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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Di 24.07.2007 | | Autor: | Ange1982 |
| Aufgabe | | Man berechne das bestimmte Integral [mm] \integral_{0}^{1}{x^{3}-x^{2}-4x-14 / (x^{2}+2)(x-2)dx} [/mm] durch Darstellung des Integranden als Summe eines Polynoms und einer echt gebrochenen rationalen Funktion und Zerlegung in Partialbrüche. |
Habe als erstes die Polynomdivision durchgeführt -> 1 inklusive Rest.
Rest = [mm] x^{2} [/mm] - 6x - 10 / [mm] x^{3} -2x^{2}+2x-4
[/mm]
So hier nochmal die Nullstellen berechnet. Eine einfache Nullstelle bei 2 und zwei komplexe Nullstellen (aus [mm] x^{2} [/mm] + 2).
Ansatz:
[mm] x^{2}-6x-10 [/mm] / [mm] (x^{2}+2)(x-2) [/mm] = A + Bx / [mm] (x^{2}+2) [/mm] + C / (x-2)
Hab dann für A=2, B=4 und C=-3 raus.
[mm] \integral_{0}^{1}{1 dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}{2/(x^{2}+2) dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}{4x/(x^{2}+2) dx} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{1}{3/(x-2) dx}
[/mm]
So!
Wenn ich das Ganze integriere, dann hab ich da stehen:
[mm] [x+2*ln|x^{2}+2| [/mm] + 4*(1/2 *ln [mm] |x^{2}+2|) [/mm] -3*ln|x-2|] in den Grenzen von 0 bis 1
Wenn ich am Ende für x die 1 einsetze oder 0, das geht ja logischerweise garnicht. ln von -1 bzw. -2 geht nicht.
Wo ich habe ich da evtl. Fehler? Ich finde den Fehler nicht!
Wäre Supi wenn mir jemand sagen könnte was da falsch ist.
Danke im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Man berechne das bestimmte Integral
> [mm]\integral_{0}^{1}{x^{3}-x^{2}-4x-14 / (x^{2}+2)(x-2)dx}[/mm]
> durch Darstellung des Integranden als Summe eines Polynoms
> und einer echt gebrochenen rationalen Funktion und
> Zerlegung in Partialbrüche.
> Habe als erstes die Polynomdivision durchgeführt -> 1
> inklusive Rest.
>
> Rest = [mm]x^{2}[/mm] - 6x - 10 / [mm]x^{3} -2x^{2}+2x-4[/mm]
>
> So hier nochmal die Nullstellen berechnet. Eine einfache
> Nullstelle bei 2 und zwei komplexe Nullstellen (aus [mm]x^{2}[/mm] +
> 2).
>
> Ansatz:
>
> [mm]x^{2}-6x-10[/mm] / [mm](x^{2}+2)(x-2)[/mm] = A + Bx / [mm](x^{2}+2)[/mm] + C /
> (x-2)
>
> Hab dann für A=2, B=4 und C=-3 raus.
>
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{1 dx} + \integral_{0}^{1}{2/(x^{2}+2) dx} + \integral_{0}^{1}{4x/(x^{2}+2) dx} -
\integral_{0}^{1}{3/(x-2) dx}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Also das hier, insbesondere also die Partialbruchzerlegung, scheint richtig zu sein.
Genauer: Dein Ergebnis ist richtig, aber Dein Vorgehen bei der Partialbruchzerlegung scheint nicht ganz koscher zu sein: wenn Du einen irreduziblen quadratisdchen Nenner wie [mm] $x^2+2$ [/mm] hast, dann müsstest Du eigentlich für den Bruch in der Partialbruchzerlegung eine lineare Funktion $Bx+C$ als Ansatz für den Nenner wählen. (Du hattest einfach Glück: $C$ ist hier tatsächlich $0$.)
> So!
>
> Wenn ich das Ganze integriere, dann hab ich da stehen:
>
> [mm][x+2*ln|x^{2}+2|[/mm] + 4*(1/2 *ln [mm]|x^{2}+2|)[/mm] -3*ln|x-2|] in den
> Grenzen von 0 bis 1
>
> Wenn ich am Ende für x die 1 einsetze oder 0, das geht ja
> logischerweise garnicht. ln von -1 bzw. -2 geht nicht.
Gut, aber Du hast ja nicht [mm] $\ln(x-2)$ [/mm] sondern [mm] $\ln \red{|}x-2\red{|}$: [/mm] der Betrag macht den Unterschied.
> Wo ich habe ich da evtl. Fehler? Ich finde den Fehler
> nicht!
Dein Fehler war "nur", das Betragszeichen zu überlesen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Di 24.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ange!
Du machst noch einen Fehler bei einer Teil-Stammfunktion.
Die Stammfunktion zu [mm] $\bruch{1}{x^2+2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{\bruch{x^2}{2}+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{1+\left(\bruch{x}{\wurzel{2}}\right)^2}$ [/mm] lautet nämlich [mm] $\bruch{1}{\wurzel{2}}*\arctan\left(\bruch{x}{\wurzel{2}}\right)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 Di 24.07.2007 | | Autor: | Ange1982 |
Mein Ergebnis stimmt aber mit dem überein das raus kommen soll...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:13 Di 24.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ange!
Wenn Du mit Deiner Stammfunktion für [mm] $\bruch{1}{x^2+2}$ [/mm] das richtige Ergebnis erhältst, kann das nur Zufall sein. Denn [mm] $\ln(x^2+2)$ [/mm] ist definitiv keine Stammfunktion zum. o.g. Term.
Das zeigt auch die Probe mittels Ableitung:
[mm] $\left[ \ \ln(x^2+2) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x^2+2}*2x [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\red{2x}}{x^2+2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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