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| Aufgabe | [mm]S_n(z)=\frac{1}{z}+\summe_{k=1}^n{\frac{2z}{z^2-k^2}}[/mm]
Summiert man [mm] \frac{1}{\frac{z}{2}+k}+\frac{1}{\frac{z+1}{2}+k}=\frac{2}{z+2k}+\frac{2}{z+2k+1} [/mm] von k=-n bis k=n so erhält man:
[mm] S_n(\frac{z}{2})+S_n(\frac{z+1}{2})=2S_{2n}(z)+\frac{2}{z+2n+1} [/mm] |
Hallo!
Irgendwie habe ich den Eindruck die Behauptung stimmt nicht, denn [mm] 2S_{2n}(z) [/mm] entsteht doch schon nur durch Anwendung der Summe auf den ersten Term rechts des Gleichheitszeichens. Aber es kann doch nicht sein, dass die Summe von [mm] \frac{2}{z+2k+1} [/mm] gerade [mm] \frac{2}{z+2n+1} [/mm] ist. Von mir aus gesehen fehlt da noch [mm] +2S_{2n-1}(z). [/mm]
Was sagt ihr dazu?
Vielen Dank im Voraus!
Angelika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 So 23.05.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] \bruch{2z}{z^2-k^2}=\bruch{1}{z+k}+\bruch{1}{z-k}
[/mm]
Daraus folgt
[mm] S_n\left(\bruch{z}{2}\right)=\bruch{2}{z}+\summe_{k=1}^{n}\left(\bruch{2}{z+2k}+\bruch{2}{z-2k}\right) [/mm] und
[mm] S_n\left(\bruch{z+1}{2}\right)=\bruch{2}{z+1}+\summe_{k=1}^{n}\left(\bruch{2}{z+2k+1}+\bruch{2}{z-2k+1}\right)
[/mm]
In der ersten Summe stehen die geraden und in der zweiten Summe die ungeraden Vertreter der Ausdrücke [mm] \bruch{2}{z+k} [/mm] bzw. [mm] \bruch{2}{z-k} [/mm] also kann man durch Umsortierung der Summen folgendes sehen
[mm] S_n\left(\bruch{z}{2}\right)+S_n\left(\bruch{z+1}{2}\right)=\bruch{2}{z}+\bruch{2}{z+1}+\summe_{k=2}^{2n}\bruch{2}{z+k}+\bruch{2}{z+2n+1}+\summe_{k=1}^{2n}\bruch{2}{z-k}=\bruch{2}{z}+\summe_{k=1}^{2n}\bruch{2}{z+k}+\summe_{k=1}^{2n}\bruch{2}{z-k}+\bruch{2}{z+2n+1}
[/mm]
und das ist die zu beweisende Aussage.
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