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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:31 Sa 24.03.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo,
Um die Eindeutigkeit der Partialbruchzerlegung zu zeigen, geht man z. B von der Gleichung
(*) [mm] $\bruch [/mm] a x + R(x) = [mm] \bruch [/mm] b x + S(x) $ für [mm] $x\ne [/mm] 0$ aus, wobei $R(x)$ und $S(x)$ rationale Funktionen sind, die bei $0$ keinen Pol haben.
Die Gleichung (*) ist für [mm] $x\ne [/mm] 0$ gleichwertig zu
$a-b = R(x)*x-S(x)*x$.
Jetzt setzt man einfach $x=0$ und erhält $a=b$. Wie kann man das begründen, wo doch (*) nur für [mm] $x\ne [/mm] 0$ definiert ist?
liebe Grüße,
Wolfgang
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:59 Sa 24.03.2012 | | Autor: | Marc |
Hallo Wolfgang,
> Um die Eindeutigkeit der Partialbruchzerlegung zu zeigen,
> geht man z. B von der Gleichung
> (*) [mm]\bruch a x + R(x) = \bruch b x + S(x)[/mm] für [mm]x\ne 0[/mm]
> aus, wobei [mm]R(x)[/mm] und [mm]S(x)[/mm] rationale Funktionen sind, die bei
> [mm]0[/mm] keinen Pol haben.
>
> Die Gleichung (*) ist für [mm]x\ne 0[/mm] gleichwertig zu
> [mm]a-b = R(x)*x-S(x)*x[/mm].
>
> Jetzt setzt man einfach [mm]x=0[/mm] und erhält [mm]a=b[/mm]. Wie kann man
> das begründen, wo doch (*) nur für [mm]x\ne 0[/mm] definiert ist?
Der Term auf der rechten Seite, also $R(x)*x-S(x)*x$, lässt sich stetig in 0 fortsetzen, daher kann dort auch 0 eingesetzt werden.
Oder dasselbe anders ausgedrückt:
[mm] $\lim_{x\to 0} [/mm] R(x)*x-S(x)*x=0$, da $R(x)$ und $S(x)$ in einer Umgebung um 0 beschränkt sind (sie haben ja nach Voraussetzung dort keinen Pol). Nun kann man schreiben
$a-b = R(x)*x-S(x)*x$
[mm] $\Rightarrow$ $\lim_{x\to0} (a-b)=\lim_{x\to0} [/mm] (R(x)*x-S(x)*x)$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $a-b=0$
Viele Grüße
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 Sa 24.03.2012 | | Autor: | Helbig |
Lieber Marc,
vielen Dank für Deine Antwort, die mich völlig überzeugt!
Aber den Eindeutigkeitsbeweis habe ich aus dem Königsberger, Ana 1, Kapitel 4. Konvergenz und Stetigkeit kommt dort erst in Kapitel 5 bzw. Kapitel 7. Gibt es auch eine Begründung ohne Rückgriff auf Konvergenz oder Stetigkeit?
liebe Grüße,
Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:32 Sa 24.03.2012 | | Autor: | fred97 |
Du kannst auch schreiben:
[mm] \bruch{a-b}{x}=S(x)-R(x)
[/mm]
Die rechte Seite ist für x=0 def., die linke Seite aber nur , falls a=b ist.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Sa 24.03.2012 | | Autor: | Helbig |
> Du kannst auch schreiben:
>
> [mm]\bruch{a-b}{x}=S(x)-R(x)[/mm]
>
> Die rechte Seite ist für x=0 def., die linke Seite aber
> nur , falls a=b ist.
Stimmt! Aber warum soll die linke Seite für $x=0$ definiert sein? Ohne Stetigkeit kann ich das nicht nachvollziehen.
Grüße,
Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:54 Sa 24.03.2012 | | Autor: | fred97 |
Machen wir es so:
Du hast die Gleichung
c/x=T(x) für alle x [mm] \ne [/mm] 0, mit eine rationalen Funktion T, die in 0 keinen Pol hat.
Sei T=Z/N mit Polynomen Z und N.
Dann ist also N(0) [mm] \ne [/mm] 0 und
cN(x)-xZ(x)=0 für alle x [mm] \ne [/mm] 0
Wir setzen P(x):=cN(x)-xZ(x). Dann ist P ein Polynom mit unendlich vielen (!) Nullstellen. Somit muß P aber das Nullpolynom sein.
Insbesondere ist dann P(0)=0, also
0=cN(0)-0*Z(0)=cN(0).
Dan N(0) [mm] \ne [/mm] 0 ist, muß c=0 sein.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:22 Sa 24.03.2012 | | Autor: | Helbig |
Diese Antwort kann ich 100 % nachvollziehen! Vielen Dank, Fred!
Inspiriert von Marc ist mir mittlerweile auch eine Antwort eingefallen:
Es ist
[mm] $\left\{\bruch {a-b} x \biggm| x\in U, x\ne 0\right\}=\{S(x)-R(x) \mid x\in U, x\ne 0\}$, [/mm]
wobei $U$ eine Umgebung von $0$ ist, die keine Pole von $S(x)-R(x)$ enthält.
Damit ist die Menge beschränkt. Dies ist aber nur für $a=b$ der Fall.
Vielen Dank an Fred und Marc!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 Sa 24.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Diese Antwort kann ich 100 % nachvollziehen! Vielen Dank,
> Fred!
>
> Inspiriert von Marc ist mir mittlerweile auch eine Antwort
> eingefallen:
> Es ist
>
> [mm]\left\{\bruch {a-b} x \biggm| x\in \IR, x\ne 0\right\}=\{S(x)-R(x) \mid x\in\IR, x\ne 0\}[/mm].
>
> Da die rationalen Funktionen [mm]S(x)[/mm] und [mm]R(x)[/mm] in 0 keinen Pol
> haben, ist die Menge beschränkt.
Das kann man (noch ) nicht sagen ! Solange man (noch) nicht weiß, dass S=R ist, kannst Du nicht sicher sein, dass
[mm] \{S(x)-R(x) \mid x\in\IR, x\ne 0\}
[/mm]
beschränkt ist. Wenn z.B. S in x=1 einen Pol hat und R dort keinen, was dann ?
Marc hat geschrieben: es gibt eine Umgebung U von 0 mit:
[mm] \{S(x)-R(x) \mid x\in U, x\ne 0\}
[/mm]
ist beschränkt . Das reicht aber auch um auf a=b zu schlißen und damit auf S=R.
FRED
> Dies ist aber nur für
> [mm]a=b[/mm] der Fall.
>
> Vielen Dank an Fred und Marc!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:21 Sa 24.03.2012 | | Autor: | Helbig |
> Marc hat geschrieben: es gibt eine Umgebung U von 0 mit:
>
> [mm]\{S(x)-R(x) \mid x\in U, x\ne 0\}[/mm]
>
> ist beschränkt . Das reicht aber auch um auf a=b zu
> schlißen und damit auf S=R.
Einverstanden! Dies ist mir auch durch den Kopf gegangen! Dummerweise erst nachdem ich meine Mitteilung schon weggeschickt hatte. Ich habe sie dann gleich verbessert (V1).
Vielen Dank für den Korrekturhinweis.
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:26 Sa 24.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> Um die Eindeutigkeit der Partialbruchzerlegung zu zeigen,
> geht man z. B von der Gleichung
> (*) [mm]\bruch a x + R(x) = \bruch b x + S(x)[/mm] für [mm]x\ne 0[/mm]
> aus, wobei [mm]R(x)[/mm] und [mm]S(x)[/mm] rationale Funktionen sind, die bei
> [mm]0[/mm] keinen Pol haben.
>
> Die Gleichung (*) ist für [mm]x\ne 0[/mm] gleichwertig zu
> [mm]a-b = R(x)*x-S(x)*x[/mm].
>
> Jetzt setzt man einfach [mm]x=0[/mm] und erhält [mm]a=b[/mm]. Wie kann man
> das begründen, wo doch (*) nur für [mm]x\ne 0[/mm] definiert ist?
Lasse in der Gleichung
a-b = R(x)*x-S(x)*x
x [mm] \to [/mm] 0 gehen. Das geht, weil R und S in 0 keinen Pol haben.
FRED
Gerade sehe ich dass Marc schon geantwortet hat. Pardon.
>
> liebe Grüße,
> Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:31 Sa 24.03.2012 | | Autor: | Helbig |
Vielen Dank, Fred, für Deine elegante Begründung.
Grüße,
Wolfgang
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