Partialbruchzerlegung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Sa 18.09.2010 | | Autor: | dadario |
Hallo,
ich komme mit der Partialbruchzerlegung immernoch nicht wirklich klar und bräuchte mal noch ein paar tipps wie das richtig funktioniert.
Meine Aufgabe lautet:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{5x+2}{x^2+2x+10} dx}
[/mm]
also ich habe jetzt mal angefangen die nullstellen zu berechnen und komme da auf eine komplexe
x1=-1 +3i x2= -1-3i
wie mache ich jetzt weiter und wie komme ich auf den ansatz??
oder kann ich das polynom faktorisieren?
danke schonmal
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Hallo dadario,
> Hallo,
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> ich komme mit der Partialbruchzerlegung immernoch nicht
> wirklich klar und bräuchte mal noch ein paar tipps wie das
> richtig funktioniert.
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> Meine Aufgabe lautet:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{5x+2}{x^2+2x+10} dx}[/mm]
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> also ich habe jetzt mal angefangen die nullstellen zu
> berechnen und komme da auf eine komplexe
>
> x1=-1 +3i x2= -1-3i
>
>
> wie mache ich jetzt weiter und wie komme ich auf den
> ansatz??
Nun, da der Nenner des Integranden keine reellen Nullstellen hat,
bleibt dieser erstmal so stehen.
Du kannst aber den Integranden in der Form
[mm]{\bruch{5x+2}{x^2+2x+10}=\bruch{\alpha*f'\left(x\right)+\beta}{f\left(x}\right)}[/mm]
schreiben, wobei [mm]f\left(x\right)=x^{2}+2*x+10[/mm] ist
Dann ergibt sich:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{5x+2}{x^2+2x+10} dx}=\alpha*\integral_{}^{}{\bruch{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)} dx}+\beta*\integral_{}^{}{\bruch{1}{f\left(x\right)} dx}[/mm]
>
> oder kann ich das polynom faktorisieren?
>
> danke schonmal
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Sa 18.09.2010 | | Autor: | dadario |
ahsoo
also könnte ich auch als ansatz nehmen
[mm] \bruch{Ax+B}{x^2+2x+5}
[/mm]
und das mit dem integral gleichsetzten und dann durch koeffizienten vergleich A und B ausrechnen und dann das integral lösen?
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Hallo dadario,
> ahsoo
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> also könnte ich auch als ansatz nehmen
>
> [mm]\bruch{Ax+B}{x^2+2x+5}[/mm]
Ist wohl so gemeint:
[mm]\bruch{Ax+B}{x^2+2x+\blue{10}}[/mm]
>
> und das mit dem integral gleichsetzten und dann durch
> koeffizienten vergleich A und B ausrechnen und dann das
> integral lösen?
A und B brauchst Du nicht ausrechnen, die sind vorgegeben.
A=5, B=2
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Sa 18.09.2010 | | Autor: | dadario |
oh man ich steh glaub echt aufm schlauch..
aber wenn ich die denn wieder einsetze bekomm ich doch das gleich wie vorher? aber wie komme ich dann aufs ergebnis?
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Hallo dadario,
> oh man ich steh glaub echt aufm schlauch..
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> aber wenn ich die denn wieder einsetze bekomm ich doch das
> gleich wie vorher? aber wie komme ich dann aufs ergebnis?
Dann eben etwas konkreter:
[mm]\bruch{5x+2}{x^{2}+2x+10}=\bruch{\alpha*\left(x^{2}+2x+10\right)'+\beta}{x^{2}+2x+10}[/mm]
Das heisst, die Koeffizienten [mm]\alpha, \ \beta[/mm] werden
durch Koeffizientenvergleich ermittelt:
[mm]5x+2=\alpha*\left(x^{2}+2x+10\right)'+\beta[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Sa 18.09.2010 | | Autor: | dadario |
ja das weiß ich ,.. aber wieso steht oben dann die absleitung? gibts da irgendwie ne einheitliche form?
ich glaube ich schau mir das morgen nochmals in ruhe an und versuche das zu verstehen..
aber danke schonmal
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Hallo, schauen wir uns zunächst [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] an
[mm] 5x+2=\bruch{5}{2}(2x+2)-3 [/mm] somit ist [mm] \alpha=\bruch{5}{2} [/mm] und [mm] \beta=-3
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{5x+2}{x^{2}+2x+10} dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{\bruch{5}{2}(2x+2)-3}{x^{2}+2x+10} dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{5}{2}\integral_{}^{}{\bruch{2x+2}{x^{2}+2x+10} dx}-3\integral_{}^{}{\bruch{1}{x^{2}+2x+10} dx}
[/mm]
jetzt sind zwei Integrale zu lösen, die wesentlich freundlicher aussehen, beim 1. Integral steht jetzt im Zähler die Ableitung vom Nenner, was ja unser Ziel war, die Lösung führt über "ln", die Lösung vom 2. Integral führt über "arctan"
Steffi
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