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| Aufgabe | Partialbruchzerlegung von:
f(x) = [mm] \bruch{-12x^{2} + 4x - 8}{(x-1)(x^{2}-1)(x^{2}+1)} [/mm] |
Hallo, hab ein leichtes Verständnisproblem bei der Partialbruchzerlegung.
f(x) = [mm] \bruch{-12x^{2} + 4x - 8}{(x-1)(x^{2}-1)(x^{2}+1)}
[/mm]
Ich zerlege erstmal den Nenner so weit als möglich:
[mm] (x-1)(x^{2}-1)(x^{2}+1) [/mm] = [mm] (x-1)(x-1)(x+1)(x^{2}+1) [/mm] = [mm] (x-1)^{2}(x+1)(x^{2}+1)
[/mm]
Also mach ich doch folgendes:
[mm] \bruch{-12x^{2} + 4x - 8}{(x-1)(x^{2}-1)(x^{2}+1)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{(x^{2}-1)} [/mm] + [mm] \bruch{B}{(x-1)} [/mm] + [mm] \bruch{C}{(x+1)} [/mm] + [mm] \bruch{D+Ex}{(x^{2}+1)}
[/mm]
Wie bestimme ich nun die oben aufgeschriebene Form? Der Bruch mit dem Zähler A ist mir klar da ich ja auch im zerlegten Nenner [mm] (x-1)^{2} [/mm] stehen hab. Der Bruch mit B im Nenner ist mir jedoch unklar. Wieso hab ich hier im Nenner (x-1) stehen? Weil der Nenner von A, 2 Nullstellen hat?
Bruch C ist mir auch wieder klar, hier hab ich ja das (x+1) auch im zerlegten Nenner stehen. Weshalb hab ich beim letzten Bruch im Zähler D+Ex stehen? Weil der Nenner vom 2. Grad ist? Aber ist nicht auch der Nenner des ersten Bruchs vom Grad 2?
Bevor ich jetzt weiter rechne möchte ich erstmal das verstehen.
Lg
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> Partialbruchzerlegung von:
> f(x) = [mm]\bruch{-12x^{2} + 4x - 8}{(x-1)(x^{2}-1)(x^{2}+1)}[/mm]
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> Hallo, hab ein leichtes Verständnisproblem bei der
> Partialbruchzerlegung.
> f(x) = [mm]\bruch{-12x^{2} + 4x - 8}{(x-1)(x^{2}-1)(x^{2}+1)}[/mm]
>
> Ich zerlege erstmal den Nenner so weit als möglich:
>
> [mm](x-1)(x^{2}-1)(x^{2}+1)[/mm] = [mm](x-1)(x-1)(x+1)(x^{2}+1)[/mm] =
> [mm](x-1)^{2}(x+1)(x^{2}+1)[/mm]
Das ist schon mal ganz gut.
>
> Also mach ich doch folgendes:
Das ist leider nicht mehr so richtig. Da wäre ja auch deine vorherige Betrachtung sinnlos - du brauchst als Nenner der Teilbrüche die Linearfaktoren, die dir die Nullstellen des Nenners liefern bzw. die noch übrig bleibenden Faktoren ohne Nenner-Nullstelle.
> [mm]\bruch{-12x^{2} + 4x - 8}{(x-1)(x^{2}-1)(x^{2}+1)}[/mm] =
> [mm]\bruch{A}{(x^{2}-1)}[/mm] + [mm]\bruch{B}{(x-1)}[/mm] + [mm]\bruch{C}{(x+1)}[/mm]
> + [mm]\bruch{D+Ex}{(x^{2}+1)}[/mm]
>
Es gibt eigentlich folgende 3 Möglichkeiten (wir bleiben mal im reellen):
1. Du hast eine einfache Nullstelle im Nenner, z.B. hier durch (x+1):
Für jede dieser einfachen NST brauchst du einen Bruch [mm] $\frac{Konstante}{x+1}
[/mm]
2. Du hast eine mehrfache Nullstelle im Nenner, z.B. hier durch [mm] (x-1)^{2}:
[/mm]
Hier brauchst du für jeden dieser Terme ZWEI Brüche, nämlich [mm] $\frac{Konstante}{x-1}$ [/mm] und [mm] $\frac{Konstante}{(x-1)^{2}}.
[/mm]
3. Du hast einen Teil ohne (reelle) Nullstelle, z.B. hier durch [mm] (x^{2} [/mm] + 1):
Hier brauchst du einen Bruch in der Form [mm] $\frac{Konstante1*x+Konstante2}{x^{2} + 1}$
[/mm]
Die Konstanten bezeichnet man dann üblicherweise mit den Großbuchstaben A, B, C usw. Ich finde, dann kann man beim erweitern und zusammenrechnen dieser Teilbrüche einfacher die gesuchten Größen von der Variablen x unterscheiden und dann für den Koeffizientenvergleich einfacher sortieren, aber das ist Geschmackssache.
> Wie bestimme ich nun die oben aufgeschriebene Form? Der
> Bruch mit dem Zähler A ist mir klar da ich ja auch im
> zerlegten Nenner [mm](x-1)^{2}[/mm] stehen hab. Der Bruch mit B im
> Nenner ist mir jedoch unklar. Wieso hab ich hier im Nenner
> (x-1) stehen? Weil der Nenner von A, 2 Nullstellen hat?
> Bruch C ist mir auch wieder klar, hier hab ich ja das
> (x+1) auch im zerlegten Nenner stehen. Weshalb hab ich beim
> letzten Bruch im Zähler D+Ex stehen? Weil der Nenner vom
> 2. Grad ist? Aber ist nicht auch der Nenner des ersten
> Bruchs vom Grad 2?
>
> Bevor ich jetzt weiter rechne möchte ich erstmal das
> verstehen.
>
Die Begründung für die obigen Regeln macht man sich am besten selbst an einfach zu rechnenden Beispielen klar (oder man schaut halt den Beweis nach).
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>
> Lg
>
>
lg weightgainer
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> Es gibt eigentlich folgende 3 Möglichkeiten (wir bleiben
> mal im reellen):
>
> 1. Du hast eine einfache Nullstelle im Nenner, z.B. hier
> durch (x+1):
>
> Für jede dieser einfachen NST brauchst du einen Bruch
> [mm]$\frac{Konstante}{x+1}[/mm]
>
>
> 2. Du hast eine mehrfache Nullstelle im Nenner, z.B. hier
> durch [mm](x-1)^{2}:[/mm]
>
> Hier brauchst du für jeden dieser Terme ZWEI Brüche,
> nämlich [mm]$\frac{Konstante}{x-1}$[/mm] und
> [mm]$\frac{Konstante}{(x-1)^{2}}.[/mm]
>
>
> 3. Du hast einen Teil ohne (reelle) Nullstelle, z.B. hier
> durch [mm](x^{2}[/mm] + 1):
>
> Hier brauchst du einen Bruch in der Form
> [mm]\frac{Konstante1*x+Konstante2}{x^{2} + 1}[/mm]
>
>
Klasse vielen Dank! Das beantwortet schon all meine Fragen.
Hab den Fehler schon entdeckt.
Danke!
Lg
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