Partialbruchzerlegung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 Mi 27.07.2011 | | Autor: | Balsam |
[mm] \integral \bruch{x^4+6x^2-8x+3}{x^3-x^2}
[/mm]
so nun sollen wir diesen Integral bestimmen..
Ich habe polynomdivision etc. alles gemacht und die Nullstellen bestimmt:
[mm] x_1,2= [/mm] 0 ( dpplte Nullstelle) ; [mm] x_3=1
[/mm]
Jetzt bei der Aufstellung für den Koeffizientenverlgleich knirscht es bischen:
A/x + B/ [mm] x^2 [/mm] + C / x-1
wäre doch erst einmal bevor man erweitert hat, richtig oder ?
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Hallo Balsam,
> [mm]\integral \bruch{x^4+6x^2-8x+3}{x^3-x^2}[/mm]
>
> so nun sollen wir diesen Integral bestimmen..
>
> Ich habe polynomdivision etc. alles gemacht und die
> Nullstellen bestimmt:
>
> [mm]x_{1,2}=[/mm] 0 ( dopplte Nullstelle) ; [mm]x_3=1[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt bei der Aufstellung für den Koeffizientenverlgleich knirscht es bischen:
>
> A/x + B/ [mm]x^2[/mm] + C / x-1
Genau, der Ansatz lautet:
EDIT: Zuerst muss man Polynomdivision machen und dann mit dem Rest diesen Ansatz wählen.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Mi 27.07.2011 | | Autor: | Carlo |
Ich rechne grade auch ähnliche Aufgaben, meine Frage ist:
> > Jetzt bei der Aufstellung für den
> Koeffizientenverlgleich knirscht es bischen:
> >
> > A/x + B/ [mm]x^2[/mm] + C / x-1
> Genau, der Ansatz lautet:
>
> [mm]\bruch{x^4+6x^2-8x+3}{x^3-x^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-1}[/mm]
>
Wieso muss man einmal [mm] \bruch{A}{x} [/mm] und dann plus [mm] \bruch{B}{x^2}
[/mm]
rechnen ? Dann hätte man doch drei Nullstellen ? [mm] x_1=0 [/mm] (x-0) --->x und [mm] x_2_/_3 [/mm] = 0 (x-0)(x-0) ---> [mm] x^2
[/mm]
Dieser Thread hat meine ganze Vorstellung durcheinander gebracht :S
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Moin!
> >
> [mm]\red{\bruch{x^4+6x^2-8x+3}{x^3-x^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-1}}[/mm]
EDIT: Man muss vor Anwendung des Ansatzes erst Polynomdivision auf der linken Seite machen. Sorry, ich hab mir den Zähler nicht angeguckt.
> >
>
>
> Wieso muss man einmal [mm]\bruch{A}{x}[/mm] und dann plus
> [mm]\bruch{B}{x^2}[/mm] rechnen ? Dann hätte man doch drei Nullstellen ? [mm]x_1=0[/mm]
> (x-0) --->x und [mm]x_2_/_3[/mm] = 0 (x-0)(x-0) ---> [mm]x^2[/mm]
Die Nullstellen und ihre Vielfachheiten hat Balsam doch schon richtig berechnet. Warum sollte die Nullstelle 0 auf einmal algebraische Vielfachheit 3 haben?
Warum man diesen Ansatz bei Nullstellen mit algebraischer Vielfachheit >1 macht, kannst du z. B. ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen. Ihr habt es sicherlich auch einmal in einer Vorlesung behandelt.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:43 Mi 27.07.2011 | | Autor: | Balsam |
Ich habe noch eine Frage :
[mm] \bruch{Ax^3-Ax^2+Bx^2-Bx+Cx^3}{x^3-x^2}
[/mm]
jetzt muss ich das ja für den Koeffizientenvergleich auf die Form:
[mm] 7x^2-8x+3 [/mm] bringen , wie mache ich das jedoch mit den ganzen [mm] x^3 [/mm] ?
Ich weiß nicht so recht wie ich das umformen soll ..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:47 Do 28.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast falsch auf den hauptnenner gebracht! richtig ergibt sich [mm] Ax^2+Ax+Bx-B+Cx^2 [/mm] als zähler. dann Koeffizientenvergleich.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:28 Do 28.07.2011 | | Autor: | Carlo |
Was ist eigentlich, wenn ich sowas hier habe:
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{4x+5}{x^2+2x+2} dx}
[/mm]
---> keine reellen Nullstellen
Also müsste doch mein Ansatz iwas mit [mm] \bruch{Bx+C}{x^2+2x+2} [/mm] sein oder ???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:13 Do 28.07.2011 | | Autor: | Carlo |
B= 4 und C= 5
Es gilt doch:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{Ax+B}{x^2+px+q}dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] A [mm] ln|q+px+x^2| [/mm] +c oder ?
Ich bekomme:
[mm] =2ln(2+2x+x^2)+c [/mm] heraus, ist das korrekt ?
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> B= 4 und C= 5
>
> Es gilt doch:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{Ax+B}{x^2+px+q}dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] A [mm]ln|q+px+x^2|[/mm] +c oder ?
Hallo,
wie hast Du das berechnet?
Ob's stimmt, kannst Du doch durch Ableiten prüfen.
Ergebnis?
>
>
> Ich bekomme:
>
>
> [mm]=2ln(2+2x+x^2)+c[/mm] heraus, ist das korrekt ?
Nein. Prüf's durch Ableiten.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:23 Do 28.07.2011 | | Autor: | Carlo |
>
> > B= 4 und C= 5
> >
> > Es gilt doch:
> >
> > [mm]\integral_{}^{}{\bruch{Ax+B}{x^2+px+q}dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] A
> [mm]ln|q+px+x^2|[/mm] +c oder ?
>
> Hallo,
>
> wie hast Du das berechnet?
> Ob's stimmt, kannst Du doch durch Ableiten prüfen.
> Ergebnis?
>
> >
> >
> > Ich bekomme:
> >
> >
> > [mm]=2ln(2+2x+x^2)+c[/mm] heraus, ist das korrekt ?
>
> Nein. Prüf's durch Ableiten.
>
> Gruß v. Angela
>
Ich habe ganz normal integriert und kam dann auf die obige Normalform, habe dann letzendlich die Zahlen eingesetzt ---> A= 4, B=5, p=2, q=2... und dann bekomme ich immernoch als Ergebnis 2ln....
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> >
> > > B= 4 und C= 5
> > >
> > > Es gilt doch:
> > >
> > > [mm]\integral_{}^{}{\bruch{Ax+B}{x^2+px+q}dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] A
> > [mm]ln|q+px+x^2|[/mm] +c oder ?
> >
> > Hallo,
> >
> > wie hast Du das berechnet?
> > Ob's stimmt, kannst Du doch durch Ableiten prüfen.
> > Ergebnis?
> >
> > >
> > >
> > > Ich bekomme:
> > >
> > >
> > > [mm]=2ln(2+2x+x^2)+c[/mm] heraus, ist das korrekt ?
> >
> > Nein. Prüf's durch Ableiten.
> >
> > Gruß v. Angela
> >
>
>
> Ich habe ganz normal integriert
Hallo,
was meinst Du denn mit "ganz normal integriert"?
Du müßtest das mal vormachen, damit man den Fehler in Deinem Tun finden kann.
Denn richtig ist es nicht, wovon Du Dich inzwischen hoffentlich durch Ableiten überzeugt hast.
Mal ein paar Hinweise:
Du weißt sicher aus Schule oder Vorlesung, daß [mm] \integral\bruch{f'(x)}{f(x)}dx= [/mm] ln(f(x))+const.
Wenn Du es nicht weißt, dann überzeuge Dich davon, daß es stimmt und wisse es ab sofort.
Also ist
[mm] \integral{\bruch{2x+p}{x^2+px+q}dx}=ln(x^2+px+q)+const.
[/mm]
So, jetzt lassen wir mal dieses Buchstabengedöns weg und kümmern uns um Deine konkrete Aufgabe
[mm] $\integral_{}^{}{\bruch{4x+5}{x^2+2x+2}dx}$.
[/mm]
Mit dem oben Notierten könnten wir problemlos hinschreiben, was
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{4x+4}{x^2+2x+2}dx}=2*\integral_{}^{}{\bruch{2x+2}{x^2+2x+2}dx} [/mm] ist. Nämlich?
Weil das so ist, kann man [mm] $\integral_{}^{}{\bruch{4x+5}{x^2+2x+2}dx}$ [/mm] schreiben als [mm] $\integral_{}^{}{\bruch{(4x+4)+1}{x^2+2x+2}dx}$.
[/mm]
Wie es nun weitergehen kann, hat Dir einer meiner Vorredner ja schon vorgerechnet.
Manche Standardintegrale muß man halt wissen , hier benötigt man später noch, daß [mm] \integral\bruch{1}{y^2+1}dy=arctan(y)+const.
[/mm]
Rückfragen bitte mit aussagekräftigen Rechnungen!
Gruß v. Angela
> und kam dann auf die obige
> Normalform, habe dann letzendlich die Zahlen eingesetzt
> ---> A= 4, B=5, p=2, q=2... und dann bekomme ich immernoch
> als Ergebnis 2ln....
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Hossa :)
> Was ist eigentlich, wenn ich sowas hier habe:
>
> [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{4x+5}{x^2+2x+2} dx}[/mm]
>
> Also müsste doch mein Ansatz iwas mit
>
> [mm]\bruch{Bx+C}{x^2+2x+2}[/mm] sein oder ???
Stimmt, wie wärs mit B=4 und C=5 :)
Aber das brauchst du gar nicht. Das Integral kann man sofort hinschreiben:
[mm] $\int\frac{4x+5}{x^2+2x+2}\,dx=2\int\frac{2x+2}{x^2+2x+2}\,dx+\int\frac{1}{(x+1)^2+1}\,dx=2\ln(x^2+2x+2)+\arctan(x+1)+C$
[/mm]
Viele Grüße
Hasenfuß
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 02:26 Do 28.07.2011 | | Autor: | Carlo |
Hallooo :)
Wieso bekomme ich was anderes heraus ? :S
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> Hallooo :)
>
> Wieso bekomme ich was anderes heraus ? :S
Hallo,
keine Ahnung.
Herausfinden ann man es nur, wenn man Deinen Rechenweg und Deine Quellen genauer kennt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:24 Do 28.07.2011 | | Autor: | Balsam |
DU hast es doch gar nicht auf die Form 1/x gebracht, wieso kannst du dann einfach :
2x+2 / [mm] x^2 [/mm] + 2x +2 integrieren und sagen, dass : 2 ln [mm] (x^2 [/mm] + 2x +2) rauskommt ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:38 Do 28.07.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast:
[mm] \int\frac{2x+2}{x^{2}+2x+2}dx
[/mm]
Substituiere nun [mm] u=x^{2}+2x+2, [/mm] dann ergibt sich:
[mm] \frac{du}{dx}=2x+2\Leftrightarrow dx=\frac{du}{2x+2}
[/mm]
Also:
[mm] \int\frac{2x+2}{x^{2}+2x+2}dx
[/mm]
[mm] =\int\frac{2x+2}{u}\cdot\frac{du}{2x+2}
[/mm]
[mm] =\int\frac{1}{u}du
[/mm]
Nun bilde die Stammfunktion und Substituiere rück.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 Do 28.07.2011 | | Autor: | Balsam |
Vielen Dank.
Und wie kommt man auf arctan(x+1)+C ? Da gab es bestimmte regeln, bzw umformungen, die man dann beherrschen muss, gehört das dazu?
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> Vielen Dank.
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> Und wie kommt man auf arctan(x+1)+C ? Da gab es bestimmte
> regeln, bzw umformungen, die man dann beherrschen muss,
> gehört das dazu?
Hallo,
es ist nicht so schlecht, sich alles in einem Thread durchzulesen, wenn man beteiligt ist.
In meiner Antwort, welche sich auf eine Frage von Carlo bezog, erwähnte ich, daß es Standardintegrale gibt, die "man" einfach weiß bzw. lernen muß. Eines davon ist [mm] \integral\bruch{1}{y^2+1}=arctan(y)+const.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:32 Do 28.07.2011 | | Autor: | Carlo |
Alles ist gut! Ich habs verstanden, vielen Dank 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:46 Do 28.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich rechne grade auch ähnliche Aufgaben, meine Frage ist:
>
>
> > > Jetzt bei der Aufstellung für den
> > Koeffizientenverlgleich knirscht es bischen:
> > >
> > > A/x + B/ [mm]x^2[/mm] + C / x-1
> > Genau, der Ansatz lautet:
> >
> >
> [mm]\bruch{x^4+6x^2-8x+3}{x^3-x^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-1}[/mm]
Hat den niemand gesehen, dass obiges nicht der richtige Ansatz ist ?
Zunächst brauchen wir die Darstellung
[mm] \bruch{x^4+6x^2-8x+3}{x^3-x^2}=p(x)+R(x)
[/mm]
wobei p ein Polynom und R eine rationale Funktion mit Zählergrad [mm] \le [/mm] 2 ist. Der Ansatz für R ist dann:
[mm] R(x)=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-1}
[/mm]
FRED
> >
>
>
> Wieso muss man einmal [mm]\bruch{A}{x}[/mm] und dann plus
> [mm]\bruch{B}{x^2}[/mm]
> rechnen ? Dann hätte man doch drei Nullstellen ? [mm]x_1=0[/mm]
> (x-0) --->x und [mm]x_2_/_3[/mm] = 0 (x-0)(x-0) ---> [mm]x^2[/mm]
>
> Dieser Thread hat meine ganze Vorstellung durcheinander
> gebracht :S
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Do 28.07.2011 | | Autor: | Carlo |
Arghhh wieso ist das denn falsch ? :(
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> Arghhh wieso ist das denn falsch ? :(
Hallo,
für die Partialbruchzerlegung muß der Grad des Zählerpolynoms leiner als der des Nennerpolynoms sein.
Ist dies nicht der Fall, macht man zuerst eine Polynomdivison.
Das, was Fred p(x) nennt, ist potteinfach zu integrieren, und für den rest R(x) kommt dann die Partialbruchzerlegung zum Einsatz.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:04 Do 28.07.2011 | | Autor: | Carlo |
Ach stimmt ja, das habe ich gar nicht gesehen :(
Aber ansonsten, ausgenommen, dass der Grad im Zähler kleiner sein muss als im Nenner, ist der Ansatz doch richtig?
Man hat zwei Nullstellen=0 und eine weitere Nullstelle --> 1
also : .....= [mm] \bruch{A}{x} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x^2} [/mm] + [mm] \bruch{C}{x-1}
[/mm]
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