Partialbruchzerlegung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Mi 25.04.2007 | | Autor: | aXe |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Integrale [mm] \integral_{0}^{1}{f(\bruch{1}{1+x^{3}}) dt} [/mm] sowie [mm] \integral_{0}^{\infty}{f(\bruch{1}{1+x^{3}}) dt} [/mm] indem Sie eine Stammfunktion F(t) des Integranden herleiten. |
Hallo Leute!
Ich habe ein allgemeins Problem mit der Partialbruchzerlegung bei:
[mm] \integral_{0}^{1}{f(\bruch{1}{1+t^{3}}) dt}
[/mm]
In einer Mathe Übung hat unser Übungsleiter folgenden Tipp gegeben für die PBZ (Partialbruchzerlegung):
[mm] \bruch{1}{1+t^{3}}=\bruch{A}{t+1} [/mm] + [mm] \bruch{B+C}{t^{2}+\alpha\*t+\*\beta}
[/mm]
Dabei soll man die Nullstellen von [mm] 1+t^{2} [/mm] raten. Allerdings habe ich keine Ahnung wie ich damit fortfahren soll.
Kann mir da jemand einen Anhaltspunkt geben?
Danke, aXe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Mi 25.04.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
bei der Funktion [mm] \br{1}{1+t^3} [/mm] kann man eine Nullstelle erraten, nämlich t=-1.
Durch Polynomdivision kann man den verbleibenden Term berechnen, also durch ausrechnen von
[mm] (t^3+1):(t+1).
[/mm]
Ist das geschehen hast Du [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] bestimmt. Der verbleibende quadratische Term hat allerdings in diesem Fall imaginäre Nullstellen. Deshalb wählt man für die PBZ den Ansatz
[mm] \br{1}{1+t^3}=\br{A}{t+1}+\br{B+Ct}{t^2+\alpha{t}+\beta} [/mm] und bestimmt durch Koeffizientenvergleich die Werte für A, B und C.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Mi 25.04.2007 | | Autor: | aXe |
Hallo,
ich habe jetzt weitergerechnet und bin darauf gekommen, dass [mm] \alpha=-1 [/mm] und [mm] \beta=1
[/mm]
Soweit so gut. Weitergehts:
[mm] \bruch{1}{(t+1)(t^{2}-t+1)}=\bruch{A}{(t+1)}+\bruch{B}{t^{2}-t+1}+\bruch{C}{t^{2}-t+1}
[/mm]
Ich hab es mit [mm] (t+1)(t^{2}-t+1) [/mm] durchmultipliziert und kommte weiterhin auf:
[mm] 1=t^{2}A+t(-A+B+C)+(A+B+C)
[/mm]
Wenn ich das ins LGS aufstelle kommt mir nichts sinnvolles raus (LGS unlösbar) auch mit der Zuhaltemethode bekomme ich Ergebnisse wie A=0,5 B=1 C=-0,5
Was mache ich falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Mi 25.04.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
die PZB lautet wie folgt
[mm] \br{1}{1+t^3}=\br{A}{t+1}+\br{B+Ct}{t^2-t+1} [/mm] also
[mm] 1=A(t^2-t+1)+B(t+1)+Ct(t+1)=At^2+Ct^2+(-A+B+C)t+(A+B) [/mm] also
A+B=1
-A+B+C=0
A+C=0
daraus folgt
[mm] A=\br{1}{3}
[/mm]
[mm] B=\br{2}{3}
[/mm]
[mm] C=-\br{1}{3}
[/mm]
mfg ulllim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Mi 25.04.2007 | | Autor: | aXe |
Hallo,
danke. Das hat mir sehr weitergeholfen.
Aber noch eine Frage:
Bei [mm] \br{1}{1+t^3}=\br{A}{t+1}+\br{B+Ct}{t^2-t+1} [/mm] hast Du C*t im Nenner hingeschrieben. Könnte es denn genauso B*t sein? Welchen sinn hat es, wenn man das dazu multipliziert?
Könntest Du mir erklären warum das so ist? Wäre sehr nett.
MfG, aXe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Mi 25.04.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Hallo,
> danke. Das hat mir sehr weitergeholfen.
> Aber noch eine Frage:
> Bei [mm]\br{1}{1+t^3}=\br{A}{t+1}+\br{B+Ct}{t^2-t+1}[/mm] hast Du
> C*t im Nenner hingeschrieben. Könnte es denn genauso B*t
> sein? Welchen sinn hat es, wenn man das dazu
> multipliziert?
>
Du meinst sicher, das ich C*t im Zähler dazu addiert habe. Da [mm] t^2-t+1 [/mm] komplexe Nullstellen hat, könnte man auch eine Zerlegung wie folgt machen
[mm] \br{1}{1+t^3}=\br{A}{t+1}+\br{B}{t-t_1}+\br{C}{t-t_2} [/mm] mit
[mm] t_1 [/mm] = komplexe Nullstelle und
[mm] t_2 [/mm] = konjugiert komplexe Nullstelle
aber auch hier hat man 3 Parameter zu bestimmen und man muss mit komplexen Werten rechnen, was die Sache nur schwieriger macht. Das ist der Grund für den von mir gewählten Ansatz.
mfg ullim
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