Partialbruchzerlegung Zähler < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 So 28.09.2014 | | Autor: | gnolli |
| Aufgabe | | Warum darf man nicht den Zähler bei einer Partialbruchzerlegung ausklammern? |
Hallo,
ein Beispiel:
[mm] 2*x/(x^2+1)
[/mm]
Wenn ich davon eine Partialbruchzerlegung mache erhalte ich ein anderes Ergebnis als wenn ich die PBZ von
[mm] 1/(x^2+1) [/mm] bestimme und dann mit 2*x Multipliziere. Kann mir jemand sagen warum das nicht funktioniert eigentlich klammere ich nur etwas aus und schreibe dann [mm] 1/(x^2+1) [/mm] anders
Ich hoffe das passt in das Thema. Schöne Grüße
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Hallo,
> Warum darf man nicht den Zähler bei einer
> Partialbruchzerlegung ausklammern?
> Hallo,
> ein Beispiel:
> [mm]2*x/(x^2+1)[/mm]
> Wenn ich davon eine Partialbruchzerlegung mache erhalte ich
> ein anderes Ergebnis als wenn ich die PBZ von
> [mm]1/(x^2+1)[/mm] bestimme und dann mit 2*x Multipliziere.
Ich gehe davon aus, dass du die komplexe Partialbruchzerlegung meinst?
Denn die reelle Partialbruchzerlegung von [mm] $\frac{2x}{x^2+1}$ [/mm] ist ja der Bruch selbst, da muss man nichts mehr machen.
Nun ist es natürlich so, dass bei beiden Varianten, die du vorschlägst, dasselbe herauskommen sollte.
Da wir nicht sehen können, wie du gerechnet hast, können wir dir aber nicht sagen, wo dein Fehler liegt.
Ich kann dir eine PBZ vormachen und du schreibst dann die andere hin (vorausgesetzt, du hast nicht schon bei der ersten etwas anderes raus als ich):
[mm] $x^2+1 [/mm] = (x-i)*(x+i)$,
d.h. wir wollen
[mm] $\frac{2x}{x^2+1} [/mm] = [mm] \frac{A}{x-i} [/mm] + [mm] \frac{B}{x+i}$.
[/mm]
Multiplikation mit $(x-i)*(x+i) = [mm] x^2 [/mm] + 1$ ergibt:
$2x = A(x+i) + B(x-i) = x*(A+B) + i*(A-B)$.
Koeffizientenvergleich ergibt: $A+B = 2, A-B = 0$, also $A = B = 1$. Damit
[mm] $\frac{2x}{x^2+1} [/mm] = [mm] \frac{1}{x-i} [/mm] + [mm] \frac{1}{x+i}$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 So 28.09.2014 | | Autor: | gnolli |
Hallo, vielen Dank für deine Antwort. Ich meine natürlich die Komplexe PBZ.
Die erste Variante habe ich genau wie du gerechnet. Nun bei der zweiten:
[mm] 2*x/(1+x^2)
[/mm]
Betrachte nun also die PBZ von [mm] 1/1+x^2
[/mm]
[mm] 1/1+x^2 [/mm] = A/(x+i) + B(x-i)
Multiplikation mit dem Nenner ergibt:
1 = A(x-i) +B(x+i)
umgeformt:
1=x(A+B) -Ai + Bi
nun erhalte ich durch Koeffizientenvergleich A = -1/2i, B=1/2i
Insgesamt steht dann also
2x*((-1/2i/(x+i) + (1/2i)/(x-i))
= (-x/i)/(x+i) + (x/i)/(x-i))
und das ist nicht das Gleiche wie 1/(x-i) + 1/(x+i)
oder habe ich mich irgendwo verrechnet?
Tut mir leid dass das vielleicht unübersichtlich erscheind, warum wird bei mir kein Bruch gemacht wenn ich / schreibe?
Nochmal danke für die Antwort und schöne Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 So 28.09.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Hallo, vielen Dank für deine Antwort. Ich meine natürlich
> die Komplexe PBZ.
> Die erste Variante habe ich genau wie du gerechnet. Nun
> bei der zweiten:
>
> [mm]2*x/(1+x^2)[/mm]
>
> Betrachte nun also die PBZ von [mm]1/1+x^2[/mm]
>
> [mm]1/1+x^2[/mm] = A/(x+i) + B(x-i)
>
> Multiplikation mit dem Nenner ergibt:
>
> 1 = A(x-i) +B(x+i)
>
> umgeformt:
>
> 1=x(A+B) -Ai + Bi
>
> nun erhalte ich durch Koeffizientenvergleich A = -1/2i,
> B=1/2i
> Insgesamt steht dann also
> 2x*((-1/2i/(x+i) + (1/2i)/(x-i))
>
> = (-x/i)/(x+i) + (x/i)/(x-i))
> und das ist nicht das Gleiche wie 1/(x-i) + 1/(x+i)
> oder habe ich mich irgendwo verrechnet?
Nein das ist schon OK. Siehe dazu auch meine Antwort auf dein Initialposting. Beide Ergebnisse sind gültige Zerlegungen deines Bruchterms. Bei deiner zweiten Variante sind aller Zähler- und Nennerpolynom vom gleichen Grad!
> Tut mir leid dass das vielleicht unübersichtlich
> erscheind, warum wird bei mir kein Bruch gemacht wenn ich /
> schreibe?
Du musst von der hier angebotenen Tex-Formelsatzmöglichkeit Gebrauch machen. Du findest unter dem Fenster, in dem du deinen Text schreibst eine Kurzhilfe mit Link auf eine ausführlichere Hilfe dazu.
> Nochmal danke für die Antwort und schöne Grüße
>
Gruß RMix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 So 28.09.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Warum darf man nicht den Zähler bei einer
> Partialbruchzerlegung ausklammern?
> Hallo,
> ein Beispiel:
> [mm]2*x/(x^2+1)[/mm]
>
> Wenn ich davon eine Partialbruchzerlegung mache erhalte ich
> ein anderes Ergebnis als wenn ich die PBZ von
> [mm]1/(x^2+1)[/mm] bestimme und dann mit 2*x Multipliziere. Kann mir
> jemand sagen warum das nicht funktioniert eigentlich
> klammere ich nur etwas aus und schreibe dann [mm]1/(x^2+1)[/mm]
> anders
> Ich hoffe das passt in das Thema. Schöne Grüße
>
Hallo knolli,
entweder du hast dich bei der komplexen PBZ irgendwo verrechnet oder dich irritiert, dass
[mm] $\br{2x}{x^2+1}=\br{1}{x-i}+\br{1}{x+i}$
[/mm]
aber
[mm] $\br{2}{x^2+1}=\br{-i}{x-i}+\br{i}{x+i}$
[/mm]
und somit
[mm] $x*\br{2}{x^2+1}=\br{-ix}{x-i}+\br{ix}{x+i}$
[/mm]
ist?
Bei der PBZ geht es u.a. darum, den Bruchterm als Summe von Bruchtermen darzustellen, bei denen der Grad des Zählerpolynoms echt kleiner als jener des Zählerpolynoms ist. Das ist im letzten Ausdruck noch nicht der Fall und daher müsste man noch entsprechend umformen um dann sehr wohl auf die gleiche Zerlegung wie in der ersten Zeile zu kommen.
Um diesen "Effekt" zu studieren muss man sich auch gar nicht erst ins Komplexe bemühen, es ist etwa
[mm] $x*\br{2}{x^2 -1}=x*\left({\br{1}{x-1}-\br{1}{x+1}}\right)=\br{x}{x-1}-\br{x}{x+1}=\left({1+\br{1}{x-1}}\right)-\left({1-\br{1}{x+1}}\right)=\br{1}{x-1}+\br{1}{x+1}$
[/mm]
Gruß RMix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 So 28.09.2014 | | Autor: | gnolli |
Danke für die Antworten,
irgendwie steh ich auf dem Schlauch, wie forme ich denn
[mm] \br{-ix}{x-i}+\br{ix}{x+i}
[/mm]
zu
[mm] \br{1}{x-i}+\br{1}{x+i} [/mm]
um?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 So 28.09.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo gnolli!
> Danke für die Antworten,
> irgendwie steh ich auf dem Schlauch, wie forme ich denn
> [mm]\br{-ix}{x-i}+\br{ix}{x+i}[/mm]
> zu
> [mm]\br{1}{x-i}+\br{1}{x+i}[/mm]
> um?
So ähnlich, wie in der letzten Formel in RMix' letzter Antwort:
[mm]\br{-ix}{x-i}+\br{ix}{x+i}=i\cdot\left(-\frac{x}{x-i} + \frac{x}{x+i}\right)=i\cdot\left(-\frac{x-i+i}{x-i} + \frac{x+i-i}{x+i}\right)=\ldots[/mm]
Den Rest schaffst du jetzt sicher alleine.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 So 28.09.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Danke für die Antworten,
> irgendwie steh ich auf dem Schlauch, wie forme ich denn
> [mm]\br{-ix}{x-i}+\br{ix}{x+i}[/mm]
> zu
> [mm]\br{1}{x-i}+\br{1}{x+i}[/mm]
> um?
>
Nun, wenn du es nicht anders siehst, kannst du so vorgehen, wie man im Grunde immer vorgehen kann, wenn der Grad des Zählerpolynoms nicht echt kleiner als jener des Nennerpolynoms ist - du führst eine kurze Polynomdivision durch. Damit erhältst dann auch:
[mm] $\br{-ix}{x-i}+\br{ix}{x+i}=\left({-i+\br{1}{x-i}}\right)+\left({i+\br{1}{x+i}}\right)=\br{1}{x-i}+\br{1}{x+i}$
[/mm]
Gruß RMix
P.S.: Natürlich kannst du dir die Polynomdivision auch sparen und dem Vorschlag von Fulla folgen, etwa
[mm] $\br{ix}{x+i}=i*\br{x}{x+i}=i*\br{\blue{x+i}-i}{\blue{x+i}}=i*\left({\br{\blue{x+i}}{\blue{x+i}}-\br{i}{x+i}}\right)=i*\left({1-\br{i}{x+i}}\right)=i+\br{1}{x+i}$
[/mm]
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