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Wenn bei einer Aufgabe gebeten wird die erste und zweite partielle Ableitung zu berechnen, wie viele Möglichkeiten gibt es dann für die zweite partielle Ableitung? [mm] \bruch{d^2f}{dxy}, \bruch{d^2f}{dxx}, \bruch{d^2f}{dyx}, \bruch{d^2f}{dyy}? [/mm] Oder reichen nur [mm] \bruch{d^2f}{dxy} [/mm] und [mm] \bruch{d^2f}{dyx}?
[/mm]
Also ich habe die Funktion f(x,y):= [mm] 7xy^3e^{-x^2-2y^2}
[/mm]
Als zweite partielle Ableitungen kriege ich raus:
[mm] \bruch{d^2f}{dxy} [/mm] = [mm] \bruch{d^2f}{dyx}
[/mm]
Gilt nun wegen der obigen Gleichheit der Satz von Schwarz?
Und wenn ja, hätte ich es anders rausfinden können, dass [mm] \bruch{d^2f}{dxy} [/mm] = [mm] \bruch{d^2f}{dyx} [/mm] ist (ohne alle zweiten partiellen Ableitungen zu bilden?
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Hiho,
> Wenn bei einer Aufgabe gebeten wird die erste und zweite
> partielle Ableitung zu berechnen, wie viele Möglichkeiten
> gibt es dann für die zweite partielle Ableitung?
> [mm]\bruch{d^2f}{dxy}, \bruch{d^2f}{dxx}, \bruch{d^2f}{dyx}, \bruch{d^2f}{dyy}?[/mm]
Genau.
> Oder reichen nur [mm]\bruch{d^2f}{dxy}[/mm] und [mm]\bruch{d^2f}{dyx}?[/mm]
Nein.
> Also ich habe die Funktion f(x,y):= [mm]7xy^3e^{-x^2-2y^2}[/mm]
> Als zweite partielle Ableitungen kriege ich raus:
> [mm]\bruch{d^2f}{dxy}[/mm] = [mm]\bruch{d^2f}{dyx}[/mm]
> Gilt nun wegen der obigen Gleichheit der Satz von
> Schwarz?
Nein, der Satz von Schwartz sagt ja aus (Kurzform).
"Sind die Voraussetzungen erfüllt, gilt die Gleichheit."
Die Umkehrung gilt im Allgemeinen bei solchen Sätzen nicht.
D.h. du kannst aus der Gleichheit der partiellen Ableitung nicht auf die Voraussetzungen schließen.
> Und wenn ja, hätte ich es anders rausfinden können, dass
> [mm]\bruch{d^2f}{dxy}[/mm] = [mm]\bruch{d^2f}{dyx}[/mm] ist (ohne alle
> zweiten partiellen Ableitungen zu bilden?
Naja, wenn du dir deine Funktion anschaust, ist sie als Verkettung beliebig oft stetig differenzierbarer Funktionen selbst stetig partiell differenzierbar und damit gelten die Voraussetzungen des Satzes von Schwartz.
MFG,
Gono.
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Super, danke für deine Erklärung, habs verstanden. Eine Frage hätte ich noch. Da der Satz von Schwarz erfüllt ist, muss doch nur [mm] \bruch{d^2f}{dxdy}=\bruch{d^2f}{dydx} [/mm] sein?
Oder müssen alle partiellen Ableitungen dann gleich sein?
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> Super, danke für deine Erklärung, habs verstanden. Eine
> Frage hätte ich noch. Da der Satz von Schwarz erfüllt ist,
> muss doch nur [mm]\bruch{d^2f}{dxdy}=\bruch{d^2f}{dydx}[/mm] sein?
> Oder müssen alle partiellen Ableitungen dann gleich sein?
Also generell nein, nicht alle partiellen Ableitungen.
In diesem Fall sagt der Satz von Schwarz noch, dass [mm]\bruch{d^2f}{dxdx}=\bruch{d^2f}{dxdx}[/mm] und [mm]\bruch{d^2f}{dydy}=\bruch{d^2f}{dydy}[/mm], das sind aber triviale Gleichungen und diese gelten sowieso.
Interessant wirds nur, wenn mehrere Variablen als x und y vorkommen.
Bei 2 Variablen ist es nur die von dir hingeschriebenen Gleichungen wirklich interessant, bei 3 Variablen sind es aber schon 3 Gleichungen (von den trivialen mal abgesehen, welche?).
MfG,
Gono.
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Bei drei Veränderlichen wäre das denke ich so( für f(x,y,z)).
für die zweite partielle Ableitung:
[mm] \bruch{d^2f}{dxdxdx}, \bruch{d^2f}{dxdxdy}, \bruch{d^2f}{dydydy}. \bruch{d^2f}{dzdzdz}, \bruch{d^2f}{dxdxdy}, \bruch{d^2f}{dydxdx}, \bruch{d^2f}{dydydx}, \bruch{d^2f}{dydxdy}, \bruch{d^2f}{dxdzdz}, \bruch{d^2f}{dzdxdz}, \bruch{d^2f}{dzdzdx}, \bruch{d^2f}{dxdxdz}, \bruch{d^2f}{dzdxdx}, \bruch{d^2f}{dydydz}, \bruch{d^2f}{dzdydy}, \bruch{d^2f}{dydzdy}, \bruch{d^2f}{dzdzdy}, \bruch{d^2f}{dydzdz}, \bruch{d^2f}{dxdydz}, \bruch{d^2f}{dydxdz}, \bruch{d^2f}{dzdxdy}
[/mm]
Sind noch nicht alle, aber sind ganz viele. Das ist dann ätzend sie auszurechnen. Deshalb müssten alle außer den ersten dreien gleich sein, denk ich, wenn der satz von Schwarz eerfüllt ist.
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Hallo Heureka89,
> Bei drei Veränderlichen wäre das denke ich so( für
> f(x,y,z)).
> für die zweite partielle Ableitung:
> [mm]\bruch{d^2f}{dxdxdx}, \bruch{d^2f}{dxdxdy}, \bruch{d^2f}{dydydy}. \bruch{d^2f}{dzdzdz}, \bruch{d^2f}{dxdxdy}, \bruch{d^2f}{dydxdx}, \bruch{d^2f}{dydydx}, \bruch{d^2f}{dydxdy}, \bruch{d^2f}{dxdzdz}, \bruch{d^2f}{dzdxdz}, \bruch{d^2f}{dzdzdx}, \bruch{d^2f}{dxdxdz}, \bruch{d^2f}{dzdxdx}, \bruch{d^2f}{dydydz}, \bruch{d^2f}{dzdydy}, \bruch{d^2f}{dydzdy}, \bruch{d^2f}{dzdzdy}, \bruch{d^2f}{dydzdz}, \bruch{d^2f}{dxdydz}, \bruch{d^2f}{dydxdz}, \bruch{d^2f}{dzdxdy}[/mm]
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> Sind noch nicht alle, aber sind ganz viele. Das ist dann
> ätzend sie auszurechnen. Deshalb müssten alle außer den
> ersten dreien gleich sein, denk ich, wenn der satz von
> Schwarz eerfüllt ist.
Bei drei Veränderlichen gilt:
[mm]\bruch{\partial}{\partial x}\left( \ \bruch{\partial f}{\partial y} \ \right)=\bruch{\partial}{\partial y}\left( \ \bruch{\partial f}{\partial x} \ \right)[/mm]
[mm]\bruch{\partial}{\partial x}\left( \ \bruch{\partial f}{\partial z} \ \right)=\bruch{\partial}{\partial z}\left( \ \bruch{\partial f}{\partial x} \ \right)[/mm]
[mm]\bruch{\partial}{\partial y}\left( \ \bruch{\partial f}{\partial z} \ \right)=\bruch{\partial}{\partial z}\left( \ \bruch{\partial f}{\partial y} \ \right)[/mm]
Gruß
MathePower
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