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| Aufgabe 1 | | Das Intergral von f (x) = [mm] -2xe^{2x-1} [/mm] ist gesucht. |
| Aufgabe 2 | | Das Intergral von f (x) = [mm] e^{-x} *(x-e^{x}) [/mm] ist gesucht. |
Wir wissen, wir dazu die part. Intergation verwenden müssen.
[mm] \integral [/mm] u' * v dx =u *v - [mm] \integral [/mm] u *v'
Weiter heißt es immer : man soll u und v so wählen, dass Integral [mm] \integral [/mm] u * v' am einfachsten ist.
Nach mehreren Anläufen verstehen wir diesen Tipp noch immer nicht und auch nicht den Rest der Intergralbestimmung.
Wer kann uns an den gegebenen Beispielen schrittweise und mit einfachen Worten erklären (idiotensicher), wie wir zum richtgen Integral gelangen. Und warum ist die Befolgung des Tipps so wichtig?
Annett und ihre Truppe (im Abi-Stress)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 So 12.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Annett und ihr Team! 
> Weiter heißt es immer : man soll u und v so wählen, dass
> Integral [mm]\integral[/mm] u * v' am einfachsten ist.
>
> Nach mehreren Anläufen verstehen wir diesen Tipp noch
> immer nicht und auch nicht den Rest der
> Intergralbestimmung.
Bei dem ersten Beispiel gibt es doch zwei Varianten, $u'_$ bzw. $v_$ zu wählen.
Bei der e-Funktion wisssen wir, dass dies sowohl beim Ableiten als auch beim Integrieren wieder eine e-Funktion ergibt.
Der Term $-2x_$ jedoch wird durch das Ableiten deutlich einfacher, da ja gilt [mm] $\left( \ -2x \ \right)' [/mm] \ = \ -2$ .
Daher wird hier also gewählt:
$v \ = \ -2x$ sowie $u' \ = \ [mm] e^{2x-1}$
[/mm]
Bei Deinem 2. Beipsiel solltest Du zunächst die Klammer ausmultiplizieren, da sich der Term dann deutlich vereinfacht und analog zur ersten Aufgebe vorgehen.
Gruß
Loddar
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Sorry, wie geht es dann weiter?
Wir haben auch Probleme mit dem Einsetzten in der Formel - jeder hat hier etwas anderes.
Wir würden uns riesig freuen ,wenn man uns jeden Schritt erkärt. Vermutlich denken wir völlig falsch.
Wir verstehen die ganze Aktion nicht und sind schon ganz verzweifelt.
Annett und ihre Truppe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 So 12.03.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Leute,
also ich hoffe, ihr habt noch bisschen Zeit zum üben vorm Abi
So, jetzt also Schritt für Schritt die 1. Aufgabe:
Erst nochmal zur Ansicht:
[mm] \integral_{}^{}{u'*v dx} =u*v-\integral_{}^{}{u*v'dx}
[/mm]
Und jetzt angewendet auf
[mm] \integral_{}^{}{-2xe^{2x-1}dx}
[/mm]
Ich wähle/nenne
[mm] 2e^{2x-1}=u' [/mm] und -x=v,
das bedeutet:
[mm] u=e^{2x-1} [/mm] und v'=-1.
Habt ihr diesen Teil verstanden? wenn ich u' gewählt habe, muss ich von u die Stammfkt. bilden, die heisst dann u. Wenn ich v gewählt habe, muss ich das dann ableiten, das ist dann v'.
Jetzt einfach oben einsetzen:
[mm] \integral_{}^{}{\underbrace{-x}_{v}*\underbrace{2e^{2x-1}}_{u'}dx}=\underbrace{e^{2x-1}}_{u}*\underbrace{-x}_{v}-\integral_{}^{}{\underbrace{-1}_{v'}*\underbrace{e^{2x-1}}_{u}dx}
[/mm]
Und das neu entstandene Integral ist leicht auszurechnen.
Wenn ihrs jetzt noch nicht verstanden habt, müsst ihr genau sagen an welcher Stelle es unklar ist. Ich sehe ein, dass es nicht immer leicht ist, u' und v geschickt zu wählen, das geht nur durch Übung, aber ihr solltet es wirklich schaffen dann in die allgemein Formel einzusetzen.
Also, alles klar?
L G walde
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Hallo,
wenn wir nun = [mm] e^{2x-1} [/mm] * -x- [mm] \integral_ [/mm] -1 * [mm] e^{2x-1} [/mm] haben,
dann müssten wir dies doch vereinfachen können zu:
--> = [mm] -xe^{2x-1}- \integral -e^{2x-1}
[/mm]
--> = [mm] -xe^{2x-1} [/mm] + [mm] e^{2x-1}
[/mm]
--> = [mm] -e^{2x-1}(1+x) [/mm]
Ist das nun unser gesuchtes Intergral oder sind wir wieder auf dem Holzweg?
annett
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 So 12.03.2006 | | Autor: | Walde |
> Hallo,
>
> wenn wir nun = [mm]e^{2x-1}[/mm] * -x- [mm]\integral_[/mm] -1 * [mm]e^{2x-1}[/mm]
> haben,
>
>
> dann müssten wir dies doch vereinfachen können zu:
> --> = [mm]-xe^{2x-1}- \integral -e^{2x-1}[/mm]
> --> = [mm]-xe^{2x-1}[/mm] + [mm]e^{2x-1}[/mm]
Fast richtig. [mm] \integral e^{2x-1}=\bruch{1}{2}e^{2x-1}
[/mm]
Somit bekommt ihr
[mm] -xe^{2x-1}- \integral -e^{2x-1}=-xe^{2x-1}+\bruch{1}{2}e^{2x-1}=-e^{2x-1}(x-\bruch{1}{2})
[/mm]
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Hallo, aber woher kommen nun die "1/2" her?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 So 12.03.2006 | | Autor: | Walde |
Die Stammfunktion von [mm] f(x)=e^{2x-1} [/mm] ist [mm] F(x)=\bruch{1}{2}e^{2x-1}.
[/mm]
Beweis durch ableiten von F.
Ihr habt bestimmt nicht an die "innere Ableitung" gedacht. Ihr müsst F nach Kettenregel ableiten. Da kommt der Faktor 2 dazu. Deshalb kommt beim "Aufleiten" von f das 1/2 dazu.
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Wenn wir
= [mm] -xe^{2x-1} [/mm] - [mm] \integral -e^{2x-1} [/mm] haben
dann müssen wir noch einmal von [mm] \integral -e^{2x-1} [/mm] die Stammfunktion bilden [mm] (also:-e^{2x-1}*1/2) [/mm] und dann erst zusammenfassen?
Annett
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Mo 13.03.2006 | | Autor: | Walde |
Ganz genau so ist es, Annett.
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| Aufgabe | | das Intergral von f(x)= [mm] e^{-x}* [/mm] (x [mm] -e^{x} [/mm] |
wenn wir die Klammer auflösen so erhalten wir:
f(x) = [mm] xe^{-x} [/mm] - 1
Jetzz müssten wir uns wieder entscheiden, was wir für u' und was wir für v nehmen möchten.
das hieße ja:
v = x -->v' = 1
u' = [mm] e^{-x} [/mm] -u= --> [mm] e^{-x} [/mm] * 1/-1 --> = [mm] -e^{-x}
[/mm]
Und was passiert mit der "- 1 " von f(x)
annett
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Wenn die "-1" extra ist (für sich steht)
dann wäre doch das komplette "Ding" so:
[mm] \integral xe^{-x} [/mm] -1 dx = [mm] ((-e^{-x} [/mm] * x) - [mm] \integral [/mm] (1 * [mm] -e^{-x} [/mm] * 1/-1)) - x
---> [mm] -xe^{-x}-\integral e^{-x} [/mm] -x
[mm] --->-xe^{-x}- (e^{-x}*1/-1) [/mm] - x
[mm] --->-xe^{-x}- (-e^{-x}) [/mm] -x
[mm] --->e^{-x}*( [/mm] -x+1) -x
Sag uns, dass wir die richtige Lösung haben
Annett
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:40 Mo 13.03.2006 | | Autor: | Walde |
Ist richtig. Ich sehe Hoffnung für euch Vergesst bloss nicht das "dx" beim Integral, wenn ihrs in der Klausur aufschreibt, gibt Punktabzug.
walde
Edit:
Halt stop zu früh gefreut, ihr habt ein Minus falsch:
[mm] \integral_{}^{}{xe^{-x}-1dx}=-e^{-x}x-\integral_{}^{}{ 1*\underbrace{-e^{-x}}_{I}dx }-x
[/mm]
I das hier ist schon die Stammfkt. von v', da braucht ihr nicht nochmal *1/-1
rauskommt dann insgesamt:
[mm] e^{-x}(-x-1)-x[/mm]
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Wir danken Dir, Du hast uns gut geholfen.
Wir glauben, Du wärst ein guten Mathe-Lehrer(zu min ein besserer als unser).
Wir werden nun alle bei Annett an der Matratze lauschen (schalfen gehen), denn für "Nach Hause-Fahren" ist es doch schon zu spät.
Hab auch Du eine Gute Nacht!!
Annett und Ihre Truppe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:04 Mo 13.03.2006 | | Autor: | Walde |
Danke, danke 
Freut mich, dass ich euch helfen konnte. Gute Nacht und gutes Gelingen.
Walde
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 So 12.03.2006 | | Autor: | riwe |
betrachten wir das integral [mm] \integral_{}^{}{-2x\cdot e^{2x-1} dx}
[/mm]
und nennen wir, - statt u und v -, a = -2x und b [mm] =e^{2x-1}.
[/mm]
dann hat man A = [mm] \integral_{}^{}{-2x dx}=-x^{2} [/mm] und [mm] a^\prime=-2
[/mm]
desgleichen A = [mm] \integral_{}^{}{e^{2x-1} dx}=\frac{1}{2}e^{2x-1} [/mm] und [mm] b^\prime=2e^{2x-1}
[/mm]
jetzt hast du 2 möglichkeiten
[mm] \integral_{}^{}{a\cdot b dx}=Ab [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{A\cdot b^\prime dx}=-x^{2}e^{2x-1}- \integral_{}^{}{(-x^{2})\cdot 2e^{2x-1} dx}
[/mm]
wie man sofort sieht, bringt uns das nicht weiter, ist ja eher komplizierter geworden.
und nun die 2. variante
[mm] \integral_{}^{}{a\cdot b dx}= [/mm] aB - [mm] \integral_{}^{}{a^\prime \cdot B dx}= (-2x)\cdot \frac{1}{2}e^{2x-1}- \integral_{}^{}{(-2)\frac{1}{2}e^{2x-1} dx}=-x\cdot e^{2x-1}+ \integral_{}^{}{ e^{2x-1}dx}
[/mm]
und hurra, das übrig gebliebene integral können wir ohne probleme lösen.
werner
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