Partiell- und Frechet.diffbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Di 04.02.2014 | | Autor: | wilmi |
| Aufgabe | Prüfen Sie nach, ob die durch [mm] f(x,y)=\bruch{x^3y-xy^3}{|x|+|y|} [/mm] für (x,y) [mm] \not= [/mm] 0 und f(0,0)=0 auf [mm] IR^2 [/mm] definierte Funktion
a) im Nullpunkt partiell differenzierbar ist.
b) im Nullpunkt stetig ist.
c) Im Nullpunkt Frechetdifferenzierbar ist. |
Hallo,
ich hänge leider schon wieder fest.
zu a) Ich muss überprüfen, ob [mm] lim_{t \rightarrow 0}\bruch{f(th)}{t} [/mm] existiert. Wenn ich die Funktion einsetze bekomme ich folgendes raus:
[mm] lim_{t \rightarrow 0}\bruch{t^3h_1^3th_2-th_1t^3h_2^3}{t(|th_1|+|th_2|)}=lim_{t \rightarrow 0}\bruch{t^4(h_1^3h_2-h_1h_2^3}{t^2(|h_1|+|h_2|)}=lim_{t \rightarrow 0}\bruch{t^2(h_1^3h_2-h_1h_2^3}{(|h_1|+|h_2|)}
[/mm]
Wenn ich jetzt t gegen 0 laufen lasse kommt für h [mm] \not= [/mm] (0,0) 0 als partielle Ableitung raus. Kann das sein, oder habe ich mich verrechnet? Sonst haben wir immer eine partielle Ableitung in Abhängigkeit von h raus bekommen.
zu b) Meine Idee:
[mm] |\bruch{x^3y-xy^3}{|x|+|y|}|\le \bruch{|x||y||x^2-y^2|}{|x|+|y|} \le
[/mm]
[mm] \bruch{|x||y||x-y||x+y|}{|x+y|} \le [/mm] |x||y||x-y| = 0 für (x,y) gegen 0.
Somit ist f stetig in (0,0.)
zu c) Bei c) habe ich keine richitge Lösungsidee. Wenn ich bei a) etwas in Anhängigleit von h rausbekommen hätte, hätte man prüfen können ob die partielle Ableitung linear und stetig ist. Ist sie es nicht, dann kann f nicht Frechetdifferenzierbar sein.
Gruß wilmi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:05 Mi 05.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Prüfen Sie nach, ob die durch
> [mm]f(x,y)=\bruch{x^3y-xy^3}{|x|+|y|}[/mm] für (x,y) [mm]\not=[/mm] 0 und
> f(0,0)=0 auf [mm]IR^2[/mm] definierte Funktion
> a) im Nullpunkt partiell differenzierbar ist.
> b) im Nullpunkt stetig ist.
> c) Im Nullpunkt Frechetdifferenzierbar ist.
> Hallo,
> ich hänge leider schon wieder fest.
> zu a) Ich muss überprüfen, ob [mm]lim_{t \rightarrow 0}\bruch{f(th)}{t}[/mm]
> existiert. Wenn ich die Funktion einsetze bekomme ich
> folgendes raus:
> [mm]lim_{t \rightarrow 0}\bruch{t^3h_1^3th_2-th_1t^3h_2^3}{t(|th_1|+|th_2|)}=lim_{t \rightarrow 0}\bruch{t^4(h_1^3h_2-h_1h_2^3}{t^2(|h_1|+|h_2|)}=lim_{t \rightarrow 0}\bruch{t^2(h_1^3h_2-h_1h_2^3}{(|h_1|+|h_2|)}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt t gegen 0 laufen lasse kommt für h [mm]\not=[/mm]
> (0,0) 0 als partielle Ableitung raus. Kann das sein, oder
> habe ich mich verrechnet? Sonst haben wir immer eine
> partielle Ableitung in Abhängigkeit von h raus bekommen.
Was das h hier soll ist mir nicht klar.
f ist in (0,0) partiell differenzierbar nach x, wenn der Grenzwert
[mm] $\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f(t,0)-f(0,0)}{t}$
[/mm]
existiert. In diesem Fall ist
[mm] $f_x(0,0)= \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f(t,0)-f(0,0)}{t}$
[/mm]
f ist in (0,0) partiell differenzierbar nach y, wenn der Grenzwert
[mm] $\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f(0,t)-f(0,0)}{t}$
[/mm]
existiert. In diesem Fall ist
[mm] $f_y(0,0)= \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f(0,y)-f(0,0)}{t}$
[/mm]
> zu b) Meine Idee:
> [mm]|\bruch{x^3y-xy^3}{|x|+|y|}|\le \bruch{|x||y||x^2-y^2|}{|x|+|y|} \le[/mm]
>
> [mm]\bruch{|x||y||x-y||x+y|}{|x+y|} \le[/mm] |x||y||x-y| = 0 für
> (x,y) gegen 0.
> Somit ist f stetig in (0,0.)
2 Sachen habe ich zu bemängeln:
1. Du schreibst " =0 für (x,y) gegen 0."
Richtig ist : " [mm] \to [/mm] 0 für (x,y) gegen 0."
2. Deine obigen Abschätzungen sind zwar richtig, berücksichtigen, wegen |x+y| im Nenner, den Fall y=-x nicht !
lasse den Nenner wie er ist: für x [mm] \ne [/mm] 0 ist
$|f(x,y)-f(0,0)| [mm] \le \bruch{|x||y||x-y||x+y|}{|x|+|y|} \le \bruch{|x||y||x-y||x+y|}{|x|}= [/mm] |y|*|x-y|*|x+y| [mm] \le |y|(|x|+|y|)^2.$
[/mm]
Im Nachhinein sieht man das die Abschätzung
$|f(x,y)-f(0,0)| [mm] \le |y|(|x|+|y|)^2$ [/mm] für alle (x,y) gilt mit (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0)
>
> zu c) Bei c) habe ich keine richitge Lösungsidee. Wenn ich
> bei a) etwas in Anhängigleit von h rausbekommen hätte,
> hätte man prüfen können ob die partielle Ableitung
> linear und stetig ist. Ist sie es nicht, dann kann f nicht
> Frechetdifferenzierbar sein.
Warum hältst Du Dich nicht an die Definition ?
Sei
[mm] Q(x,y):=\bruch{f(x,y)-f(0,0)-gradf(0,0)*(x,y)}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] für (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0).
f ist in (0,0) Frechetdifferenzierbar [mm] \gdw [/mm] Q(x,y) [mm] \to [/mm] 0 für (x,y) [mm] \to [/mm] (0,0)
FRED
>
> Gruß wilmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:39 Mi 05.02.2014 | | Autor: | wilmi |
Hallo Fred, danke für deine Antwort.
Wir haben die partielle Ableitung in Richting [mm] h=(h_1,h_2) [/mm] im Punkt a so definiert:
d_hf(a) := lim_(t [mm] \rightarrow0)\bruch{f(a+th)-f(a)}{t}.
[/mm]
Ist f im Punkt a in jede Richtung partiell di erenzierbar, so nennt man die Funktion
f partiell di erenzierbar in a.
Deshalb habe ich das h verwendet und wollte zeigen, dass man alle h einsetzten kann.
Meine Frage: Mach ich mir das zu umständlich, wenn ich die partielle Differenzierbarkeit prüfen soll und mit dem h arbeite. Also könnte ich einfach deinen Ansatz nehmen, oder meinst du eine andere partielle Differnzierbarkeit als ich?
LG wilmi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:50 Mi 05.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred, danke für deine Antwort.
> Wir haben die partielle Ableitung in Richting [mm]h=(h_1,h_2)[/mm]
> im Punkt a so definiert:
>
> d_hf(a) := lim_(t [mm]\rightarrow0)\bruch{f(a+th)-f(a)}{t}.[/mm]
Ja, das ist die Definition der Richtungsableitung.
>
> Ist f im Punkt a in jede Richtung partiell di erenzierbar,
> so nennt man die Funktion
> f partiell di erenzierbar in a.
Das wurde bei Euch wirklich so definiert ?? Wenn ja, wer ist der Vollpfosten, der das so def. hat ???
Üblicherweise def. man das so:
Sei D eine offene Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] und [mm] x_0=(a_1,...,a_n) \in [/mm] D .
f heißt in [mm] x_0 [/mm] nach der i-ten Variablen [mm] x_i [/mm] partiell differenzierbar [mm] \gdw [/mm] der Grenzwert
[mm] \limes_{t \rightarrow 0}\br{f(a_1,a_2,...,a_{i-1},a_i+t,a_{i+1},...,a_n)-f(x_0)}{t}
[/mm]
existiert.
f heißt in [mm] x_0 [/mm] partiell differenzierbar [mm] \gdw [/mm] f ist in [mm] x_0 [/mm] nach allen Variablen partiell differenzierbar.
>
> Deshalb habe ich das h verwendet und wollte zeigen, dass
> man alle h einsetzten kann.
> Meine Frage: Mach ich mir das zu umständlich, wenn ich die
> partielle Differenzierbarkeit prüfen soll und mit dem h
> arbeite. Also könnte ich einfach deinen Ansatz nehmen,
> oder meinst du eine andere partielle Differnzierbarkeit als
> ich?
Ja, eine andere, nämlich die übliche. Wenn obiger Vollpfosten das anders def. hat hat, so halt Dich an diese bescheuerte Definition.
FRED
>
> LG wilmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:59 Mi 05.02.2014 | | Autor: | wilmi |
Ok, dann werde ich mich an unsere Definition halten.
Dann hat sich mein Problem bei der Überprüfung auf partielle Differnzierbarkeit aber noch nicht ganz geklärt. Ich hatte mir ja folgendes Überlegt:
[mm] lim_{t \rightarrow 0}\bruch{t^3h_1^3th_2-th_1t^3h_2^3}{t(|th_1|+|th_2|)}=lim_{t \rightarrow 0}\bruch{t^4(h_1^3h_2-h_1h_2^3)}{t^2(|h_1|+|h_2|)}=lim_{t \rightarrow 0}\bruch{t^2(h_1^3h_2-h_1h_2^3)}{(|h_1|+|h_2|)}. [/mm] Ist diese Überlegung denn richtig? Wenn ich t jetzt gegen 0 laufen lassen, dann geht der Grenzwert auch gegen Null, außer für [mm] h_1*h_2=0. [/mm] Diese beiden Fälle müsste ich dann extra prüfen bzw. angeben.
LG wilmi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:12 Mi 05.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ok, dann werde ich mich an unsere Definition halten.
> Dann hat sich mein Problem bei der Überprüfung auf
> partielle Differnzierbarkeit aber noch nicht ganz geklärt.
> Ich hatte mir ja folgendes Überlegt:
> [mm]lim_{t \rightarrow 0}\bruch{t^3h_1^3th_2-th_1t^3h_2^3}{t(|th_1|+|th_2|)}=lim_{t \rightarrow 0}\bruch{t^4(h_1^3h_2-h_1h_2^3)}{t^2(|h_1|+|h_2|)}=lim_{t \rightarrow 0}\bruch{t^2(h_1^3h_2-h_1h_2^3)}{(|h_1|+|h_2|)}.[/mm]
> Ist diese Überlegung denn richtig?
Fast. Du hast [mm] |th_j|=|t|*|h_j| [/mm] missachtet.
Wir haben also:
[mm] \bruch{f(th)}{t}= \bruch{t*|t|(h_1^3h_2-h_1h_2^3)}{|h_1|+|h_2|}
[/mm]
> Wenn ich t jetzt gegen
> 0 laufen lassen, dann geht der Grenzwert auch gegen Null,
Nicht "gegen 0" , sondern:
der Grenzwert ist =0.
> außer für [mm]h_1*h_2=0.[/mm] Diese beiden Fälle müsste ich dann
> extra prüfen bzw. angeben.
Wieso ? [mm] h_1=h_2=0 [/mm] kan ja nicht eintreten. Ist also [mm]h_1*h_2=0[/mm], so ist [mm] h_1=0 [/mm] oder [mm] h_2=0.
[/mm]
Dann sieht man aber sofort: [mm] \bruch{f(th)}{t}=0 [/mm] für alle t [mm] \ne [/mm] 0.
FRED
>
> LG wilmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Mi 05.02.2014 | | Autor: | wilmi |
Ok, dann hab ich ja bis auf die Betragsstriche richtig gedacht. Und da der Grenzwert existiert, heißt das auch, dass die Funktion f partiell differenzierbar (in jede Richtung h) ist. Denn für [mm] h_1=h_2=0 [/mm] hätte ich ja dann stehen: [mm] lim_{t \rightarrow 0}\bruch{f(0,0)-f(0,0)}{t}=0.
[/mm]
Vielen Dank.
Gruß wilmi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:48 Mi 05.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ok, dann hab ich ja bis auf die Betragsstriche richtig
> gedacht. Und da der Grenzwert existiert, heißt das auch,
> dass die Funktion f partiell differenzierbar (in jede
> Richtung h) ist. Denn für [mm]h_1=h_2=0[/mm] hätte ich ja dann
> stehen: [mm]lim_{t \rightarrow 0}\bruch{f(0,0)-f(0,0)}{t}=0.[/mm]
Ja
FRED
>
> Vielen Dank.
> Gruß wilmi
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