fehler
> liegt.
> Mit dem Separationsansatz komme ich für Y auf folgende
> Gleichung:
> [mm]Y''=\bruch{\lambda}{Y}[/mm]
> Diese Differentialgleichung lässt sich dann umformen zu:
> [mm]Y''2Y'=\bruch{\lambda 2 Y'}{Y}[/mm]
> [mm]\Rightarrow (Y')^2=2 \lambda[/mm]
> ln(Y)
> [mm]\Rightarrow Y=e^{\bruch{Y'^2}{2 \lambda}}[/mm]
> Diese Gleichung
> wollte ich dann lösen mit dem Ansatz:
> y(p)=g(p), [mm]x(p)=C+\integral_{}^{}{\bruch{g'(p)}{p} dp}[/mm]
>
> Das bringt mich dann auf die Gleichung
> [mm]x(p)=C+\bruch{1}{\lambda}\integral_{}^{}{e^{\bruch{p^2}{2 \lambda}} dp}[/mm]
>
> Und dieses Integral lässt sich nach meinen Informationen
> mit der Fehlerfunktion erf(p) lösen, die aber nur numerisch
> berechnet werden kann.
> Hab ich irgendwo etwas falsch gemacht?? Gibt es eine
> einfachere Lösung, oder muss man die numerische Berechnung
> in Kauf nehmen. Wäre super wenn du mir nochmal die Lösung
> erklären könntest, die du meintest.
Du hast alles richtig gemacht. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Der Ansatz [mm]w\left(x,y\right)=\summe_{i=0}^{\infty}\summe_{j=0}^{\infty}a_{ij}x^{i}y^{j}[/mm] geht hier natürlich auch.
Der hier natürlich etwas aufwendig ist.
> Vielen Dank und schöne Grüße
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Mo 11.05.2009 | | Autor: | tc2009 |
Ok, dann hab ich aber trotzdem noch eine letzte Frage dazu:
Kann man mit diesem Weg denn überhaupt zu einer Lösung kommen??
Denn um die Lösung zu erhalten müsste ich doch dann die Funktion:
[mm] x=C+\bruch{\wurzel{2 \lambda \pi}}{2 \lambda} Erfi(\bruch{p}{\wurzel{2 \lambda}})
[/mm]
nach p auflösen, und das geht doch gar nicht, oder??
Gruß
tc2009
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Mo 11.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
jede komplexe holomorphe fkt bildet deine Geradenschar winkeltreu ab. damit hast du erst mal beliebig viele Kurvenscharen, die sich senkrecht schneiden.
dann must du nur noch die abstaende entsprechend waehlen, damit sie auch gleiche flaechen einschliessen, wie in deinem bsp mit der geradenschar und den Kreisen.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:03 Mo 11.05.2009 | | Autor: | tc2009 |
Ich bin mir zwar nicht so ganz sicher, ob ich genau verstehe was Holomorphie ist, aber das Problem ist ja nicht zwei orthogonale Kurvenscharen zu erzeugen. Bei dem Beispiel mit den Kreiskurven ist es einfach die Durchmesser der Kreise so anzupassen, dass die eingeschlossenen Flächen gleich bleiben. Wenn man aber gekrümmte Kurvenscharen hat kann man nicht einfach die Abstände der einen Kurvenschar so ändern, dass die eingeschlossenen Flächen gleich sind, weil die eingeschlossenen Flächen ja nicht wie bei dem Kreis entlang der ganzen Kurve die selbe Abweichung von der Soll-Fläche haben. Man könnte die Kurven natürlich trotzdem entsprechend ungleichmässig anpassen, damit wäre dann aber der Winkel von 90° weg.
Es ist in jedem Fall aus geometrischen Überlegungen nicht möglich zu einer beliebigen Kurvenschar eine passende zweite Kurvenschar zu erzeugen. Die erste Kurvenschar muss schon eine entsprechende Form haben, damit es überhaupt möglich ist eine passende zweite Kurvenschar zu erzeugen. Und um diese Form rauszufinden habe ich mir die DGL ausgeknobelt. Kann natürlich sein, dass man aus diesen zwei Bedingungen (gleiche Flächen und 90°-Winkel) auch eine einfachere Rechnung ableiten kann. Ich bin für jeden Tip dankbar.
Gruß
tc2009
PS: Wenn ich deinen Hinweis falsch verstanden habe, leduart, dann sag bitte nochmal bescheid.
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Hallo tc2009,
> Ok, dann hab ich aber trotzdem noch eine letzte Frage
> dazu:
> Kann man mit diesem Weg denn überhaupt zu einer Lösung
> kommen??
Nun, es gibt sicherlich noch andere Wege um zu einer Lösung zu kommen.
> Denn um die Lösung zu erhalten müsste ich doch dann die
> Funktion:
> [mm]x=C+\bruch{\wurzel{2 \lambda \pi}}{2 \lambda} Erfi(\bruch{p}{\wurzel{2 \lambda}})[/mm]
>
> nach p auflösen, und das geht doch gar nicht, oder??
Um nach p aufzulösen, kann man die Funktion durch eine Potenzreihe n. Grades, [mm]n < \infty [/mm], ersetzen.
Und dann mit dem ![[]](/images/popup.gif) Satz über implizite Funktionen näherungsweise aufzulösen.
> Gruß
> tc2009
Gruß
MathePower
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