Partialbruchzerlegung < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi, ich habe ein Problem.
ich habe folgende Aufgabe zu lösen, ich soll das Integral
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{2-x²}{x(x²+2)} dx} [/mm] lösen.
als ansatz habe ich eine Partialbruchzerlegung gemacht
und kam auf eine Lösung von ln |x| - 2ln(x²+2) +C .
die lösung ist aber ln |x| - ln(x²+2) +C . leider komme ich auf biegen und brechen nicht darauf.
hier mein rechenweg:
2-x²= A(x²+2) - B(x)
ich setze
x=0 2= A(2) , daher A=1 (das wird dann zum ln |x| )
so nun habe ich das problem das ich ja das " x²-2" nicht null kriege, und somit habe ich einfach in die obige formel mein A=1 eingesetzt und habe für x=1 angenommen, und kam auf B=2 . leider muss B=1 rauskommen, aber wie gesagt , ich weiß echt nicht wie.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
grüße
martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:18 Di 29.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Deine Partialbruchzerlegung stimmt nicht. Diese muss lauten:
[mm] $$\bruch{2-x^2}{x*\left(x^2+2\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{x}+\bruch{B*x+C}{x^2+2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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ich habe gerade einmal versucht das zu rechnen.
dabei kam ich zu folgenden problemen .
in deinem vorschlag zur partialbruchzerlegung wird das " - " im zähler gar nicht beachtet? wo muss man das denn einfügen?
und leider komme ich nicht auf das Ergebnis, ich komme während der Rechnung auf ein Verhältnis von C=2-B , aber dann weiß ich nicht wie ich damit zur Lösung komme.
grüße
martin
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Hallo Martin,
> ich habe gerade einmal versucht das zu rechnen.
> dabei kam ich zu folgenden problemen .
>
> in deinem vorschlag zur partialbruchzerlegung wird das " -
> " im zähler gar nicht beachtet? wo muss man das denn
> einfügen? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Hmm, ich verstehe nicht ganz, was du genau meinst ..
>
> und leider komme ich nicht auf das Ergebnis, ich komme
> während der Rechnung auf ein Verhältnis von C=2-B , aber
> dann weiß ich nicht wie ich damit zur Lösung komme.
Ausgehend von Loddars Ansatz hast du doch dies:
[mm] $\frac{2-x^2}{x(x^2+2)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+2}$
[/mm]
Bringe hier die rechte Seite durch Erweitern auf den Hauptnenner [mm] $x(x^2+2)$, [/mm] also
[mm] $...=\frac{A\cdot{}\red{(x^2+2)}}{x\cdot{}\red{(x^2+2)}}+\frac{(Bx+C)\cdot{}\blue{x}}{(x^2+2)\cdot{}\blue{x}}$
[/mm]
Nun ausmultiplizieren und nach den Potenzen von $x$ sortieren
[mm] $...=\frac{\green{(A+B)}\cdot{}x^2+\blue{C}\cdot{}x+\red{2A}}{x(x^2+2)}$
[/mm]
Nun den Koeffizientenvergleich: das soll sein [mm] $=\frac{\green{-1}\cdot{}x^2+\blue{0}\cdot{}x+\red{2}}{x(x^2+2)} [/mm] \ [mm] \left(=\frac{2-x^2}{x(x^2+2)}\right)$
[/mm]
Klappt's nun?
> grüße
> martin
LG
schachuzipus
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erstmal vielen dank für die antwort , aber ich krieg das nicht hin, ich glaub manchma bin ich zu blöd für mathe ^^.
ich habe aufgrund deines hinweises wie folgt gerechnet:
2-x²= (A+B)x² + Cx + 2A
annahme: x=0 2= 0 + 0 + 2A >> A=1
so...weitere annahme
x=1 dann ist 1= 1 + B + C +2
daraus erhalte ich das Verhältnis C = -2 - B
das setze ich in die gleichung ein für die Annahme
x= -1 1= 1+B +2 +b +2
B=-2
(aber B is ja laut Lsg 1)
kann es vlt auch sein das die Lsg der Aufgabe einfach falsch ist(das der Prof vlt ne 2 vergessen hat ;) ),und ich die ganze Zeit richtig rechne?
und noch eine frage
wie kommt Loddar bei der Part.B.zerlegung
zu
[mm] \bruch{A}{x} [/mm] + [mm] \bruch{Bx + C}{x²+2} [/mm] auf das x hinter dem B? gibt es da ne Regel zu oder ist das nach Erfahrungswerten eingesetzt?
nochmals vielen dank für die bisherige hilfe
lg
martin
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Hallo puecklerice,
> erstmal vielen dank für die antwort , aber ich krieg das
> nicht hin, ich glaub manchma bin ich zu blöd für mathe ^^.
> ich habe aufgrund deines hinweises wie folgt gerechnet:
>
> 2-x²= (A+B)x² + Cx + 2A
>
> annahme: x=0 2= 0 + 0 + 2A >> A=1
>
> so...weitere annahme
> x=1 dann ist 1= 1 + B + C +2
> daraus erhalte ich das Verhältnis C = -2 - B
>
> das setze ich in die gleichung ein für die Annahme
> x= -1 1= 1+B +2 +b +2
> B=-2
> (aber B is ja laut Lsg 1)
> kann es vlt auch sein das die Lsg der Aufgabe einfach
> falsch ist(das der Prof vlt ne 2 vergessen hat ;) ),und ich
> die ganze Zeit richtig rechne?
Mach doch einfach einen ![[]](/images/popup.gif) Koeffizientenvergleich, das heisst es ist folgendes Gleichungssystem zu lösen:
[mm]A+B=-1[/mm]
[mm]C=0[/mm]
[mm]2A=2[/mm]
>
> und noch eine frage
> wie kommt Loddar bei der Part.B.zerlegung
> zu
> [mm]\bruch{A}{x}[/mm] + [mm]\bruch{Bx + C}{x²+2}[/mm] auf das x hinter dem
> B? gibt es da ne Regel zu oder ist das nach
> Erfahrungswerten eingesetzt?
Es gibt da eine Regel, wie man den Ansatz wählt:
Partialbruchzerlegung - Ansatz
>
> nochmals vielen dank für die bisherige hilfe
>
> lg
> martin
Gruß
MathePower
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also kann man zusammenfassend sagen das auf jedem rechenweg der hier aufgezeigt wurde für B 2 oder -2 rauskommt?!
also ist die gegebene lösung dementsprechend falsch , da muss sich der prof wohln vertippt haben :).
ich jedenfalls weiß keine andren rechenweg , bei dem für B = 1 rauskommt.
vielen dank für eure hilfe
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo nochmal,
> also kann man zusammenfassend sagen das auf jedem rechenweg
> der hier aufgezeigt wurde für B 2 oder -2 rauskommt?!
Na, -2 natürlich 
>
> also ist die gegebene lösung dementsprechend falsch , da
> muss sich der prof wohln vertippt haben :).
Hmm, ich weiß nicht genau, von welcher Lösung du sprichst, die Lösung für das Integral aus deinem ersten post, also $\ln(|x|)-\ln\left(x^2+2)+C$ stimmt jedenfalls
>
> ich jedenfalls weiß keine andren rechenweg , bei dem für B
> = 1 rauskommt.
gar nicht, es ist B=-2
Du hast also $\int{\frac{2-x^2}{x(x^2+2)}=\int{\left(\frac{1}{x}-\frac{2x}{x^2+2}\right) \ dx}=\int{\frac{1}{x} \ dx}-\int{\frac{2x}{x^2+2} \ dx}$
Das erste Integral ist klar, das zweite ist ein logarithmisches (Ableitung des Nenners im Zähler, also von der Bauart $\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}$, das hat (bekanntlich) die Stammfunktion $\ln(|f(x)|)+C$)
Zu Fuß kannst du's mit der Substitution $u:=x^2+2$ lösen ...
Damit kommst du genau auf die Lösung in deinem ersten post
>
> vielen dank für eure hilfe
Gruß
schachuzipus
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> Das erste Integral ist klar, das zweite ist ein
> logarithmisches (Ableitung des Nenners im Zähler, also von
> der Bauart [mm]\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}[/mm], das hat
> (bekanntlich) die Stammfunktion [mm]\ln(|f(x)|)+C[/mm])
OH dass das ne allg. regel ist , wusste ich, aber vielen dank damit hast du mir sehr geholfen.
wäre vlt noch cool wenn du mir sagen könntest wie die Regel genau heißt, die das beinhaltet, dass ich die im Bronstein nachschlagen kann.
Vielen vielen dank für eure hilfe, ich bin nich so das mathe genie deswegen kenn ich solche "Kniffe" leider nicht :).
lg
martin
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Hallo nochmal,
das ist (mir) nur unter dem Begriff "logarithmisches Integral" bekannt.
Die Herleitung ist auch ziemlich "einfach"
[mm] $\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}$
[/mm]
Substitution [mm] $u:=f(x)\Rightarrow u'=\frac{du}{dx}=f'(x)\Rightarrow dx=\frac{du}{f'(x)}$
[/mm]
Also hast du [mm] $\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}=\int{\frac{f'(x)}{u} \frac{du}{f'(x)}}=\int{\frac{1}{u} \ du}=\ln(|u|)+C=\ln(|f(x)|)+C$
[/mm]
LG
schachuzipus
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Vielen Dank.
Super verständlich erklärt !
lg
martin
*thema beendet* :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Di 29.07.2008 | | Autor: | abakus |
> ich habe gerade einmal versucht das zu rechnen.
> dabei kam ich zu folgenden problemen .
>
> in deinem vorschlag zur partialbruchzerlegung wird das " -
> " im zähler gar nicht beachtet? wo muss man das denn
> einfügen?
Das macht doch nichts. Das "-" ergibt sich automatisch, wenn man A, B und C mit diesem Ansatz ermittelt.
A, B und C können ja eventuell auch negative Werte annehmen.
Gruß Abakus
>
> und leider komme ich nicht auf das Ergebnis, ich komme
> während der Rechnung auf ein Verhältnis von C=2-B , aber
> dann weiß ich nicht wie ich damit zur Lösung komme.
>
>
> grüße
> martin
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