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Huhu,
ich habe totale Probleme die Partialsumme von Folgen auszurechnen.
Z.B. bei der Zahlenfolge an=13*n
naja ich habe mir da schonmal die gleider aufgeschrieben, und deren summe berechnet, aber ich komme trotzdem nich weiter..
wie komme ich denn da zu meiner Partialsumme? das is doch voll schwer rauszubekommen oder gibt es dort vielleich einen trick, wie man zu seinem ziel kommt?
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> Huhu,
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> ich habe totale Probleme die Partialsumme von Folgen
> auszurechnen.
Im allgemeinen Fall kann dies auch ein eigentliches Forschungsproblem sein.
> Z.B. bei der Zahlenfolge an=13*n
> naja ich habe mir da schonmal die gleider aufgeschrieben,
> und deren summe berechnet, aber ich komme trotzdem nich
> weiter..
Dies hier ist eine arithmetische Folge. Du solltest Dir zumindest die Grundidee des kleinen C.F. Gauss merken: der hat nämlich bemerkt, dass bei einer arithmetischen Folge die Summe von $k$-tem und $n-k$-tem Glied der Summe [mm] $s_n [/mm] := [mm] a_1+a_2+\cdots+a_n$ [/mm] immer denselben Wert [mm] $a_1+a_n$ [/mm] ergibt, d.h. es ist [mm] $a_1+a_n=a_2+a_{n-2}=\cdots=a_n+a_1$.
[/mm]
Wenn man [mm] $2\cdot s_n [/mm] = [mm] (a_1+a_2+\cdots+a_n)+(a_n+a_{n-1}+\cdots +a_1)=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+\cdots+(a_n+a_1)$ [/mm] berechnet, muss man somit gerade [mm] $n\cdot (a_1+a_n)$ [/mm] erhalten. Nach Division durch 2 folgt
[mm]s_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}[/mm]
Insgesamt ergibt sich in Deinem Fall
[mm]s_n=\frac{n(13+13\cdot n)}{2}=\frac{13n(n+1)}{2}[/mm]
> wie komme ich denn da zu meiner Partialsumme? das is doch
> voll schwer rauszubekommen oder gibt es dort vielleich
> einen trick, wie man zu seinem ziel kommt?
Falls Du wenigstens weisst, dass [mm] $1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$ [/mm] ist (wie erwähnt wusste dies schon der kleine C.F. Gauss), dann kannst Du auch so rechnen:
[mm]s_n=13\cdot 1+13\cdot 2+\cdots + 13\cdot n=13\cdot(1+2+\cdots +n)=13\cdot \frac{n(n+1)}{2}[/mm]
Etwas in dieser Art kannst Du bei jeder arithmetischen Folge (1. Ordnung) machen. D.h. bei einer Folge der Form [mm] $a_n=a_1+(n-1)\cdot [/mm] d$, für gegebene Konstanten [mm] $a_1, [/mm] d$. Die Summe der ersten $n$ Glieder einer solchen Folge ist
[mm]s_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots+(a_1+(n-1)d)=n\cdot a_1+ \big[1+2+\cdots+(n-1)\big]\cdot d=n\cdot a_1+\frac{(n-1)n}{2}\cdot d[/mm]
(Weil hier die natürlichen Zahlen nur bis $n-1$ summiert wurden, musste in der obigen Summenformel [mm] $1+2+\cdots n=\frac{n(n+1)}{2}$ [/mm] in dieser konkreten Anwendung natürlich $n$ durch $n-1$ ersetzt werden.)
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ehrlich gesagt verstehe ich alles außer deine 1. erklärungen, also wie man auf
$ [mm] s_n [/mm] = [mm] \frac{n(a_1+a_n)}{2} [/mm] $ kommt! bzw. deine schritte davor..
ich mein es sind doch unzählige [mm] a_n [/mm] und n, wieso is diese gleichung dann so begrenzt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:36 Di 03.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo best_amica!
Bei der Partialsumme [mm] $s_n [/mm] \ = \ ...$ betrachtet man doch eine beschränkte Anzahl an Summanden; nämlich die ersten $n_$ Folgenglieder.
Und ein Summe aus endlich vielen Summanden ist doch wiederum endlich / beschränkt.
Gruß
Loddar
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