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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 Mo 23.07.2007 | | Autor: | Ange1982 |
| Aufgabe | | Man berechne das [mm] \integral_{1}^{3}{(x^{4} +1) / (x^{3} + 4x) dx} [/mm] durch Zerlegung des Integranden in eine Summe aus einem Polynom und geeigneten Partialbrüchen. |
Mir ist klar, dass wenn der Grad des Zählers höher ist als der Nenner, dass ich die Polynomdivision durchführe.
[mm] \integral_{1}^{3} {(x^{4} +1) / (x^{3} + 4x) dx} [/mm]
raus kommt dann
x + [mm] (-4x^{2} [/mm] + 1) / [mm] (x^{3} [/mm] + 4x)
die weiteren Schritte sind mir leider nicht klar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Angelo,
also du willst [mm] \frac{-4x^2+1}{x^3+4x} [/mm] zerlegen.
Dazu schreib mal den Bruch etwas um:
[mm] =\frac{-4x^2+1}{x(x^2+4)}
[/mm]
Nun die PBZ mit dem Ansatz:
[mm] \frac{-4x^2+1}{x(x^2+4)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+4}
[/mm]
Nun musst du A,B,C berechnen, indem du die hintere Summe auf den Hauptnenner bringst und anschließend einen Koeffizientenvergleich der Zähler im Ausgangsbruch, also [mm] -4x^2+1, [/mm] und im neu erhaltenen Bruch machst.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Mo 23.07.2007 | | Autor: | Ange1982 |
Vielen Dank für die rasche Antwort!
Ist das mit dem A, B und C davon abhängig welche Fälle wir betrachten bezüglich der Nullstellen?
Mir fehlt leider eine klare Zuordnung.
Vielleicht gibt es irgendein Verweis zu einer Seite?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Mo 23.07.2007 | | Autor: | Ange1982 |
Ich berechne die Nullstellen und habe eine Nullstelle bei 0. In einem Lösungsansatz steht A/x + ((Bx +C) / [mm] x^{^2} [/mm] + 4). Ich weiss aber nicht warum ((Bx +C) / [mm] x^{^2} [/mm] + 4). Hat das damit zu tun, dass wir hier [mm] x^{^2} [/mm] + 4 keine Nullstellen herausbekommen? Ich kann mir aus dem Zähler auch keinen Reim bilden...
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Hi nochmal,
> Ich berechne die Nullstellen und habe eine Nullstelle bei
> 0. In einem Lösungsansatz steht A/x + ((Bx +C) / [mm]x^{^2}[/mm] +
> 4). Ich weiss aber nicht warum ((Bx +C) / [mm]x^{^2}[/mm] + 4). Hat
> das damit zu tun, dass wir hier [mm]x^{^2}[/mm] + 4 keine [mm] \red{reellen}
[/mm]
> Nullstellen herausbekommen? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Ich kann mir aus dem Zähler
> auch keinen Reim bilden...
>
Ja, das liegt daran, dass du [mm] x^2+4 [/mm] im REELLEN nicht weiter zerlegen kannst, das Ding hat nur 2 komplexe Nullstellen, [mm] x_1=2i [/mm] und [mm] x_2=-2i
[/mm]
Also brauchst du den Ansatz [mm] \frac{Bx+C}{x^2+4}
[/mm]
Wenn du das Rechnen mit komplexen Zahlen in Kauf nimmst, kannst du
den "normalen" Ansatz wählen, indem du den Nenner "komplett" in Linearfaktoren zerlegst, also
[mm] \frac{-4x^2+1}{x^3+4x}=\frac{-4x^2+1}{x(x+2i)(x-2i)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2i}+\frac{C}{x-2i}
[/mm]
Aber ob das unbedingt einfacher wird bzw. sich schneller lösen lässt...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Mo 23.07.2007 | | Autor: | Ange1982 |
Vielen Dank ich bin wirklich begeistert von diesem Forum.
Gibt es irgendwo eine Seite im Netz die deutlich macht welchen genauen Ansatz (Bx +C) usw. ... ich für die Zähler wähle?
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Hi,
das ist abhängig von der Art und Anzahl bzw. Vielfachheit der Nullstellen des Nennerpolynoms.
Schaue dir doch Roadrunner Wikipedia-Link an, da steht das alles unter "Ansätze"
oder google danach, da gibt's etliche Seiten und kleine pdf-Dokumente, di das erklären - oder schau in dein Skript/AnaI-Buch... 
LG
schachuzipus
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
Partialbruchzerlegung![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Partialbruchzerlegung (Wikipedia)