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Hallo,
ich habe eine Funktion gegeben, die lautet:
[mm] y=\bruch{3x^{4}+8x^{3}-35x^{2}+47x-8}{(x-1)^{3}*(x+4)}
[/mm]
Ich soll in Partialbrüche zerlegen. Ich habe nun, da Zählergrad gleich Nennergrad, eine Polynomdivision durchgeführt. Anschließend habe ich die Nullstellen des Nenners berechnet. Dort kam heraus, was in der gegebenen Funktion eindeutig sichtbar ist; dreifach 1 und -4. Die Polynomdivision ist zweifelslos notwendig oder? Kann ich mir das Errechnen der Nullstellen sparen, wenn diese in der gegebenen Gleichung ersichtlich sind?
Im Folgenden habe ich mit dem Rest aus der ersten Polynomdivision die Partialbruchzerlegung durchgeführt. Mein Ergebnis stimmt auch. Ich nehme aber dann für die PBZ immer nur den Rest aus der Polynomdivision, das andere was dabei noch heraus kommt interessiert mich nicht oder?
Ich kann es ja mal abtippen:
[mm] \bruch{3x^{4}+8x^{3}-35x^{2}+47x-8}{x^{4}+x^{3}-9x^{2}+11x-4} [/mm] = 3+ [mm] \bruch{5x^{3}-8x^{2}+14x+4}{x^{4}+x^{3}-9x^{2}+11x-4}
[/mm]
In diesem Fall interessiert mich die 3 bei der PBZ nicht oder? Muss ich sie dann trotzdem zum Ergebnis der PBZ mit hinzuschreiben?
Gruß, Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:18 Do 27.12.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo Andreas!
> Hallo,
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> ich habe eine Funktion gegeben, die lautet:
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> [mm]y=\bruch{3x^{4}+8x^{3}-35x^{2}+47x-8}{(x-1)^{3}*(x+4)}[/mm]
>
> Ich soll in Partialbrüche zerlegen. Ich habe nun, da
> Zählergrad gleich Nennergrad, eine Polynomdivision
> durchgeführt. Anschließend habe ich die Nullstellen des
> Nenners berechnet. Dort kam heraus, was in der gegebenen
> Funktion eindeutig sichtbar ist; dreifach 1 und -4. Die
> Polynomdivision ist zweifelslos notwendig oder? Kann ich
> mir das Errechnen der Nullstellen sparen, wenn diese in der
> gegebenen Gleichung ersichtlich sind?
Die Polynomdivision ist notwendig, wenn die Nullstellen (oder besser: Linearfaktoren) des Nenners so offensichtlich sind, brauchst du nichts weiter zu "rechnen" (für die Polynomdivision musst du allerdings erstmal ausmutliplizieren).
> Im Folgenden habe ich mit dem Rest aus der ersten
> Polynomdivision die Partialbruchzerlegung durchgeführt.
> Mein Ergebnis stimmt auch. Ich nehme aber dann für die PBZ
> immer nur den Rest aus der Polynomdivision, das andere was
> dabei noch heraus kommt interessiert mich nicht oder?
>
> Ich kann es ja mal abtippen:
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> [mm]\bruch{3x^{4}+8x^{3}-35x^{2}+47x-8}{x^{4}+x^{3}-9x^{2}+11x-4}[/mm]
> = 3+ [mm]\bruch{5x^{3}-8x^{2}+14x+4}{x^{4}+x^{3}-9x^{2}+11x-4}[/mm]
>
> In diesem Fall interessiert mich die 3 bei der PBZ nicht
> oder? Muss ich sie dann trotzdem zum Ergebnis der PBZ mit
> hinzuschreiben?
Klar musst du die hinschreiben! Du hast ja [mm]\bruch{3x^{4}+8x^{3}-35x^{2}+47x-8}{x^{4}+x^{3}-9x^{2}+11x-4}=3+\bruch{5x^{3}-8x^{2}+14x+4}{x^{4}+x^{3}-9x^{2}+11x-4}=3+\bruch{5x^{3}-8x^{2}+14x+4}{(x-1)^3\cdot (x+4)}[/mm]. Damit die Gleichheitszeichen ihre Gültigkeit behalten musst du die "3+" die ganze Zeit mitnehmen.
Wie läuft's denn mit der PBZ soweit? Du schreibst, du hast sie schon durchgeführt... Schreib doch mal (unabhängig vom Bedarf weiterer Antworten) deine Lösung. Vielleicht hilft das anderen Hilfesuchenden....
Lieben Gruß,
Fulla
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Ich fahre mal mit der Zuordnung der Partialbrüche fort (Schritt nach der Nullstellenbestimmung):
Für die Zuordnung der Partialbrüche benutze ich aber doch nur den Rest (aus der Polynomdivision):
[mm] \bruch{5x^{3}-8x^{2}+14x+4}{(x-1)^{3}*(x+4)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{(x-1)}+\bruch{B}{(x-1)^{2}}+\bruch{C}{(x-1)^{3}}+\bruch{D}{(x+4)}
[/mm]
Wenn ich dort ganz links noch die 3+ hinschreibe und dann mit dem Hauptnenner multipliziere, haut das doch vom Ergebnis her nicht hin oder?
Gruß, Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Do 27.12.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andreas!
> Für die Zuordnung der Partialbrüche benutze ich aber doch
> nur den Rest (aus der Polynomdivision):
Das ist okay.
> [mm]\bruch{5x^{3}-8x^{2}+14x+4}{(x-1)^{3}*(x+4)}[/mm] = [mm]\bruch{A}{(x-1)}+\bruch{B}{(x-1)^{2}}+\bruch{C}{(x-1)^{3}}+\bruch{D}{(x+4)}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn ich dort ganz links noch die 3+ hinschreibe und dann
> mit dem Hauptnenner multipliziere, haut das doch vom
> Ergebnis her nicht hin oder?
Das verstehe ich nicht ganz. Der Vollständigkeit halber könntest Du auf beiden Seiten [mm]3+_[/mm] schreiben.
Aber das speilt für die eigentliche Partialbruchzerlegung des Restbruches keine Rolle.
Als (End-)Ergebnis Deiner Aufgabe sollte dann halt dastehen:
[mm]... \ = \ 3+\bruch{...}{x-1}+\bruch{...}{(x-1)^2}+\bruch{...}{(x-1)^3}+\bruch{...}{x+4}[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:30 Do 27.12.2012 | | Autor: | Mathe-Andi |
Stimmt ja, die "3+" muss auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens stehen. Das ist der Knackpunkt, den ich nicht gesehen habe. Danke!
Gruß, Andreas
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