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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 So 02.11.2008 | | Autor: | newday |
| Aufgabe | Man zerlege die Funktion
f(x)= [mm] \left( \bruch{x^5-4x^2+9x^3-10x^2+18x-4}{x^4-2x^3+5x^2-8x+4} \right)
[/mm]
in Partialbrüche. Kann man dabei die Grenzwertmethode anwenden? |
Komme mit der Funktion nicht wirklich klar, also ich denke mal das die Grenzwermethode hier nicht funktioniert, da der Zähler größer ist als der Nenner? Der Nenner lässt sich mittels Polynomdivision schon mal vereinfachen:
[mm] (x-1)^2 (x^2+4)
[/mm]
Kann mir wer einen Tipp geben wie ich da am besten weiter komme? Der Zähler lässt sich ja wohl nicht weiter zerlegen?
Welche Methode für hier zum Erfolg?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo newday und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Man zerlege die Funktion
>
> f(x)= [mm]\left( \bruch{x^5-4x^2+9x^3-10x^2+18x-4}{x^4-2x^3+5x^2-8x+4} \right)[/mm]
>
> in Partialbrüche. Kann man dabei die Grenzwertmethode
> anwenden?
> Komme mit der Funktion nicht wirklich klar, also ich denke
> mal das die Grenzwermethode hier nicht funktioniert, da der
> Zähler größer ist als der Nenner? Der Nenner lässt sich
> mittels Polynomdivision schon mal vereinfachen:
> [mm](x-1)^2 (x^2+4)[/mm]
>
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> Kann mir wer einen Tipp geben wie ich da am besten weiter
> komme? Der Zähler lässt sich ja wohl nicht weiter
> zerlegen?
> Welche Methode für hier zum Erfolg?
Da der Zählergrad höher ist als der Nennergrad, mache erst einmal eine Polynomdivision Zähler:Nenner
Dann bekommst du einen linearen Term $x+2$ und einen gebrochen-rationalen Restterm, den du in PB zerlegen kannst.
Ansatz: [mm] $\frac{\text{Restzähler}}{(x-1)^2(x^2+4)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+4}$
[/mm]
Mache den ganzen Klumpatsch rechterhand gleichnamig, sortiere dann den Zähler nach Potenzen von x und vergleiche mit dem "Restzähler" auf der linken Seite
>
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 So 02.11.2008 | | Autor: | newday |
ach ich bekomm das einfach nicht ins Hirn :(
Gut ich hab jetzt Zähler/Nenner ausdividiert:
Ergebnis: [mm] (x-2)*(\left( \bruch{2*(4x^2-x+2)}{Nenner} \right)
[/mm]
d.h.:
[mm] \left( \bruch{2*(4x^2-x+2)}{(x-1)^2(x^2+4)} \right)=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+4}
[/mm]
Wie komm ich da jetzt weiter? Was wird dann A,B,C,D zugeordnet?
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Hallo nochmal,
> ach ich bekomm das einfach nicht ins Hirn :(
>
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> Gut ich hab jetzt Zähler/Nenner ausdividiert:
>
> Ergebnis: [mm](x-2)*(\left( \bruch{2*(4x^2-x+2)}{Nenner} \right)[/mm]
>
>
> d.h.:
>
> [mm]\left( \bruch{2*(4x^2-x+2)}{(x-1)^2(x^2+4)} \right)=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+4}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") jo, bis hierher richtig, nun mache die rechte Seite gleichnamig, erweitere die drei Brüche entsprechend, dann sortiere im Zähler nach Potenzen von x und vergleiche mit der linken Seite (Koeffizientenvgl. im Zähler), um A,..,D auszurechnen
>
> Wie komm ich da jetzt weiter? Was wird dann A,B,C,D
> zugeordnet?
s.o. Koeffizientenvgl.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 So 02.11.2008 | | Autor: | newday |
wie meinst du das mit "mache die rechte Seite gleichnamig, erweitere die drei Brüche entsprechend"?
Also alles mit dem Nenner multipliziert?
[mm] 8x^2-2x+4=A(x-1)(x^2+4)+B(x^2+4)+Cx(x-1)^2+D(x-1)^2
[/mm]
[mm] 8x^2-2x+4=x^3(A+C)+x^2(BA-2C+d)+x(4A+2C+2D)+x^0(4B-4A+2D)
[/mm]
Da kommt bei mir nichts sinnvolles raus wenn ich Koeff.vgl. mache?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 So 02.11.2008 | | Autor: | newday |
Aus den vier (1)(2)(3)(4) Gleichungen kann ich dann durch umformen alle A,B,C,D ausrechnen und dann einsetzen? Was passiert mit (x-2)? Und wie kommst du eigentlich auf das Cx+D? warum nicht C/Nenner + D/Nenner?
Danke dir auf jeden Fall, du hast mir echt viel weiter geholfen :)!
(1) A+C=0
(2) -A+B-2C+D=8
(3) 4A+C-2D=-2
(4) -4A+4B+D=4
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Hallo nochmal,
> Aus den vier (1)(2)(3)(4) Gleichungen kann ich dann durch
> umformen alle A,B,C,D ausrechnen und dann einsetzen? Was
> passiert mit (x-2)?
Das bleibt natürlich vornean stehen, du bekommst schlussendlich die Darstellung
[mm] $f(x)=\bruch{x^5-4x^2+9x^3-10x^2+18x-4}{x^4-2x^3+5x^2-8x+4} [/mm] \ = \ [mm] x-2+\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+4}$
[/mm]
Das ist dann die gesuchte PBZ
> Und wie kommst du eigentlich auf das
> Cx+D? warum nicht C/Nenner + D/Nenner?
Das ist der (reelle) Ansatz für einen quadratischen Nenner mit rein komplexer NST, wie hier [mm] $x^2+4$
[/mm]
Schau mal auf wikipedia zum Thema PBZ rein, da sind die ganzen Ansätze mal zusammengefasst
>
> Danke dir auf jeden Fall, du hast mir echt viel weiter
> geholfen :)!
>
> (1) A+C=0
>
> (2) -A+B-2C+D=8
>
> (3) 4A+C-2D=-2
>
> (4) -4A+4B+D=4
>
Gruß
schachuzipus
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Hallo newday,
> Man zerlege die Funktion
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> f(x)= [mm]\left( \bruch{x^5-4x^2+9x^3-10x^2+18x-4}{x^4-2x^3+5x^2-8x+4} \right)[/mm]
Muß die Funktion
[mm]f\left(x\right)= \bruch{x^5-4x^{\blue{4}}+9x^3-10x^2+18x-4}{x^4-2x^3+5x^2-8x+4}[/mm]
nicht so lauten?
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> in Partialbrüche. Kann man dabei die Grenzwertmethode
> anwenden?
> Komme mit der Funktion nicht wirklich klar, also ich denke
> mal das die Grenzwermethode hier nicht funktioniert, da der
> Zähler größer ist als der Nenner? Der Nenner lässt sich
> mittels Polynomdivision schon mal vereinfachen:
> [mm](x-1)^2 (x^2+4)[/mm]
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> Kann mir wer einen Tipp geben wie ich da am besten weiter
> komme? Der Zähler lässt sich ja wohl nicht weiter
> zerlegen?
> Welche Methode für hier zum Erfolg?
>
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:24 So 02.11.2008 | | Autor: | newday |
> Muß die Funktion
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> [mm]f\left(x\right)= \bruch{x^5-4x^{\blue{4}}+9x^3-10x^2+18x-4}{x^4-2x^3+5x^2-8x+4}[/mm]
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> nicht so lauten?
Ja, danke "MathePower" ganz richtig [mm] x^4 [/mm] wäre ja sonst auch unsinnig, ok ich probier mal ein bisschen rum mit dem Ansatz von schachuzipus...
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
