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Hallo,
Aufgabe:
[mm] \integral_{}^{} { \bruch{4x^3-10x^2+6x-4}{(x-1)^2*(x^2+1)} dx[/mm]
Habe versucht die Aufgabe wie im Papula (Formelsammlung) beschrieben zu lösen.
Die Nennernullstellen sind: 1, 1 (doppelte NS); +-i
Die Partialbrüche sind:
[mm]\bruch{A}{x-1}[/mm] [mm] \bruch{Bx+C}{x^2+1}[/mm] [mm]\bruch{D}{(x-1)^2}[/mm]
Bringt man die auf den Hauptnenner kommt man auf:
[mm]4x^3-10x^2+6x-4[/mm] = [mm] A(x-1)(x^2+1) + Bx(x-1)^2 + C(x-1)^2 + D(x^2+1)[/mm]
Was ist an diesem Ansatz jetzt falsch? Geht er überhaupt nicht? Weil 1 kann man einsetzen, dann kommt man immerhin auf D=-2; aber sonst kriegt man wenigstens auf die Weise keine weiteren Koeffizienten für die Partialbrüche heraus.
Danke im Voraus.
Christian
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:23 Di 01.04.2008 | | Autor: | nickname |
Hallo!
Erstmal Kompliment für diesen tollen Artikel, nun habe sogar ich das Prinzip der PBZ verstanden und das will was heißen... . Ws ich aber noch nicht ganz verstehe ist der Koeffizientenvergleich:
Brackhaus schreibt:
> Dazu musst du die linke Seite ausmultiplizieren und nach Potenzen von [mm]x[/mm] sortieren:
>
> [mm]4x^3-10x^2+6x-4 = (A+B+D)x^3+ (A-2B+C-D)x^2+ (A+B-2C+D)x + (-A+C-D)[/mm]
Das ausmultiplizieren von B und C kann ich nachvollziehen, aber wie kommt ihr auf D? D ist doch (x²+1) und nicht x³-x²+x-1 ?
Würde mich freuen wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte vllt. bin ich gerade zu vernagelt...
Gruß
nickname
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 Di 01.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo nickname!
Dein Einwand ist völlig berechtigt und korrekt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Fr 01.04.2005 | | Autor: | zaaaq |
Hallo Brackhaus,
Ich habe einmal versucht diese Aufgabe nachzuvollziehen da ich selbst große Probleme im Bereich der Partiallbruchzerlegung habe.
Meine Frage wäre wie kommt ihr folgende Zeile:
> > [mm]\bruch{A}{x-1}[/mm] [mm]\bruch{Bx+C}{x^2+1}[/mm] [mm]\bruch{D}{(x-1)^2}[/mm]
wäre für jede Hilfe dankbar
grüße zaaaq
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Hallo zaaaq,
> Meine Frage wäre wie kommt ihr folgende Zeile:
>
> > > [mm]\bruch{A}{x-1}[/mm] [mm]\bruch{Bx+C}{x^2+1}[/mm] [mm]\bruch{D}{(x-1)^2}[/mm]
Das ist einfach der Ansatz für die Partialbruchzerlegung. Er hängt von der Art der Nennernullstellen ab.
Bei einer einfachen, reellen Nullstelle [mm] x_{1} [/mm] wählt man
[mm]\bruch{A}{x-x_{1}}[/mm] als Ansatz, bei einer zweifachen [mm]\bruch{A_{1}}{x-x_{1}}+\bruch{A_{2}}{(x-x_{1})^2}[/mm] bzw. bei einer r-fachen [mm]\bruch{A_{1}}{x-x_{1}}+\bruch{A_{2}}{(x-x_{1})^2}+ \cdots +\bruch{A_{r}}{(x-x_{1})^r}[/mm]
Der mittlere Ansatz mit Bx + C ist für komplexe Nullstellen; die kommen im Grundkurs aber vermutlich nicht vor!?
Partialbruchzerlegung nochmal der Reihe nach:
1. Du bestimmst die Nullstellen des Nenners der echt gebrochenrationalen Funktion.
2. Du erstellst die Partialbrüche für jede Nullstelle und doppelte Nullstelle nach obigem Schema
3. Danach kannst du die Konstanten A, B, C bestimmen; wobei der Koeffizientenvergleich wie Brackhaus schreibt geeigneter ist als das Einsetzen von Werten für x.
Ich hoffe die Antwort hilft dir. Falls du noch ein Buch oder Aufgaben dazu suchst, kann ich dir Papula empfehlen (allerdings nicht die Anwendungsaufgaben, sondern Formelsammlung, Übungsaufgaben und Band 1).
Gruß,
Christian
@Brackhaus und Zwerglein: Vielen Dank für eure Antworten! Ich poste meine Ergebnisse noch, habe sie im Moment aber nicht griffbereit.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Fr 01.04.2005 | | Autor: | zaaaq |
Hallo Christian!
Danke für die sehr ausführliche Erklärung! Ich glaube ich verstehe nun wie man auf die Nenner kommt. Nun würde mich aber eine ähnlich ausführliche Erklärung zu der Komplexen Nullstelle interessieren, um die ganze Aufgabe nachzuvollziehen zu können.
grüße zaaaq
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Hallo zaaaq,
> Danke für die sehr ausführliche Erklärung! Ich glaube ich
> verstehe nun wie man auf die Nenner kommt. Nun würde mich
> aber eine ähnlich ausführliche Erklärung zu der Komplexen
> Nullstelle interessieren, um die ganze Aufgabe
> nachzuvollziehen zu können.
Die komplexen Nennernullstellen treten immer paarweise in konjugiert-komplexer Form auf. Für zwei einfach konjugierte Nullstellen [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] lautet der Ansatz:
[mm]\bruch{Bx+C}{(x-x_{1})(x-x_{2})}[/mm] = [mm] \bruch{Bx+C}{x^2+px+q} [/mm]
Also hier mal die ganze Aufgabe, vielleicht willst du sie zuerst selbst rechnen:
[mm] \integral_{}^{} { \bruch{4x^3-10x^2+6x-4}{(x-1)^2*(x^2+1)} dx[/mm]
1. Nullstellen des Nenners:
1; 1 (doppelt!); +- i
2. Partialbrüche aufstellen:
[mm]\bruch{A}{x-1}[/mm] [mm]\bruch{B}{(x-1)^2}[/mm] [mm] \bruch{Cx+D}{x^2+1}[/mm]
Ansatz für die Partialbruchzerlegung:
[mm]\bruch{4x^3-10x^2+6x-4}{(x-1)^2*(x^2+1)}[/mm] = [mm]\bruch{A}{x-1}[/mm] + [mm]\bruch{B}{(x-1)^2}[/mm] + [mm] \bruch{Cx+D}{x^2+1}[/mm]
auf Hauptnenner gebracht:
[mm]4x^3-10x^2+6x-4[/mm] = [mm] A(x-1)(x^2+1) + Bx(x-1)^2 + C(x-1)^2 + D(x^2+1)[/mm]
3. Koeffizientenvergleich:
Wie Brackhaus schrieb, multipliziert man die rechte Seite aus und sortiert nach Potenzen von x. (Jetzt habe ich allerdings eine andere Reihenfolge der Partialbrüche als im Ausgangsposting gewählt). Wenn ich mich nicht verrechnet habe kommt man auf folgendes Gleichungssystem:
4 = A + C
-10 = -A + B - 2C + D
6 = A + C - 2D
-4 = -A +B + D
ergibt: A = -1, B = -2, C = 5, D = 1.
Damit kennt man dann die Konstanten und kann die einzelnen Partialbrüche integrieren; wobei die Konstanten bei der Integration vor's Integral gezogen werden und damit keine Rolle spielen. Beim Integrieren habe ich dann allerdings noch irgendwo einen Fehler drin, den ich jetzt nicht suchen möchte. Laut Maple sollte
[mm]\bruch{2}{x-1}+\bruch{3}{2}ln(x^2+1)-arctan(x)+ln(x-1)[/mm]
als Endergebnis rauskommen.
Von Brackhaus gibt's noch einen Beitrag zur Partialbruchzerlegung.
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:46 Sa 02.04.2005 | | Autor: | zaaaq |
Hallo Chris,
ein ganz großes Danke an dich. Ich werde die Aufgabe morgen in Angriff nehmen! Wirklich sehr gut und ausführlich erklärt, so mag ich das. Vielen Dank!
grüße zaaaq
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Hi, Chris,
>
> [mm]4x^3-10x^2+6x-4[/mm] = [mm]A(x-1)(x^2+1) + Bx(x-1)^2 + C(x-1)^2 + D(x^2+1)[/mm]
>
> Was ist an diesem Ansatz jetzt falsch? Geht er überhaupt
> nicht? Weil 1 kann man einsetzen, dann kommt man immerhin
> auf D=-2; aber sonst kriegt man wenigstens auf die Weise
> keine weiteren Koeffizienten für die Partialbrüche heraus.
Brackhaus hat ja richtig geschrieben: "Koeffizientenvergleich geht immer".
Dauert halt etwas (weil Du die rechte Seite erst umformen musst) und gibt - wie Du siehst - ein Gleichungssystem mit (hier) 4 Unbekannten.
Bei sowas verrechne ich mich immer.
Nun hattest Du ja schon begonnen mit dem Einsetzen von Zahlen für x.
Erst mal: Worauf beruht das?
Nun, ganz einfach darauf, dass die von Dir zuletzt aufgeschriebene Gleichung mit den Unbekannten A, B, C und D
FÜR ALLE x [mm] \in [/mm] R GILT.
(Das ist übrigens bei der Bruchgleichung am Anfang nicht der Fall; doch dies nur nebenbei!)
Jetzt aber zur Durchführung:
Wenn's für alle x gilt, dann kann man sich auch 4 beliebige (!!) raussuchen!
Natürlich solche, bei denen sich die 4 Konstanten möglichst zügig berechnen lassen!
x=1 hattest Du schon; daraus ergab sich D=-2.
Als nächstes würd' ich x=0 einsetzen, dann x=-1 und vielleicht x=2.
(Aber wie gesagt: beliebige x; d.h. Du kannst auch andere nehmen! Das ändert an der Lösung nichts!)
Dass Du auch hier ein Gleichungssystem bekommst, ist nicht zu umgehen; jedoch hast Du nur 3 Unbekannte und musst vor allem die rechte Seite nicht vorher ausmultiplizieren und umordnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:09 Do 31.03.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Zwerglein,
das ist halt Geschmacksache, ich habe halt festgestellt, dass viele Leute immer nur die Nennernullstellen einsetzen, weil man damit entsprechende Rechenvorteile haben und dann bei mehrfachen Nullstellen ins Schwitzen kommen, weil ihnen nicht klar ist, dass man tatsächlich, weil die Gleichung ja immer gelten soll, beliebige Zahlen einsetzen könnte - und auch muss, damit man entsprechend viele Bedingungen hat. Und wenn es sich nicht um die Nennernullstellen handelt, sondern um andere (wenn auch günstige Werte) führt es halt immernoch zu einem Gleichungssystem, bei deinen Vorschlägen wüßte man halt $D=-2$ sofort. Hätte aber noch:
$-4=-A+C+D [mm] \gdw [/mm] -2=-A+C$
$-24=-4A-4B+4C+4D [mm] \gdw [/mm] -16=-4A-4B+4C$
$0=5A+2B+C+5D [mm] \gdw [/mm] 10=5A+2B+C$
Also auch noch ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten. Ich sehe es halt so, irgendwann kann man halt Gleichungssysteme lösen oder benutzt dazu halt ein CAS.
Außerdem glaube ich, dass die meisten Leute halt nicht wissen, warum es reicht zu zeigen, dass die beiden Polynome an $n+1$ Stellen übereinstimmen.
Gruß Brackhaus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:01 Do 31.03.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Brackhaus,
hast natürlich Recht, dass der Koeffizientenvergleich die "mathematisch sauberere" Lösungsmethode ist. Ich bin sogar der Meinung, dass man diese den Schülern als erstes beibringen sollte und erst wenn sie dieses Verfahren beherrschen (sie müssen's ja auch bei anderen Aufgabentypen verwenden können!), erst dann den "tollen Trick" mit dem Einsetzen von beliebigen x-Werten.
Aber dies darf logischer Weise nicht geschehen ohne auf den Hintergrund und die "Problematik" (Einsetzen von Definitionslücken der Ausgangsgleichung!) hinzuweisen!
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