www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFunktionenPartialbruchzerlegung
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Funktionen" - Partialbruchzerlegung
Partialbruchzerlegung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Partialbruchzerlegung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:37 Mo 23.11.2009
Autor: peeetaaa

Aufgabe
Berechnen Sie die Partialbruchzerlegung von
[mm] \bruch{z^3}{z^2+2z+1} [/mm]

Hallo zusammen,

muss diese Aufgabe lösen aber hab noch nie mit dieser Partialbruchzerlegung gearbeitet und jetzt wollte ich fragen ob ich das bis hierhin richtig gemacht hab und wie ich weiter machen kann:

[mm] \bruch{z^3}{z^2+2z+1} [/mm]

[mm] z^2+2z+1/ z^3\ [/mm] z-2
                   [mm] z^3+2z^2+z [/mm]
                          [mm] -2z^2-z [/mm]
                          [mm] -2z^2-4z-2 [/mm]
                                     3z+2

-> [mm] \bruch{z^3}{z^2+2z+1} [/mm] = z-1+ [mm] \bruch{3z+2}{z^2+2z+1} [/mm]

[mm] z^2+z-2 [/mm]
mit pq-formel:
[mm] -\bruch{1}{2} \pm \wurzel{2.25} [/mm]
[mm] x_1= [/mm] 1 [mm] x_2= [/mm] -2
Dh. [mm] x_1,_2 [/mm] sind Nullstellen des Nennerpolynoms

-> [mm] \bruch{3z+2}{z^2+2z+1} [/mm] = [mm] \bruch{a_1}{(z-1)} [/mm] + [mm] \bruch{a_2}{(z+2)} [/mm]

okay ist das bis hierhin richtig?
aber was mach ich jetzt?

danke schonmal

        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:52 Mo 23.11.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Peter,

> Berechnen Sie die Partialbruchzerlegung von
>  [mm]\bruch{z^3}{z^2+2z+1}[/mm]
>  Hallo zusammen,
>  
> muss diese Aufgabe lösen aber hab noch nie mit dieser
> Partialbruchzerlegung gearbeitet und jetzt wollte ich
> fragen ob ich das bis hierhin richtig gemacht hab und wie
> ich weiter machen kann:
>  
> [mm]\bruch{z^3}{z^2+2z+1}[/mm]
>  
> [mm]z^2+2z+1/ z^3\[/mm] z-2

Was steht denn da?

Du musst doch für die Polynomdivision [mm] $z^3:(z^2+2z+1)$ [/mm] rechnen ...

>                     [mm]z^3+2z^2+z[/mm]
>                            [mm]-2z^2-z[/mm]
>                            [mm]-2z^2-4z-2[/mm]
>                                       3z+2
>  
> -> [mm]\bruch{z^3}{z^2+2z+1}[/mm] = z-1+ [mm]\bruch{3z+2}{z^2+2z+1}[/mm]

Ich kann zwar deine Rechnung nicht so ganz nachvollziehen (vllt. weil es so unübersichtlich ist. Der Anfang ist zumindest falsch aufgeschrieben)

Das Ergebnis stimmt aber fast.

Richtig ist [mm] $z^3:(z^2+2z+1)=z-\red{2}+\frac{3z+2}{z^2+2z+1}$ [/mm]

Oben ist im Ansatz noch eine 2 zu erkennen ... verschrieben?


>  
> [mm]z^2+z-2[/mm]

Wo kommt dieser Ausdruck her?

>  mit pq-formel:
>  [mm]-\bruch{1}{2} \pm \wurzel{2.25}[/mm]
>  [mm]x_1=[/mm] 1 [mm]x_2=[/mm] -2
>  Dh. [mm]x_1,_2[/mm] sind Nullstellen des Nennerpolynoms


Was machst du denn da? Dass in [mm] $z^2+2z+1$ [/mm] die 1. binom. Formel steckt, solltest du aber unbedingt erkennen!

>  
> -> [mm]\bruch{3z+2}{z^2+2z+1}[/mm] = [mm]\bruch{a_1}{(z-1)}[/mm] +
> [mm]\bruch{a_2}{(z+2)}[/mm]
>  
> okay ist das bis hierhin richtig?
>  aber was mach ich jetzt?

Nun, du hattest richtig angefangen und berechnet [mm] $\frac{z^3}{z^2+2z+1}=z-2+\frac{3z+2}{z^2+2z+1}$ [/mm]

Nun musst du für den verbleibenden Bruch eine PBZ machen:

Ansatz: [mm] $\frac{3z+2}{z^2+2z+1}=\frac{3z+2}{(z+1)^2}=\frac{A}{z+1}+\frac{B}{(z+1)^2}$ [/mm] wegen der doppelten reellen NST ...

Das rechne nun aus ...

>  
> danke schonmal


Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:32 Di 24.11.2009
Autor: peeetaaa

Hey danke schonmal für die Antwort,
aber hab trotzdem noch ne Frage

also du hast geschrieben:

[mm] \frac{3z+2}{z^2+2z+1}=\frac{3z+2}{(z+1)^2}=\frac{A}{z+1}+\frac{B}{(z+1)^2} [/mm]

ist das richtig, das beim bruch unter B  dann [mm] (z+1)^2 [/mm] steht?
muss da nicht einfach nur (z+1) stehen?

Bezug
                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:36 Di 24.11.2009
Autor: fred97


> Hey danke schonmal für die Antwort,
>  aber hab trotzdem noch ne Frage
>  
> also du hast geschrieben:
>  
> [mm]\frac{3z+2}{z^2+2z+1}=\frac{3z+2}{(z+1)^2}=\frac{A}{z+1}+\frac{B}{(z+1)^2}[/mm]
>
> ist das richtig, das beim bruch unter B  dann [mm](z+1)^2[/mm]
> steht?


Ja

>  muss da nicht einfach nur (z+1) stehen?

Nein. $z=-1$ ist eine doppelte Nullstelle des Nenners

FRED

Bezug
                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:13 Di 24.11.2009
Autor: peeetaaa

So okay ich hab das ganze jetzt ab der stelle mal durchgerechnet aber da gibt es ein problem:

also aber der stelle:
[mm] \frac{3z+2}{z^2+2z+1}=\frac{3z+2}{(z+1)^2}=\frac{A}{z+1}+\frac{B}{(z+1)^2} [/mm]

[mm] =\frac{A}{z+1}+\frac{B}{(z+1)^2} [/mm]
[mm] =\frac{a(z+1)^2 +b(z+1)}{(z+1)(z+1)^2} [/mm]
= [mm] \frac{az^2+2az+a+bz+b}{(z+1)(z+1)^2} [/mm]
= [mm] \frac{az^2+(2a+b)z+(a+b)}{(z+1)^3} [/mm]

daraus muss man ein lineares Sytem von 3 gleichungen lösen:
a=0 weil es kein [mm] z^2 [/mm] beim rest von (3z+2) gibt
2a+b=3 also b=3
a+b=2 also b=2

hab ich da iwas falsch gemacht?



Bezug
                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:21 Di 24.11.2009
Autor: fred97


> So okay ich hab das ganze jetzt ab der stelle mal
> durchgerechnet aber da gibt es ein problem:
>  
> also aber der stelle:
>  
> [mm]\frac{3z+2}{z^2+2z+1}=\frac{3z+2}{(z+1)^2}=\frac{A}{z+1}+\frac{B}{(z+1)^2}[/mm]
>  
> [mm]=\frac{A}{z+1}+\frac{B}{(z+1)^2}[/mm]
>  [mm]=\frac{a(z+1)^2 +b(z+1)}{(z+1)(z+1)^2}[/mm]
>  =
> [mm]\frac{az^2+2az+a+bz+b}{(z+1)(z+1)^2}[/mm]
>  = [mm]\frac{az^2+(2a+b)z+(a+b)}{(z+1)^3}[/mm]
>  
> daraus muss man ein lineares Sytem von 3 gleichungen
> lösen:
>  a=0 weil es kein [mm]z^2[/mm] beim rest von (3z+2) gibt
>  2a+b=3 also b=3
>  a+b=2 also b=2
>  
> hab ich da iwas falsch gemacht?
>  
>  

Du vergleichst Äpfel mit Birnen !  Also [mm] \frac{3z+2}{(z+1)^2} [/mm] mit [mm] \frac{az^2+(2a+b)z+(a+b)}{(z+1)^3} [/mm]

Schau Dir mal die Nenner an , dann siehst Du es.

Es ist [mm] \frac{3z+2}{(z+1)^2}=\frac{A}{z+1}+\frac{B}{(z+1)^2}= \frac{(z+1)A+B}{(z+1)^2} [/mm]

Jetzt mach mal einen ordentlichen Koeffizientenvergleich

FRED



                    

Bezug
                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:25 Di 24.11.2009
Autor: peeetaaa

okay dann ab hier nochmal:
[mm] \frac{3z+2}{(z+1)^2}=\frac{A}{z+1}+\frac{B}{(z+1)^2}= \frac{(z+1)A+B}{(z+1)^2} [/mm]

= [mm] \frac{(z+1)A+B}{(z+1)^2} [/mm]

koeffizientenvergleich:
3z= za -> a=2z

2= a+b -> 2= 2z+b -> b=2-2z

[mm] \frac{z^3}{z^2+2z+1} [/mm] = z-2 + [mm] \frac{2z}{z+1} [/mm] + [mm] \frac{2-2z}{(z+1)^2} [/mm]

ist das jetzt wenigstens richtig?

Bezug
                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:32 Di 24.11.2009
Autor: fred97


> okay dann ab hier nochmal:
>  [mm]\frac{3z+2}{(z+1)^2}=\frac{A}{z+1}+\frac{B}{(z+1)^2}= \frac{(z+1)A+B}{(z+1)^2}[/mm]
>  
> = [mm]\frac{(z+1)A+B}{(z+1)^2}[/mm]
>  
> koeffizientenvergleich:
>  3z= za -> a=2z

>  
> 2= a+b -> 2= 2z+b -> b=2-2z


Was machst Du da für einen Unsinn ? Das da oben ist völliger Quatsch.


Wir haben:

  $ [mm] \frac{3z+2}{(z+1)^2}=\frac{(z+1)A+B}{(z+1)^2}= \bruch{Az+A+B}{(z+1)^2} [/mm] $

Daraus folgt: A= 3 und A+B = 2

FRED

>  
> [mm]\frac{z^3}{z^2+2z+1}[/mm] = z-2 + [mm]\frac{2z}{z+1}[/mm] +
> [mm]\frac{2-2z}{(z+1)^2}[/mm]
>  
> ist das jetzt wenigstens richtig?


Bezug
                                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:05 Di 24.11.2009
Autor: peeetaaa

oh man
also hab ich jetzt am ende da stehen

[mm] \frac{z^3}{z^2+2z+1}= [/mm] z-2+ [mm] \frac{3}{z+1}+\frac{-1}{(z+1)^2} [/mm]

??

Bezug
                                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:22 Di 24.11.2009
Autor: Loddar

Hallo peeetaaa!


[ok] Korrekt.


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:26 Di 24.11.2009
Autor: peeetaaa

wow danke und sorry dass es so lang gedauert hat bis ichs gerafft hab!!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]