Partialbruchzerlegung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 So 02.05.2010 | | Autor: | jan_333 |
| Aufgabe | a) Geben Sie die Partialbruchzerlegung von [mm] \bruch{2x-10}{x^{2}-6x+8} [/mm] und [mm] \bruch{2x-9}{x^{2}-6x+9} [/mm] an.
b) Berechnen Sie mit den Ergebnissen aus a):
[mm] \integral{\bruch{2x-10}{x^{2}-6x+8} dx} [/mm] und [mm] \integral{\bruch{2x-9}{x^{2}-6x+9} dx}. [/mm] |
Hallo,
ich weiß bei dieser Aufgabe nicht genau, wie ich vorgehen soll. Da ich ja die beiden Brüche aus Aufgabe a) und Aufgabe b) intergrieren muss, muss ich ja in Aufgabe a) diese Brüche so weit es geht zerlegen sodass dass das Integrieren dieser Brüche dann keine Probleme mehr darf. Leider weiß ich nicht, wie ich genau vorgehen muss um diese Brüche zu zerlegen. Daher hoffe ich auf Hilfe von euch.
Danke
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Hallo jan_333,
> a) Geben Sie die Partialbruchzerlegung von
> [mm]\bruch{2x-10}{x^{2}-6x+8}[/mm] und [mm]\bruch{2x-9}{x^{2}-6x+9}[/mm] an.
>
> b) Berechnen Sie mit den Ergebnissen aus a):
> [mm]\integral{\bruch{2x-10}{x^{2}-6x+8} dx}[/mm] und
> [mm]\integral{\bruch{2x-9}{x^{2}-6x+9} dx}.[/mm]
> Hallo,
>
> ich weiß bei dieser Aufgabe nicht genau, wie ich vorgehen
> soll. Da ich ja die beiden Brüche aus Aufgabe a) und
> Aufgabe b) intergrieren muss, muss ich ja in Aufgabe a)
> diese Brüche so weit es geht zerlegen sodass dass das
> Integrieren dieser Brüche dann keine Probleme mehr darf.
> Leider weiß ich nicht, wie ich genau vorgehen muss um
> diese Brüche zu zerlegen. Daher hoffe ich auf Hilfe von
> euch.
Du musst die Nenner faktorisieren und dann eine Partialbruchzerlegung machen, dann kannst du die anfangs schwierigen Integrale in eine Summe einfacher Integrale zerlegen.
Dazu bestimme die Nullstellen der Nenner:
a) [mm] $x^2-6x+8=0 \gdw x_1=..., x_2=...$
[/mm]
Dann kannst du schreiben [mm] $x^2-6x+8=(x-x_1)\cdot{}(x-x_2)$
[/mm]
Der Ansatz für die PBZ ist dann [mm] $\frac{2x-10}{x^2-6x+8}=\frac{A}{x-x_1}+\frac{B}{x-x_2}$
[/mm]
Dann $A,B$ berechnen durch Koeffizientenvgl.
Bei (b) analog, nur daran denken, dass bei einer doppelten Nullstelle des Nenners der Ansatz so geht:
[mm] $\frac{\text{Zähler}}{(x-x_0)^2}=\frac{A}{x-x_0}+\frac{B}{(x-x_0)^2}$
[/mm]
Allg. bei k-facher NST: [mm] $\frac{A_1}{x-x_0}+\frac{A_2}{(x-x_0)^2}+\ldots+\frac{A_k}{(x-x_0)^k}$
[/mm]
>
> Danke
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 So 02.05.2010 | | Autor: | jan_333 |
Vielen Dank für die schnelle und ausführliche Anwort.
Leider habe ich noch einige Fragen:
Ich habe jetzt die Nullstellen berechnet: [mm] x_{1}=-2 [/mm] und [mm] x_{2}=-4, [/mm] also habe ich den Ansatz für die PBZ: [mm] \frac{2x-10}{x^2-6x+8}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x+4}.
[/mm]
Jetzt versteh ich leider nicht, wie ich das mit dem Koeffizientenvergleich machen soll.
Leider habe ich auch die Erklärung zu b) nicht verstanden, aber so weit bin ich ja noch nicht.
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> Vielen Dank für die schnelle und ausführliche Anwort.
>
> Leider habe ich noch einige Fragen:
>
> Ich habe jetzt die Nullstellen berechnet: [mm]x_{1}=-2[/mm] und
> [mm]x_{2}=-4,[/mm] also habe ich den Ansatz für die PBZ:
> [mm]\frac{2x-10}{x^2-6x+8}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x+4}.[/mm]
> Jetzt versteh ich leider nicht, wie ich das mit dem
> Koeffizientenvergleich machen soll.
Hallo,
um die Koeffizienten A und B zu bestimmen gehst du wie folgt vor: [mm] \frac{2x-10}{x^2-6x+8}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x+4}
[/mm]
Hauptnenner erzeugen: [mm] \bruch{A*(x+4)}{(x+2)(x+4)} [/mm] + [mm] \bruch{B*(x+2)}{(x+2)(x+4)}
[/mm]
Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen A und B entsprechend bestimmt werden. Koeffizientenvergleich: [mm] x^1: [/mm] 2 = A + B ; [mm] x^0: [/mm] -10 = 4A + 2B
jetzt noch das Gleichungssystem lösen und du hast die Partialbruchzerlegung bestimmt.
Gruss Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 So 02.05.2010 | | Autor: | jan_333 |
Danke für die ausführliche Antwort.
Ich hab immernochnicht verstanden wie man beim Koeffizientenvergleich vorgeht, habe aber einfachmal das Gleichungssystem gelöst und habe A=-7 und B=9 raus.
Also [mm] \bruch{-7*(x+4)}{(x+2)(x+4)}+\bruch{9*(x+2)}{(x+2)(x+4)}=\bruch{9}{x+4}-\bruch{7}{x+2} [/mm] und das sollte ich eigentlich integrieren können.
Stimmt das so?
Ich werde jetzt mal versuchen den zweiten Bruch zu zerlegen.
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Ja das sieht richtig aus.
Wir werden ja bei dem 2.Teil sehen ob du es vlt. doch verstanden hast...
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Hallo,
> Danke für die ausführliche Antwort.
>
> Ich hab immernochnicht verstanden wie man beim
> Koeffizientenvergleich vorgeht, habe aber einfachmal das
> Gleichungssystem gelöst und habe A=-7 und B=9 raus.
>
> Also
> [mm]\bruch{-7*(x+4)}{(x+2)(x+4)}+\bruch{9*(x+2)}{(x+2)(x+4)}=\bruch{9}{x+4}-\bruch{7}{x+2}[/mm]
> und das sollte ich eigentlich integrieren können.
> Stimmt das so?
Nein, im Gegensatz zu metalschulze finde ich, dass das gar nicht gut aussieht.
Mache doch die Probe und mache wieder gleichnamig ...
Wie oben erwähnt, hast du die VZ bei den NSTen falsch!
>
> Ich werde jetzt mal versuchen den zweiten Bruch zu
> zerlegen.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 So 02.05.2010 | | Autor: | jan_333 |
Wenn ich die Probe mache, dann ist der Zähler schon richtig glaube ich, im Nenner ist dann natürlich ein Fehler, wegen dem falschen Vorzeichen. Also müsste die richtige Lösung [mm] \bruch{9}{x-4}-\bruch{7}{x-2} [/mm] sein?
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Welche Ausgangsfunktion stimmt denn nun?
wenn [mm] \bruch{2x - 10}{x^2 - 6x +8} [/mm] dann ist deine Lösung nicht richtig, A = -1 und B = 3
nochmal nachrechnen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 So 02.05.2010 | | Autor: | jan_333 |
Da ich ja den Koeffizientenvergleich nicht verstehe, weiß ich nicht was ich da ändern muss, damit nun A=-1 und B=3 rauskommt.
Die Ausgangsfunktion ist $ [mm] \bruch{2x - 10}{x^2 - 6x +8} [/mm] $, ich hoffe nun sind alle Missverständnisse geklärt, werde in Zukunft besser aufpassen beim abschreiben.
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Hallo nochmal,
> Da ich ja den Koeffizientenvergleich nicht verstehe, weiß
> ich nicht was ich da ändern muss, damit nun A=-1 und B=3
> rauskommt.
>
> Die Ausgangsfunktion ist [mm]\bruch{2x - 10}{x^2 - 6x +8} [/mm], ich
> hoffe nun sind alle Missverständnisse geklärt, werde in
> Zukunft besser aufpassen beim abschreiben.
Das wäre der Sache sehr dienlich 
Nun, es sind die NSTen von [mm] $x^2-6x+8$ [/mm] doch [mm] $x_1=2, x_2=4$
[/mm]
Du kannst also den Nenner schreiben als [mm] $x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$
[/mm]
Damit ergibt sich der Ansatz:
[mm] $\frac{\red{2}x+(\blue{-10})}{x^2-6x+8}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-4}=\frac{A\cdot{}(x-4)+B\cdot{}(x-2)}{(x-2)(x-4)}=\frac{(\red{A+B})\cdot{}x+(\blue{-4A-2B})}{x^2-6x+8}$
[/mm]
Damit ergibt sich der Koeffizientenvgl.
(1) [mm] $\red{A+B=2}$
[/mm]
(2) [mm] $\blue{-10=-4A-2B}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 So 02.05.2010 | | Autor: | jan_333 |
Danke durch dich und Schachzupius habe ich das jetzt einigermaßen verstanden.
Ergebnis ist also [mm] \bruch{3}{x-2}-\bruch{3}{x-4} [/mm] ?
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Hallo Jan,
> Danke durch dich und Schachzupius habe ich das jetzt
> einigermaßen verstanden.
>
> Ergebnis ist also [mm]\bruch{3}{x-2}-\bruch{\red{3}}{x-4}[/mm] ?
Vertippt?
Da muss eine [mm] \red{1} [/mm] hin ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 So 02.05.2010 | | Autor: | jan_333 |
Natürlich vertippt, das wollte ich ja eigentlich in Zukunft vermeiden.
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Tja, die Nullstellen hatte ich nicht nachgerechnet....
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Hallo,
überprüfe deine Nullstellen, die sind falsch!
Es sind $x=2, x=4$ Nullstellen, damit ergibt sich für die rechte Seite der PBZ:
[mm] $\frac{A}{x\red{-}2}+\frac{B}{x\red{-}4}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 So 02.05.2010 | | Autor: | jan_333 |
Hallo,
warum denn 2 und 4? Wenn ich mit der pq-Formel berechne, kommt bei mir x=-2 und x=-4 raus.
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Hallo nochmal,
[mm] $x^2-6x+8=0\gdw x_{1,2}=3\pm\sqrt{9-8}=3\pm [/mm] 1$
Also [mm] $x_1=2, x_2=4$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 So 02.05.2010 | | Autor: | jan_333 |
Danke.
Hatte mich einfach verschrieben und in meiner Gleichung +6x stehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 So 02.05.2010 | | Autor: | jan_333 |
Wenn ich die Nullstellen von [mm] \bruch{2x-9}{x^{2}+6x+9} [/mm] ausrechnen möchte, bekomme ich nur eine Nullstelle raus: x=-3.
Ich habe also [mm] \bruch{2x-9}{x^{2}+6x+9}=\bruch{A}{x+3}+\bruch{B}{x+3}=\bruch{A+B}{x+3}
[/mm]
Was mach ich jetzt?
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Wie Schschuzipus oben schon geschrieben hat, ist im Fall einer n-fachen Nullstelle (hier ist n=2) der Ansatz ein bisschen anders, nämlich [mm] \bruch{A_{1}}{x-x_{1}} [/mm] + [mm] \bruch{A_{2}}{(x-x_{1})^2} [/mm] + ..... + [mm] \bruch{A_{n}}{(x-x_{1})^n}, [/mm]
in deinem Fall also: [mm] \bruch{A_{1}}{x+3} [/mm] + [mm] \bruch{A_{2}}{(x+3)^2}
[/mm]
Gruss Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 So 02.05.2010 | | Autor: | jan_333 |
Danke.
ich hab auch beim zweiten Bruch einen Vorzeichenfehler bei der Nullstelle: x ist also +3!
Muss ich jetzt auch den Hauptnenner bestimmen und anschließend Koeffizientenvergleich machen?
z.B.: [mm] \bruch{A_{1}*(x-3)^{2}}{(x-3)(x-3)^{2}}+\bruch{A_{2}*(x-3)}{(x-3)(x+3)^2} [/mm] und anschließend Koeffizientenvergleich?
Wenn ja, dann weiß ich leider auch hier nicht wie ich den Koeffizientenvergleich machen soll.
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Hallo nochmal,
> Danke.
>
> ich hab auch beim zweiten Bruch einen Vorzeichenfehler bei
> der Nullstelle: x ist also +3!
>
> Muss ich jetzt auch den Hauptnenner bestimmen und
> anschließend Koeffizientenvergleich machen?
Ja, gehen wir also in (b) von [mm] $\bruch{2x-9}{x^{2}+6x+9}$ [/mm] aus:
[mm] $\bruch{2x-9}{x^{2}+6x+9}=\bruch{\red{2}x+\blue{-9}}{(x+3)^2}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{(x+3)^2}=\frac{A\cdot{}(x+3)}{(x+3)^2}+\frac{B}{(x+3)^2}=\frac{\red{A}x+(\blue{3A+B})}{(x+3)^2}$
[/mm]
Koeffizientenvgl:
(1) $A=2$
(2) $3A+B=-9$
Das ist also hier nicht schwierig ...
> z.B.:
> [mm]\bruch{A_{1}*(x-3)^{2}}{(x-3)(x-3)^{2}}+\bruch{A_{2}*(x-3)}{(x-3)(x+3)^2}[/mm]
> und anschließend Koeffizientenvergleich?
>
> Wenn ja, dann weiß ich leider auch hier nicht wie ich den
> Koeffizientenvergleich machen soll.
Das Verfahren allg.: rechterhand (also in der Summe beim PBZ-Ansatz) gleichnamig machen und nach den Potenzen von x sortieren.
Dann mit dem Ausgangsbruch die Koeffizienten der jeweiligen x-Potenzen vergleichen
s.o. zu (b)
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 So 02.05.2010 | | Autor: | jan_333 |
Danke.
Ich konnte deinen Erklärungen jetzt halbwegs folgen und habe B=-15 raus.
Also ist das Ergebnis [mm] \bruch{2}{x+3}-\bruch{15}{(x+3)^{2}} [/mm] ?
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Hallo nochmal,
> Danke.
>
> Ich konnte deinen Erklärungen jetzt halbwegs folgen und
> habe B=-15 raus.
> Also ist das Ergebnis [mm]\bruch{2}{x+3}-\bruch{15}{(x+3)^{2}}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> ?
Ja, nun kannst du integrieren ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 So 02.05.2010 | | Autor: | jan_333 |
Ich weiß dass das für euch echt anstregend sein muss, aber ich habe leider wieder ein Problem. Nämlich mit dem Integrieren:
Ich möchte bei [mm] \bruch{2}{x+3} [/mm] das x aus dem Nenner bekommen, also habe ich [mm] 2(x+3)^{-1}=(2x+6)^{-1}. [/mm] Stimmt das? wenn ja, wie muss ich dann weitermachen? Beim Ableiten würde ich ja die Kettenregel nehmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 So 02.05.2010 | | Autor: | jan_333 |
Danke für die Erklärung. Ich habe jedoch während ich gewartet habe, einfach mal versucht [mm] \bruch{15}{(x+3)^{2}} [/mm] zu integrieren. Dafür habe ich im Buch die Subtitutionsmethode gesehen und die mal ausprobiert, ich hatte dann [mm] 15\integral{z^{-2} dz}=-15z^{-1}=-\bruch{15}{z}. [/mm] Da z=x+3 ist das Ergebnis [mm] -\bruch{15}{x+3}
[/mm]
Dass müsste doch auch für das erste gehen, natürlich nur, wenn ich es auch richtig gemacht habe?
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Hallo nochmal,
> Danke für die Erklärung. Ich habe jedoch während ich
> gewartet habe, einfach mal versucht [mm]\bruch{15}{(x+3)^{2}}[/mm]
> zu integrieren. Dafür habe ich im Buch die
> Subtitutionsmethode gesehen und die mal ausprobiert, ich
> hatte dann [mm]15\integral{z^{-2} dz}=-15z^{-1}=-\bruch{15}{z}.[/mm]
> Da z=x+3 ist das Ergebnis [mm]-\bruch{15}{x+3}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dass müsste doch auch für das erste gehen, natürlich
> nur, wenn ich es auch richtig gemacht habe?
Das hast du hier für [mm] ()^2, [/mm] aber zu den anderen Integralen der Form [mm] $\int{\frac{1}{z} \ dz}$ [/mm] hatte ich schon etwas geschrieben [mm] (\ln...)
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:57 So 02.05.2010 | | Autor: | jan_333 |
Danke.
Ja das hab ich dann gemerkt, dass die Substitutionsmethode nicht für n=-1 geht. Also werde ich das so machen, wie von dir erklärt mit ln(z)
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Hallo,
> Wenn ich die Nullstellen von [mm]\bruch{2x-9}{x^{2}+6x+9}[/mm]
> ausrechnen möchte, bekomme ich nur eine Nullstelle raus:
> x=-3.
Auch hier ist Kuddelmuddel mit den Vorzeichen.
Lautet der Nenner nun [mm] $x^2\red{-}6x+9$ [/mm] wie in der Aufgabenstellung? Dann wäre $x=-3$ tatsächlich doppelte NST
Oder lautet der Nenner wie du hier schreibst [mm] $x^2\red{+}6x+9$
[/mm]
Dann stimmt das so nicht ...
>
> Ich habe also
> [mm]\bruch{2x-9}{x^{2}+6x+9}=\bruch{A}{x+3}+\bruch{B}{x+3}=\bruch{A+B}{x+3}[/mm]
>
> Was mach ich jetzt?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 So 02.05.2010 | | Autor: | jan_333 |
Natürlich hast du Recht. In der Aufgabe steht -6x also ist x=+3. Ich habe den Fehler aber auch schon in meiner Frage korriegiert.
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Stimmt
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
wenn ja, wie muss ich dann weitermachen? Beim Ableiten
