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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Mo 28.01.2008 | | Autor: | x2mirko |
| Aufgabe | | [mm] \integral{\bruch{2}{(x^{2}-x-2)(x^{2}+x)} dx} [/mm] |
Guten Tag,
Ich habe eine Frage zur Partialbruchzerlegung. Ich muss sagen, das ich das Konzept noch nicht einhundertprozentig verstanden habe. Also hab ich mir mal eine Übungsaufgabe rausgegriffen und lege euch meinen bisherigen Lösungsweg dar :)
also:
Zunächst mal hab ich die Nullstellen von
2 * [mm] \integral{\bruch{dx}{(x^{2}-x-2)(x^{2}+x)}}
[/mm]
gesucht und bin auf -1 für [mm] (x^{2}-x-2) [/mm] und 0 für [mm] (x^{2}+x) [/mm] gekommen - soweit so gut. Also 2 einfache Nullstellen. Damit komme ich auf
[mm] \bruch{1}{(x+1)(x^{2}+x)} [/mm] = [mm] \bruch{a}{(x+1)} [/mm] + [mm] \bruch{b}{x}
[/mm]
Ich denke mal das ist soweit auch richtig. Wenn ich das jetzt mit mit
(x+1) * x multipliziere um die Brüche auf nen Hauptnenner zu bekommen, erhalte ich:
[mm] \bruch{1}{x^{2}+x} [/mm] = ax + bx + b = (a+b)x + b
Jetzt kommt mein Problem. Ich weiss einfach nicht, wies ab da weitergeht, vor allem, weil im Zähler kein x drin ist. Das hieße doch, das b = 0, da [mm] x^{0} [/mm] genau 1 mal im Zähler vorkommt, also
1 = (a+b)x + b [mm] \Rightarrow [/mm] b = 0 oder?
wie komme ich den nun auf a? Ich bin mir fast sicher, das es eigentlich ziemlich einfach ist und ich grade nur zu verbohrt bin, um die Lösung zu sehen (falls mein Lösungsweg nicht vorher irgendwo nen Fehler beinhaltet). Deswegen frage ich lieber mal nach, bevor ich mir an sowas die Zähne ausbeiße :)
Ich freue mich über jeden Tipp
mfg,
Mirko
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Mo 28.01.2008 | | Autor: | x2mirko |
vielen dank schonmal für die schnelle Antwort und den Willkommensgruß Loddar ;)
Das hilft mir zwar schon ein Stück weiter auf dem Weg zur richtigen Lösung, aber ich bleibe im Endeffekt wieder an derselben Stelle hängen:
damit erhalte ich nämlich folgendes:
[mm] a*(x-2)*(x+1)*(x+1)^{2}+b*(x)*(x+1)*(x+1)^{2}+c*(x)*(x-2)*(x+1)^{2}+d*(x)*(x-2)*(x+1)
[/mm]
Zusammengefasst:
[mm] x^{2}*(a+b+d)+x*(4a+4b+3c+4d)+2b-c-d
[/mm]
Nun ist aber weiterhin das Problem, das ich einfach nicht weiß, wie ich an a,b,c und d komme, wenn der Zähler der ursprünglichen Funktion 1 ist (s.o.)
mfg,
Mirko
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Mo 28.01.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Zusammengefasst:
>
> [mm]x^{2}*(a+b+d)+x*(4a+4b+3c+4d)+2b-c-d[/mm]
>
> Nun ist aber weiterhin das Problem, das ich einfach nicht
> weiß, wie ich an a,b,c und d komme, wenn der Zähler der
> ursprünglichen Funktion 1 ist (s.o.)
du hast [mm] x^{2}*(a+b+d)+x*(4a+4b+3c+4d)+2b-c-d
[/mm]
und weißt, dass [mm] x^{2}*(a+b+d)+x*(4a+4b+3c+4d)+2b-c-d=1.
[/mm]
Daraus ergibt sich das zu lösende Gleichungssystem:
a+b+d=0
4a+4b+3c+4d=0
2b-c-d=1
sofern keine Rechenfehler enthalten sind, erhälst du so dein a,b,c und d.
MfG barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:04 Mo 28.01.2008 | | Autor: | x2mirko |
Super, vielen dank. Ich glaube jetzt hab ichs geblickt. Ich hatte ja schon vermutet, das es eigentlich ne relativ einfache Annahme ist. Dann werd ich mich jetzt mal wieder dransetzen. :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Mo 28.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mirko!
Es gilt ja: $1 \ = \ [mm] 0*x^2+0*x+1$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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