Partialbruchzerlegung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:20 Fr 09.05.2014 | | Autor: | needmath |
| Aufgabe | a) Berechnen Sie [mm] \integral_{-38}^{0}{\bruch{x+17}{x^2+38x-80} dx} [/mm] mithilfe einer Partialbruchzerlegung
b) Berechnen Sie [mm] \integral{\bruch{x^2+4x-1}{x^3+5x^2+6x} dx}
[/mm]
Überlegen Sie sich, welchen Ansatz Sie hier für die Partialzerlegung machen müssen |
a) Polstellen: -19 und -40
[mm] \bruch{x+17}{x^2+38x-80} [/mm] = [mm] \bruch{x+17}{(x+19)(x+40)} [/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \bruch{x+17}{(x+19)(x+40)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{(x+19)}+\bruch{B}{(x+40)}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \bruch{x+17}{(x+19)(x+40)} [/mm] = [mm] \bruch{A(x+40)}{(x+19)}+\bruch{B(x+19)}{(x+40)}
[/mm]
x+17 = A(x+40) + B(x+19)
EDIT: meine vorherige frage hat sich erledigt. ich mache jetzt ma weiter:
für x = -40
B = [mm] \bruch{23}{12}
[/mm]
für x = -19
A = [mm] \bruch{2}{21}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \integral_{-38}^{0}{ \bruch{A}{(x+19)}+\bruch{B}{(x+40)} dx} [/mm] = [mm] \integral_{-38}^{0}{ \bruch{2}{21(x+19)}+\bruch{23}{2(x+40)} dx} [/mm]
= [mm] \bruch{23}{126}(ln(x+19) [/mm] - ln(x+40)) = [mm] \bruch{23}{126}ln(\bruch{x+19}{x+40})
[/mm]
kann man jemand korregieren?
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Hallo needmath!
$5*x \ = \ (A+B)*x -A-6B$
[mm] $\red{5}*x [/mm] \ + \ [mm] \blue{0} [/mm] \ = \ [mm] \red{(A+B)}*x+ [/mm] \ [mm] \blue{(-A-6B)}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] \ [mm] \begin{cases} \red{5} \ = \ \red{(A+B)} \\ \blue{0} \ = \ \blue{(-A-6B)} \end{cases}$
[/mm]
Nun klar(er)? ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:38 Fr 09.05.2014 | | Autor: | needmath |
hi,
ja die koeffizienten wurden verglichen
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Hallo needmath!
Das ist nicht wirklich clever, einfach die Frage während des Beantwortens zu verändern.
> a) Polstellen: -19 und -40
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Da ist schon der erste Fehler. -19 ist falsch.
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\integral_{-38}^{0}{ \bruch{A}{(x+19)}+\bruch{B}{(x+40)} dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{-38}^{0}{ \bruch{2}{21(x+19)}+\bruch{23}{2(x+40)} dx}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{23}{126}(ln(x+19)[/mm] - ln(x+40)) =
> [mm]\bruch{23}{126}ln(\bruch{x+19}{x+40})[/mm]
Von obigem Fehler abgesehen, wärst Du hier noch nicht fertig, da in der Aufgabenstellung ein bestimmtes Integral steht.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Fr 09.05.2014 | | Autor: | needmath |
edit: nicht antworten, ich bearbeite den beitrag gleich
ich habe bei a) 0 flächeneinheiten raus
von welchen ansatz ist bei aufg b) die rede?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Fr 09.05.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
nein, da habe ich einen Wert ungleich Null raus.
VG,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Fr 09.05.2014 | | Autor: | needmath |
a)
Nst: 2; -40
[mm] \bruch{x+17}{(x-2)(x+40)}= \bruch{A}{(x-2)}+ \bruch{B}{(x+40)}
[/mm]
x+17 = A(x+40) + B(x-2)
für x = 2
19 = 42A [mm] \Rightarrow [/mm] A = [mm] \bruch{19}{42}
[/mm]
für x = -40
-23 = -42B [mm] \Rightarrow [/mm] B = [mm] \bruch{23}{42}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral_{-38}^{0}{\bruch{A}{(x-2)}+ \bruch{B}{(x+40)}
dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{-38}^{0}{\bruch{19}{42}* \bruch{1}{(x-2)}+ \bruch{23}{42}*\bruch{1}{(x+40)}dx}
[/mm]
wenn ich die faktoren hier vor dem integral ziehe, werden die miteinander addiert oder multipliziert? soweit alles richtig?
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Hallo needmath,
> a)
>
> Nst: 2; -40
>
> [mm]\bruch{x+17}{(x-2)(x+40)}= \bruch{A}{(x-2)}+ \bruch{B}{(x+40)}[/mm]
>
> x+17 = A(x+40) + B(x-2)
>
> für x = 2
>
> 19 = 42A [mm]\Rightarrow[/mm] A = [mm]\bruch{19}{42}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> für x = -40
>
> -23 = -42B [mm]\Rightarrow[/mm] B = [mm]\bruch{23}{42}[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow \integral_{-38}^{0}{\bruch{A}{(x-2)}+ \bruch{B}{(x+40)}
dx}[/mm]
Jo, mache aber besser mal Klammern um den Integranden ...
>
> = [mm]\integral_{-38}^{0}{\bruch{19}{42}* \bruch{1}{(x-2)}+ \bruch{23}{42}*\bruch{1}{(x+40)}dx}[/mm]
>
>
> wenn ich die faktoren hier vor dem integral
vor das Integral (!!!)
> ziehe, werden
> die miteinander addiert oder multipliziert?
Ich verstehe die Frage nicht.
Das Integral ist additiv, also kannst du es als Summe zweier Integrale schreiben und dann noch die Konstanten rausziehen, also (ohne Grenzen)
[mm]\ldots \ = \ \int{\frac{19}{42}\cdot{}\frac{1}{x-2} \ dx \ + \ \int{\frac{23}{42}\cdot{}\frac{1}{x+40} \ dx}[/mm]
[mm]= \ \frac{19}{42}\cdot{}\int{\frac{1}{x-2} \ dx} \ + \ \frac{23}{42}\cdot{}\int{\frac{1}{x+40} \ dx}[/mm]
> soweit alles richtig?
>
Jo, sieht gut aus. Nun noch schnell ausintegrieren ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Fr 09.05.2014 | | Autor: | needmath |
ich weiß jetzt wieso ich auf 0 als fläche komme. ich habe bei der stammfunktion nicht die integralgrenzen, sondern die polstellen eingesetzt
> Ich verstehe die Frage nicht.
[mm] \integral_{-38}^{0}{\bruch{19}{42}* \bruch{1}{(x-2)}+ \bruch{23}{42}*\bruch{1}{(x+40)}dx}
[/mm]
[mm] \bruch{19}{42}* \bruch{23}{42}\integral_{-38}^{0}{ \bruch{1}{(x-2)}+ \bruch{1}{(x+40)}dx}
[/mm]
ob man das machen kann?
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Hallo nochmal,
> ich weiß jetzt wieso ich auf 0 als fläche komme. ich habe
> bei der stammfunktion nicht die integralgrenzen, sondern
> die polstellen eingesetzt
>
>
> > Ich verstehe die Frage nicht.
>
> [mm]\integral_{-38}^{0}{\bruch{19}{42}* \bruch{1}{(x-2)}+ \bruch{23}{42}*\bruch{1}{(x+40)}dx}[/mm]
>
> [mm]\bruch{19}{42}* \bruch{23}{42}\integral_{-38}^{0}{ \bruch{1}{(x-2)}+ \bruch{1}{(x+40)}dx}[/mm]
>
> ob man das machen kann?
Nein, natürlich nicht!
Ich habe doch aufgeschrieben, wie es geht ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:47 Fr 09.05.2014 | | Autor: | needmath |
hi,
> Ich habe doch aufgeschrieben, wie es geht ...
ja trotzdem wollte ich wissen ob das so machen kann
lösung zu b9 folgt gleich
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Hallo needmath!
> von welchen ansatz ist bei aufg b) die rede?
Na, wie sieht denn die entsprechende Partialbruchzerlegung zu o.g. Funktion aus?
Welche Nullstellen hat der Nenner?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Fr 09.05.2014 | | Autor: | needmath |
hi,
der unterschied ist, dass es ein unbestimmtes integral ist
die Nullstellen sind: 0, -3, -2
[mm] \bruch{x^2+4x-1}{(x-0) (x+3) (x+2)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{(x-0)}+\bruch{B}{(x+3)}+\bruch{C}{(x+2)}
[/mm]
[mm] x^2+4x-1 [/mm] = A(x+3)(x+2) + B(x-0)(x+2) + C(x+3)(x-0)
ist doch richtig soweit oder? ich hätte es jetzt so weiter gerechnet wie bei aufg a)
jetzt korregiere ich erstmal aufg a)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Fr 09.05.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ja die Nullstellen bei der b) sind in Ordnung. Damit kannst Du in den Koeffzientenvergleich reingehen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Fr 09.05.2014 | | Autor: | needmath |
hi,
und weiter gehts
[mm] x^2+4x-1 [/mm] = A(x+3)(x+2) + B(x-0)(x+2) + C(x+3)(x-0)
für x = 0 folgt
-1 = 6A [mm] \Rightarrow [/mm] A = [mm] \bruch{-1}{6}
[/mm]
für x = -3 folgt
-4 = 3B [mm] \Rightarrow [/mm] B = [mm] \bruch{-4}{3}
[/mm]
für x = -2 folgt
-5 = -2C [mm] \Rightarrow [/mm] C = [mm] \bruch{5}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \integral{ \bruch{A}{(x-0)}+\bruch{B}{(x+3)}+\bruch{C}{(x+2)}dx}
[/mm]
= [mm] \integral{ \bruch{A}{(x-0)}} [/mm] + [mm] \integral{\bruch{B}{(x+3)}} [/mm] + [mm] \integral{\bruch{C}{(x+2)}} [/mm]
= [mm] |\bruch{-1}{6} \integral{ \bruch{1}{(x-0)}}| [/mm] + [mm] |\bruch{-4}{3}\integral{\bruch{1}{(x+3)}}| [/mm] +| [mm] \bruch{5}{2}\integral{\bruch{1}{(x+2)}}| [/mm] + constante
das passt doch alles oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Fr 09.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> hi,
>
> und weiter gehts
>
> [mm]x^2+4x-1[/mm] = A(x+3)(x+2) + B(x-0)(x+2) + C(x+3)(x-0)
>
> für x = 0 folgt
>
> -1 = 6A [mm]\Rightarrow[/mm] A = [mm]\bruch{-1}{6}[/mm]
>
> für x = -3 folgt
>
> -4 = 3B [mm]\Rightarrow[/mm] B = [mm]\bruch{-4}{3}[/mm]
>
> für x = -2 folgt
>
> -5 = -2C [mm]\Rightarrow[/mm] C = [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\integral{ \bruch{A}{(x-0)}+\bruch{B}{(x+3)}+\bruch{C}{(x+2)}dx}[/mm]
>
> = [mm]\integral{ \bruch{A}{(x-0)}}[/mm] +
> [mm]\integral{\bruch{B}{(x+3)}}[/mm] + [mm]\integral{\bruch{C}{(x+2)}}[/mm]
>
>
> = [mm]|\bruch{-1}{6} \integral{ \bruch{1}{(x-0)}}|[/mm] +
> [mm]|\bruch{-4}{3}\integral{\bruch{1}{(x+3)}}|[/mm] +|
> [mm]\bruch{5}{2}\integral{\bruch{1}{(x+2)}}|[/mm] + constante
>
> das passt doch alles oder?
Nein. Mach die Betragsstriche bei den 3 Integralen weg ! Dann passt es.
FRED
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