Partialbruchzerlegung? < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Mi 26.08.2009 | | Autor: | uecki |
Hallo,
also ich habe hier einen Bruch den ich integrieren muss:
[mm] \bruch{4*x}{(2*x+1)^2}
[/mm]
Um den Bruch einfach integrieren zu können muss man ja Partialbruchzerlegung machen. Und der erste Schritt in diesem Falle hier wäre ja, dass ich die Nullstellen des Nennerpolynoms ausrechne. Die Nullstellen sind: [mm] x_{1,2}= [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Dann stelle ich die Gleichung auf:
[mm] \bruch{4*x}{(2*x+1)^2} [/mm] = [mm] \bruch{a}{(x+\bruch{1}{2})} [/mm] + [mm] \bruch{b}{(x+\bruch{1}{2})^2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 4*x = [mm] a*(x+\bruch{1}{2})^2 [/mm] + [mm] b*(x+\bruch{1}{2})
[/mm]
Dann setzt man die Nullstellen für x ein. Allerdings würden dann hier a und b =0 werden. Also wo ist mein Fehler ???
Oder gibt es auch noch andere Tipps solch einen Bruch wie ganz oben zu integrieren?
Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen kann!
Danke schon mal!
LG
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> Hallo,
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> also ich habe hier einen Bruch den ich integrieren muss:
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> [mm]\bruch{4*x}{(2*x+1)^2}[/mm]
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> Um den Bruch einfach integrieren zu können muss man ja
> Partialbruchzerlegung machen. Und der erste Schritt in
> diesem Falle hier wäre ja, dass ich die Nullstellen des
> Nennerpolynoms ausrechne. Die Nullstellen sind: [mm]x_{1,2}=[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> Dann stelle ich die Gleichung auf:
>
> [mm]\bruch{4*x}{(2*x+1)^2}[/mm] = [mm]\bruch{a}{(x+\bruch{1}{2})}[/mm] +
> [mm]\bruch{b}{(x+\bruch{1}{2})^2}[/mm]
>
hier würde ich auf der rechten seite die nenner als (2x+1) lassen.. da musst du dann einerseits keinen faktor rausziehen was du sicher vergessen hast, und andererseits liegt es zum integrieren später auch in einer "schöneren" form vor.
> [mm]\Rightarrow[/mm] 4*x = [mm]a*(x+\bruch{1}{2})^2[/mm] +
> [mm]b*(x+\bruch{1}{2})[/mm]
>
wenn du obigen "tipp" befolgt hast, merkst du, dass du hier beim ausmultiplizieren auch nen fehler gemacht hast. von dem fehlenden faktor ganz zu schweigen, denn [mm] (2x+1)^2\not=(x+1/2)^2
[/mm]
> Dann setzt man die Nullstellen für x ein. Allerdings
> würden dann hier a und b =0 werden. Also wo ist mein
> Fehler ???
> Oder gibt es auch noch andere Tipps solch einen Bruch wie
> ganz oben zu integrieren?
>
> Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen kann!
> Danke schon mal!
> LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 Mi 26.08.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo,
einfacher geht das sicher mit der Substitution z:=2x+1
Lg
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 Mi 26.08.2009 | | Autor: | fencheltee |
> Hallo,
>
> einfacher geht das sicher mit der Substitution z:=2x+1
>
>
> Lg
> Herby
dann bleibt das x im zähler, oder ist die substitution auf die pbz bezogen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 Mi 26.08.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > einfacher geht das sicher mit der Substitution z:=2x+1
> >
> >
> > Lg
> > Herby
> dann bleibt das x im zähler, oder ist die substitution auf
> die pbz bezogen?
nein, denn du kannst ja aus z=2x+1 => [mm] x=\bruch{z-1}{2} [/mm] machen und dann im Zähler einsetzen. Musst nur nachher auf die ganzen Minusse aufpassen 
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Mi 26.08.2009 | | Autor: | uecki |
Hallo ihr Beiden ;)
Könntet ihr mir vielleicht mal sagen, wie ihr das mit der Substitution meint?
LG
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Hallo uecki,
du hast [mm] $\int{\frac{4x}{(2x+1)^2} \ dx}$ [/mm] zu lösen.
Nun die vorgeschlagene Substitution [mm] $\red{z}=z(x)\red{:=2x+1}$, [/mm] also [mm] $\green{x=\frac{z-1}{2}}$
[/mm]
Damit ist [mm] $z'(x)=\frac{dz}{dx}=2$, [/mm] also [mm] $\blue{dx=\frac{dz}{2}}$
[/mm]
Alles ersetzen:
[mm] $\int{\frac{4\green{x}}{(\red{2x+1})^2} \ \blue{dx}}=\int{\frac{4\left(\green{\frac{z-1}{2}}\right)}{\red{z}^2} \ \blue{\frac{dz}{2}}}$
[/mm]
[mm] $=\int{\frac{z-1}{z^2} \ dz}$
[/mm]
Und das ist nun ja elementar kaputtzukriegen (Aufspalten in die Summe zweier Stammintegrale)
Am Ende das Resubstituieren aber nicht vergessen
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Mi 26.08.2009 | | Autor: | uecki |
Ah Ok. Ich verstehe
Allerdings komme ich hier an einer Stelle wieder nicht weiter.
Anknüpfend an das was schachuzipus geschrieben hat habe ich hier folgendes stehen:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{z}{z^2} - \bruch{1}{z^2} dz}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{z} - \bruch{1}{z^2} dz} [/mm] = ln(z) - [mm] ln(z^2) [/mm]
Hab zwar noch nicht Rücksubstituiert, aber sehe schon, dass das die falsche Lösung ist bzw. teilweise falsch. ln(z) stimmt aber nicht das [mm] ln(z^2)....Seht [/mm] ihr meinen Fehler?
LG und vielen Dank!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Mi 26.08.2009 | | Autor: | uecki |
Oh man^^ Bin wohl nicht bei der Sache...
Vielen Dank
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
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