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Partialbruchzerlegung mit 3 Ns: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:55 Do 26.03.2009
Autor: Yuri17

Aufgabe
Führe Partialbruchzerlegung durch:

a) [mm] \bruch{x^{4}}{(x - 2)^3} [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Es fällt sofort auf, dass 1 die einzigste Nullstelle bei dieser Aufgabe ist , allerdings tritt sie drei mal auf .
Ich habe also wie folgt begonnen:

[mm] \bruch{x^{4}}{(x - 2)^3} [/mm]  = [mm] \bruch{\alpha}{(x-2)} [/mm] + [mm] \bruch{\beta}{(x - 2)^2} [/mm] + [mm] \bruch{\gamma}{(x - 2)^3} [/mm]

Nun habe ich beide Seite mit (x - [mm] 2)^3 [/mm] multipliziert und erhalte folgendes:

[mm] x^4 [/mm] = [mm] \alpha(x -2)^2 [/mm]  + [mm] \beta(x [/mm] - 2) + [mm] \gamma [/mm]

Jetzt habe ich x=2 eingesetzt und erhalte [mm] \gamma=16 [/mm] .
Wie soll ich weitermachen , um [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] zu errechnen??

        
Bezug
Partialbruchzerlegung mit 3 Ns: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:03 Do 26.03.2009
Autor: fred97


> Führe Partialbruchzerlegung durch:
>
> a) [mm]\bruch{x^{4}}{(x - 2)^3}[/mm]
>  Ich habe diese Frage in keinem
> Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>  
> Es fällt sofort auf, dass 1 die einzigste Nullstelle bei
> dieser Aufgabe ist , allerdings tritt sie drei mal auf .
>  Ich habe also wie folgt begonnen:
>  
> [mm]\bruch{x^{4}}{(x - 2)^3}[/mm]  = [mm]\bruch{\alpha}{(x-2)}[/mm] +
> [mm]\bruch{\beta}{(x - 2)^2}[/mm] + [mm]\bruch{\gamma}{(x - 2)^3}[/mm]
>  
> Nun habe ich beide Seite mit (x - [mm]2)^3[/mm] multipliziert und
> erhalte folgendes:
>  
> [mm]x^4[/mm] = [mm]\alpha(x -2)^2[/mm]  + [mm]\beta(x[/mm] - 2) + [mm]\gamma[/mm]
>  
> Jetzt habe ich x=2 eingesetzt und erhalte [mm]\gamma=16[/mm] .
>  Wie soll ich weitermachen , um [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] zu
> errechnen??



Dein Ansatz




$ [mm] \bruch{x^{4}}{(x - 2)^3} [/mm] $  = $ [mm] \bruch{\alpha}{(x-2)} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{\beta}{(x - 2)^2} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{\gamma}{(x - 2)^3} [/mm] $


ist falsch. Wenn Du die Summe rechts auf den Hauptnenner bringst, bekommst Du im Zähler ein Polynom vom Grad [mm] \le [/mm] 3. Das kann aber nicht sein.


Bringe

[mm] \bruch{x^{4}}{(x - 2)^3} [/mm]

zunächst auf die Form

[mm] \bruch{x^{4}}{(x - 2)^3} [/mm] = p(x) [mm] +\bruch{q(x)}{(x - 2)^3}, [/mm]

wobei p und q Polynome sind und Grad(q) [mm] \le [/mm] 2.

Für [mm] \bruch{q(x)}{(x - 2)^3} [/mm] machst Du dann den Ansatz

[mm] \bruch{q(x)}{(x - 2)^3} [/mm] = $ [mm] \bruch{\alpha}{(x-2)} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{\beta}{(x - 2)^2} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{\gamma}{(x - 2)^3} [/mm] $

FRED



Bezug
                
Bezug
Partialbruchzerlegung mit 3 Ns: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:43 Do 26.03.2009
Autor: Yuri17

Danke, nun bin ich schon ein Stück weiter ^^. Aber ich habe immernoch eine  Frage :


Also mittels Polynomdivision habe ich folgendes erhalten:

[mm] \bruch{x^{4}}{(x - 2)^3} [/mm] = x + 6 + [mm] \bruch{24x^2 - 64x + 48}{(x-2)^3} [/mm]

Nun rechne ich hiermit :   [mm] \bruch{24x^2 - 64x + 48}{(x-2)^3} [/mm] weiter.

[mm] \bruch{24x^2 - 64x + 48}{(x-2)^3} [/mm] = [mm] \bruch{\alpha}{(x-2)} [/mm] + [mm] \bruch{\beta}{(x-2)^2} [/mm] + [mm] \bruch{\gamma}{(x-2)^3} [/mm]  

Durch multiplikation mit (x [mm] -2)^3 [/mm] erhalte ich :

[mm] 24x^2 [/mm] + 64x + 48 = [mm] \alpha(x-2)^2 [/mm] + [mm] \beta(x-2) [/mm] + [mm] \gamma [/mm]

Für x=2 erhalte ich [mm] \gamma=16 [/mm] .

Wie komme ich auf [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta?? [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Partialbruchzerlegung mit 3 Ns: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:45 Do 26.03.2009
Autor: fred97


> Danke, nun bin ich schon ein Stück weiter ^^. Aber ich habe
> immernoch eine  Frage :
>
>
> Also mittels Polynomdivision habe ich folgendes erhalten:
>
> [mm]\bruch{x^{4}}{(x - 2)^3}[/mm] = x + 6 + [mm]\bruch{24x^2 - 64x + 48}{(x-2)^3}[/mm]
>  
> Nun rechne ich hiermit :   [mm]\bruch{24x^2 - 64x + 48}{(x-2)^3}[/mm]
> weiter.
>  
> [mm]\bruch{24x^2 - 64x + 48}{(x-2)^3}[/mm] = [mm]\bruch{\alpha}{(x-2)}[/mm] +
> [mm]\bruch{\beta}{(x-2)^2}[/mm] + [mm]\bruch{\gamma}{(x-2)^3}[/mm]  
>
> Durch multiplikation mit (x [mm]-2)^3[/mm] erhalte ich :
>
> [mm]24x^2[/mm] + 64x + 48 = [mm]\alpha(x-2)^2[/mm] + [mm]\beta(x-2)[/mm] + [mm]\gamma[/mm]
>
> Für x=2 erhalte ich [mm]\gamma=16[/mm] .
>  
> Wie komme ich auf [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta??[/mm]  


Durch Koeffizientenvergleich

FRED

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