Partialbruchzerlegung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Aleksa |
| Aufgabe | ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Verwende die Partialbruchzerlegung und Löse
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] 1/ (n(n+1)(n+2)
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Ich komme bei dieser Aufgabe irgendwie nicht weiter, zwar weiss ich was eine Partialbruchzerlegung ist, aber wie ich diese auf diese Aufgabe hier anwenden soll , habe ich keine Ahnung.
Zwar habe ich die Anfagszerlegung :
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] 1/ (n(n+1)(n+2) = A/n +B/ n+1 + C/ n+2
[mm] =\bruch{A(n+1)(n+2) +Bn(n+2) + C(n)n+1}{n(n+1)(n+2)}=1
[/mm]
nach diesem Schritt bekomme ich dann probleme , also die alten Nullstellen sind ja (0, -7/6, -1/6) , und wenn ich dann mit diesen weiter rechnen will, kriege ich dann für
n= 0 : 1 A.2 +B.0 +C.O -> A = 2 raus! Wie rechne ich denn jetzt B und C raus???
Dankeee
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Hallo Aleksa!
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] 1/ (n(n+1)(n+2) = A/n +B/ n+1 + C/n+2 [mm]=\bruch{A(n+1)(n+2) +Bn(n+2) + C(n)n+1}{n(n+1)(n+2)}=1[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Multipliziere nun den Zähler aus und führe anschließend einen Koeffizientenvergleich durch:
[mm] $$\red{(...)}*n^2+\blue{(...)}*n+\green{(...)} [/mm] \ = \ 1 \ = \ [mm] \red{0}*n^2+\blue{0}*n+\green{1}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Aleksa |
Hallo Roadrunner,
also jetzt habe ich [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] 0,5 [mm] \bruch{1}{n}- \bruch{1}{n+1}+0,5 \bruch{1}{n+2} [/mm] raus, wie forme ich die Summe denn jetzt um, damit diese = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] wird ?
Danke
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Hallo Aleska,
ich habe jetzt nicht nachgerechnet, ob deine PBZ stimmt, aber das weitere Vorgehen ist so:
Klammere zunächst mal [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] aus
> Hallo Roadrunner,
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> also jetzt habe ich [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] 0,5 [mm]\bruch{1}{n}- \bruch{1}{n+1}+0,5 \bruch{1}{n+2}[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{2}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right)$
[/mm]
> raus, wie forme ich die Summe denn jetzt um, damit diese =
> [mm]\bruch{1}{4}[/mm] wird ?
>
> Danke
>
Der Reihenwert ist ja der Grenzwert der Partialsummen, also [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=\lim\limits_{k\to\infty}\underbrace{\sum\limits_{n=1}^ka_n}_{=S_k}$
[/mm]
Stelle mal zu deiner Reihe (in der Partialbruchdarstellung) eine solche k-te Partialsumme [mm] $S_k$ [/mm] auf.
Du wirst sehen, das ist eine "hübsche" Teleskopsumme, in der sich fast alle Summanden "rausheben"
Mache dann den Grenzübergang [mm] $k\to\infty$ [/mm] und du erhältst deinen gewünschten Reihenwert.
Achtung: das ausgeklammerte [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] nicht vergessen 
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 Do 29.11.2007 | | Autor: | Aleksa |
Hallo,
dankeee, ich hab jetzt 1/4 raus  )))
Liebe Grüße
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