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Hallo,
ich hab da mal eine Frage zur Partialbruchzerlegung.
Will man z.B. das Polynom:
[mm] (9*x^3-4*x^3-2*x^2-6*x+7)/(x-1)^2 [/mm] zerlegen
mit der Partialbruchzerleung dann wählt man ja folgenden
Ansatz:
[mm] (A)/(x-1)+(B)/(x-1)^2 [/mm]
Nun meine Frage:
1) Warum muss man einmal (x-1) und einmal [mm] (x-1)^2 [/mm] in den Nenner schreiben? Intuitiv würde ich nur [mm] (x-1)^2 [/mm] schreiben, also den Bruch mit dem Nenner (x-1) gar nicht aufschreiben. Warum muss ich das trotzdem machen?
2) Was versteht man unter einer doppelten Nullstelle.
Man sagt ja, dass [mm] (x-1)^2 [/mm] eine doppelte Nullstelle bei x=1 hat. Doch das finde ich verwirrend, wieso eine "doppelte"...es ist doch schließlich EINE Nullstelle.
In C hat das Polynom ja genau/(maximal?) n Nullstellen.
Hat das etwas damit zu tun.
Ich bitte um Hilfe.
Gruß
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Hallo bodo_der_dackel,
> Hallo,
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> ich hab da mal eine Frage zur Partialbruchzerlegung.
> Will man z.B. das Polynom:
> [mm](9*x^3-4*x^3-2*x^2-6*x+7)/(x-1)^2[/mm] zerlegen
> mit der Partialbruchzerleung dann wählt man ja folgenden
> Ansatz:
> [mm](A)/(x-1)+(B)/(x-1)^2[/mm]
>
> Nun meine Frage:
> 1) Warum muss man einmal (x-1) und einmal [mm](x-1)^2[/mm] in den
> Nenner schreiben? Intuitiv würde ich nur [mm](x-1)^2[/mm] schreiben,
> also den Bruch mit dem Nenner (x-1) gar nicht aufschreiben.
> Warum muss ich das trotzdem machen?
Nach dem Du eine Polyonomdivision durchgeführt hast Du die
gebrochenrationale Funktion
[mm]\bruch{Cx+D}{\left(x-1\right)^{2}}[/mm]
Nun läßt sich aber
[mm]Cx+D=A*\left(x-1\right)+B[/mm]
schreiben.
Daher ist
[mm]\bruch{Cx+D}{\left(x-1\right)^{2}}=\bruch{A*\left(x-1\right)+B}{\left(x-1\right)^{2}}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{\left(x-1\right)^{2}}[/mm]
> 2) Was versteht man unter einer doppelten Nullstelle.
> Man sagt ja, dass [mm](x-1)^2[/mm] eine doppelte Nullstelle bei x=1
> hat. Doch das finde ich verwirrend, wieso eine
> "doppelte"...es ist doch schließlich EINE Nullstelle.
> In C hat das Polynom ja genau/(maximal?) n Nullstellen.
> Hat das etwas damit zu tun.
Eine doppelte Nullstelle sagt ja nicht anderes aus,
als daß der Linearfaktor [mm]\left(x-1\right)[/mm] zweimal vorkommt.
>
> Ich bitte um Hilfe.
>
> Gruß
>
Gruß
MathePower
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Wie kommst du bei dem oberen Punkt auf Polynomdivision und v.a. auf das Cx+D. Kannst du da mal ein konkretes Beispiel geben. (Die Nullstellen des Nenners berechne ich mit Polynomdivision - das ist klar - aber was meinst du genau??)
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Hallo bodo_der_dackel,
> Wie kommst du bei dem oberen Punkt auf Polynomdivision und
> v.a. auf das Cx+D. Kannst du da mal ein konkretes Beispiel
> geben. (Die Nullstellen des Nenners berechne ich mit
> Polynomdivision - das ist klar - aber was meinst du
> genau??)
Wenn Du, wie hier, ein kubisches durch ein quadratisches Polynom dividierst, bleibt ein Polynom, dessen Grad kleiner 2 ist, übrig.
Gruß
MathePower
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Wenn ich die Polynomdivision durchführe erhalte ich als
Ergebnis den Term:
[(5*x-8)] + [mm] [(5*x-1)/(x-1)^2]
[/mm]
Was ist da nun konkret C und D?
Wie kommst du von hier auf den Ansatz mit dem A(x-1)... aus deinem ersten Post?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 Sa 21.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
C ist 5 und D ist -1
Gruss leduart
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Ja aber woher kommt die Formel
[mm]Cx+D=A*\left(x-1\right)+B[/mm] ?
Warum taucht das plötzlich ein A und ein B auf?
Kann man mal diese Formel erläutern und erklären`?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Sa 21.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Lies dir nochmal die Antwort von MathePower durch und deine Frage davor. und dann sag genau, was du nicht verstanden hast.
Aber langsam und gruendlich lesen, wenn du was nicht verstanden hast zitieren, was nicht.
Gruss leduart
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Schön okay. Für dieses Problem ist die Argumentation mit der Polynomdivision klar. Aber betrachten wir doch mal folgendes Problem:
[mm] \bruch{9*x^4-4*x^3-2*x^2-6*x+7}{(x-1)^2(x+1)*(x^2+1)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{(x-1)^2}+\bruch{C}{x+1}+\bruch{Dx+E}{x^2+1}
[/mm]
Hier sieht man zunächst den normalen Bruch und dann den Ansatz für die Partialbruchzerlegung.
Jetzt meine Frage:
1) Warum schreibt man jetzt bei dem letzten Glied in den Zähler Dx+E. Kann man das auch mit Polynomdivision begründen? Wenn ja wie?`
2) Mich irritiert, dass man jetzt mehrere "Elemente" (also [mm] (x-1)^2 [/mm] , (x+1), usw.) stehen hat. Wenn da jetzt nur [mm] (x-1)^2 [/mm] stehen würde, dann wäre die Begründung von Mathepower perfekt. Aber wie komme ich jetzt rein formal auf den Ansatz für die Partialbruchzerlegung.
Gruß
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also ich hab mir gerade die beweise angesehen...aber das sind auch alles induktionsbeweise...ist denn die frage klar?? ... ich meine es muss doch eine intuition dahinter stehen...die formel für die partialbruchzerlegung kann ja nicht einfach so vom himmel fallen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:37 So 22.02.2009 | | Autor: | reverend |
O Du Kleingläubiger!
> ...die formel für die partialbruchzerlegung kann ja
> nicht einfach so vom himmel fallen...
Wieso soll sie denn nicht vom Himmel fallen können?
Amen.
reverend
PS: SCNR ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
PPS: ernstere Antwort folgt.
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Hallo,
die ersten drei Links die du angegeben hast sind tatsächlich nur so "so muss man es machen"-links.
der vierte link ist - entschuldigung wenn ich das mal so formuliere - extrem umfassend ohne dann wirklich auf meine frage einzugehen.
Meine Frage ist doch relativ simpel:
Wie kann ich die Intuition/Den Ansatz den mir MathPower gegeben hat auf mein angegebenes Problem mit mehreren Linearfaktoren im Nenner übertragen? Ich suche keinen detailierten Beweis. Einfach die Grundidee?
Kann die mir denn niemand sagen ;) ;) ??
Gruß
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Hallo bodo,
ich verstehe die Frage nicht. Beziehst Du Dich auf die Aufgabe in diesem Post? Wenn ja: da hast du den Ansatz doch schon stehen! Was willst Du denn nun wissen - wie man diesen Ansatz aufstellt? Das beantworten alle Seiten, die ich Dir verlinkt habe. Oder willst Du wissen, warum er so aussehen muss? Das beantwortet die letzte und längste Seite, die ich verlinkt habe. Oder verstehst Du die dort angeführte Argumentation nicht? Dann sag mal, wo - und damit schließe ich mich leduarts Hinweis.
Das Problem ist, dass Deine Frage nicht klar formuliert ist. Dann ist es unsäglich schwer, Dir eine passende Antwort zu geben.
Also: welche Aufgabe genau? Welches Problem hast Du an welcher Stelle? Den Ansatz hast Du schon, Du musst nur noch die Koeffizienten bestimmen.
Grüße,
reverend
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sowas