Partielle Ableitung Aufgabe < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie - wo definiert - die partielle Ableitung
[mm] \bruch{\delta(f)}{\delta (x_{1})}(x_{1},x_{2})
[/mm]
von [mm] f(x_{1},x_{2})= ln(\bruch{x_{1}*x_{2}}{\wurzel{x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5}}). [/mm] |
Hallo.
Ich soll obige Aufgabe bearbeiten.
Meine Lösung:
[mm] \bruch{1}{x_{1}}-\bruch{1}{x_{2}*(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+5)}
[/mm]
Da ich mir bei der Aufgabe nicht sicher mit der Lösung bin, würde ich mich drüber freuen, wenn jemand mal drüberschauen würde.
Grüße
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Hallo Masseltof,
> Bestimmen Sie - wo definiert - die partielle Ableitung
> [mm]\bruch{\delta(f)}{\delta (x_{1})}(x_{1},x_{2})[/mm]
> von
> [mm]f(x_{1},x_{2})= ln(\bruch{x_{1}*x_{2}}{\wurzel{x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5}}).[/mm]
>
> Hallo.
>
> Ich soll obige Aufgabe bearbeiten.
> Meine Lösung:
> [mm]\bruch{1}{x_{1}}-\bruch{1}{x_{2}*(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+5)}[/mm]
>
Der zweite Summand stimmt nicht.
> Da ich mir bei der Aufgabe nicht sicher mit der Lösung
> bin, würde ich mich drüber freuen, wenn jemand mal
> drüberschauen würde.
>
> Grüße
Gruss
MathePower
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Hallo.
Ich komme nicht wirklich weiter.
Daher poste ich mal meine Rechnung und würde mich freuen, wenn ihr einen Hinweis geben könntet, wo der Fehler liegt.
[mm] f(x_{1},x_{2})=ln(\frac{x_{1}x_{2}}{\wurzel{x_{1}^2+2x_{2}^3+5}})
[/mm]
[mm] f'(x_{1},x_{2})=
[/mm]
Kettenregel:
Äußere Ableitung: [mm] \frac{\wurzel{x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+5}}{x_{1}x_{2}}
[/mm]
Innere Ableitung -> Quotientenregel
[mm] \bruch{x_{1}*\wurzel{x_{1}^2+2x_{2}^3+5}-x_{1}x_{2}*\frac{1}{2\wurzel{x_{1}^2+2x_{2}^3+5}}}{x_{1}^2+2x_{2}^3+5}
[/mm]
Produkt Äußere*Innere Ableitung:
[mm] \frac{\wurzel{x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+5}}{x_{1}x_{2}}*(\bruch{x_{1}*\wurzel{x_{1}^2+2x_{2}^3+5}-x_{1}x_{2}*\frac{1}{2\wurzel{x_{1}^2+2x_{2}^3+5}}}{x_{1}^2+2x_{2}^3+5})=
[/mm]
[mm] \frac{x_{1}*(x_{1}^{2}+2x_{2}^3+5)}{x_{1}x_{2}*(x_{1}^{2}+3x_{2}^2+5)}-0.5\frac{x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}(x_{1}^{2}+2x_{2}^3+5)}
[/mm]
=
[mm] \frac{1}{x_{2}}-\frac{0.5}{x_{1}^{2}+2x_{2}^3+5}
[/mm]
Würde mich über Hilfe sehr freuen.
Grüße
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Hallo Masseltof,
> Hallo.
>
> Ich komme nicht wirklich weiter.
> Daher poste ich mal meine Rechnung und würde mich freuen,
> wenn ihr einen Hinweis geben könntet, wo der Fehler liegt.
>
> [mm]f(x_{1},x_{2})=ln(\frac{x_{1}x_{2}}{\wurzel{x_{1}^2+2x_{2}^3+5}})[/mm]
Das muss doch hierso lauten:
[mm]f(x_{1},x_{2})=ln(\frac{x_{1}x_{2}}{\wurzel{x_{1}^2+2x_{2}^{\blue{2}}+5}})[/mm]
> [mm]f'(x_{1},x_{2})=[/mm]
>
> Kettenregel:
> Äußere Ableitung:
> [mm]\frac{\wurzel{x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+5}}{x_{1}x_{2}}[/mm]
>
> Innere Ableitung -> Quotientenregel
>
> [mm]\bruch{x_{1}*\wurzel{x_{1}^2+2x_{2}^3+5}-x_{1}x_{2}*\frac{1}{2\wurzel{x_{1}^2+2x_{2}^3+5}}}{x_{1}^2+2x_{2}^3+5}[/mm]
>
> Produkt Äußere*Innere Ableitung:
>
> [mm]\frac{\wurzel{x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+5}}{x_{1}x_{2}}*(\bruch{x_{1}*\wurzel{x_{1}^2+2x_{2}^3+5}-x_{1}x_{2}*\frac{1}{2\wurzel{x_{1}^2+2x_{2}^3+5}}}{x_{1}^2+2x_{2}^3+5})=[/mm]
>
Hier fehlt die Ableitung des Ausdrucks unter Wurzel nach [mm]x_{2}[/mm]:
[mm]\frac{\wurzel{x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+5}}{x_{1}x_{2}}*(\bruch{x_{1}*\wurzel{x_{1}^2+2x_{2}^2+5}-x_{1}x_{2}*\frac{\blue{\bruch{\partial}{\partial x_{2}} \left(x_{1}^2+2x_{2}^2+5\right)}}{2\wurzel{x_{1}^2+2x_{2}^2+5}}}{x_{1}^2+2x_{2}^2+5})[/mm]
> [mm]\frac{x_{1}*(x_{1}^{2}+2x_{2}^3+5)}{x_{1}x_{2}*(x_{1}^{2}+3x_{2}^2+5)}-0.5\frac{x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}(x_{1}^{2}+2x_{2}^3+5)}[/mm]
> =
> [mm]\frac{1}{x_{2}}-\frac{0.5}{x_{1}^{2}+2x_{2}^3+5}[/mm]
>
> Würde mich über Hilfe sehr freuen.
>
> Grüße
Gruss
MathePower
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Hallo Mathepower und danke für die Antwort.
Natürlich soll überall:
[mm] \wurzel{x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5} [/mm] stehen.
Den Beitrag möchte ich nicht editieren, da sonst die Aussage keinen Sinn macht.
Letztlich habe ich dann wegen:
[mm] \frac{\delta}{\delta x_{1}}(x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5)= 2x_{1}+x_{2}^{2}+5
[/mm]
Grüße
[mm] f'(x_{1},x_{2})=\frac{1}{x_{2}}-\frac{2x_{1}+3x_{2}+5}{2(x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5)}
[/mm]
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Hallo Masseltof,
> Hallo Mathepower und danke für die Antwort.
>
> Natürlich soll überall:
> [mm]\wurzel{x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5}[/mm] stehen.
> Den Beitrag möchte ich nicht editieren, da sonst die
> Aussage keinen Sinn macht.
>
> Letztlich habe ich dann wegen:
> [mm]\frac{\delta}{\delta x_{1}}(x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5)= 2x_{1}+x_{2}^{2}+5[/mm]
>
Das ist nicht richtig.
Wenn Du nach [mm]x_{1}[/mm] differenzierst, dann sind
die anderen Variablen als Konstanten anzusehen.
> Grüße
>
> [mm]f'(x_{1},x_{2})=\frac{1}{x_{2}}-\frac{2x_{1}+3x_{2}+5}{2(x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5)}[/mm]
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Di 19.06.2012 | | Autor: | Masseltof |
Hallo.
Danke für die Antwort. So ein Leichtsinnsfehler.
Grüße :)
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Hallo.
Ich möchte noch einmal einen Versuch wagen, da alle angegebenen Lösungen etwas anders aussehen als meine (auch das Umformen der Lösungen führt mich nicht zu der meinen).
Also für:
[mm] f'(x_{1},x_{2})=\frac{\wurzel{x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5}}{x_{1}x_{2}}*(\frac{x_{1}\wurzel{x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5}}{x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5}-\frac{\frac{x_{1}^{2}*x_{2}}{\wurzel{x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5}}}{{x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5}})
[/mm]
[mm] a=\wurzel{x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5}
[/mm]
[mm] a^{2}=(x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5)
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \frac{a}{x_{1}x_{2}}*(\frac{x_{1}*a}{a^{2}}-\frac{\frac{x_{1}^{2}*x_{2}}{a}}{a^{2}})
[/mm]
=
[mm] \frac{a}{x_{1}x_{2}}*(\frac{x_{1}*a}{a^{2}}-\frac{x_{1}^{2}x_{2}}{a}*a^{2})
[/mm]
[mm] =\frac{x_{1}}{x_{1}x_{2}}-\frac{x_{1}^{2}x_{2}}{x_{1}x_{2}}*a^{2}
[/mm]
Oder mit gemeinsamen Nenner:
[mm] \frac{x_{1}a^{2}}{x_{1}x_{2}*a^{2}}-\frac{x_{1}^{2}x_{2}a^{4}}{x_{1}x_{2}a^{2}}=
[/mm]
[mm] \frac{a^{2}x_{1}}{x_{1}x_{2}a^{2}}*(1-a^{2}x_{1}x_{2})
[/mm]
Auch hier würde ich mich über eine Kontrolle freuen.
Danke vielmals für die Geduld.
Grüße
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Hallo Masseltof,
> Hallo.
>
> Ich möchte noch einmal einen Versuch wagen, da alle
> angegebenen Lösungen etwas anders aussehen als meine (auch
> das Umformen der Lösungen führt mich nicht zu der
> meinen).
>
> Also für:
>
> [mm]f'(x_{1},x_{2})=\frac{\wurzel{x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5}}{x_{1}x_{2}}*(\frac{x_{1}\wurzel{x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5}}{x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5}-\frac{\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{\wurzel{x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5}}}{{x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5}})[/mm]
>
Hier muss es doch so lauten:
[mm]f'(x_{1},x_{2})=\frac{\wurzel{x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5}}{x_{1}x_{2}}*(\frac{x_{\red{2}}\wurzel{x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5}}{x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5}-\frac{\frac{x_{1}^{2}\blue{*}x_{2}^{\red{1}}}{\wurzel{x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5}}}{{x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5}})[/mm]
> [mm]a=\wurzel{x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5}[/mm]
> [mm]a^{2}=(x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\frac{a}{x_{1}x_{2}}*(\frac{x_{1}*a}{a^{2}}-\frac{\frac{x_{1}^{2}+x_{2}}{a}}{a^{2}})[/mm]
> =
>
>
> [mm]\frac{a}{x_{1}x_{2}}*(\frac{x_{1}*a}{a^{2}}-\frac{x_{1}^{2}x_{2}}{a}*a^{2})[/mm]
>
>
> [mm]=\frac{x_{1}}{x_{1}x_{2}}-\frac{x_{1}^{2}x_{2}}{x_{1}x_{2}}*a^{2}[/mm]
>
> Oder mit gemeinsamen Nenner:
>
> [mm]\frac{x_{1}a^{2}}{x_{1}x_{2}*a^{2}}-\frac{x_{1}^{2}x_{2}a^{4}}{x_{1}x_{2}a^{2}}=[/mm]
>
> [mm]\frac{a^{2}x_{1}}{x_{1}x_{2}a^{2}}*(1-a^{2}x_{1}x_{2})[/mm]
>
> Auch hier würde ich mich über eine Kontrolle freuen.
> Danke vielmals für die Geduld.
>
> Grüße
>
Gruss
MathePower
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Hallo Mathepower.
Wie kommst du auf bei dem, von dir beschriebenen, Term auf:
[mm] \frac{x_{2}\wurzel{x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5}}{x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5}
[/mm]
Ich differenziere doch eigentlich:
[mm] \frac{\delta(f)}{\delta(x_{1})}
[/mm]
Damit behandle ich jede von x verschiedene Variable als Parameter.
Also:
[mm] \frac{x_{1}\wurzel{x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5}}{x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5}
[/mm]
Überall wo im Zähler: [mm] x_{1}^{2}+x_{2} [/mm] steht sollte eigentlich [mm] x_{1}^{2}*x_{2} [/mm] stehen.
Ich editier das gleich.
Grüße
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Hallo Masseltof,
> Hallo Mathepower.
>
> Wie kommst du auf bei dem, von dir beschriebenen, Term
> auf:
>
> [mm]\frac{x_{2}\wurzel{x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5}}{x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5}[/mm]
>
> Ich differenziere doch eigentlich:
> [mm]\frac{\delta(f)}{\delta(x_{1})}[/mm]
>
> Damit behandle ich jede von x verschiedene Variable als
> Parameter.
>
Hier meinst Du "[mm]x_{1}[/mm]"
Das ist ja auch richtig.
> Also:
>
> [mm]\frac{x_{1}\wurzel{x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5}}{x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5}[/mm]
>
Das ist schon so richtig, wie ich geschrieben habe.
Sei dazu
[mm]z\left(x_{1},x_{2}\right)=x_{1}*x_{2}[/mm]
[mm]n\left(x_{1},x_{2}\right)=\wurzel{x_{1}^{2}+3*x_{2}^{2}+5}[/mm]
Die partielle Ableitung von [mm]\bruch{z\left(x_{1},x_{2}\right)}{n\left(x_{1},x_{2}\right)}[/mm]
nach [mm]x_{1}[/mm] ergibt sich nun nach der Quotientenregel:
[mm]\bruch{\partial}{\partial x_{1}}\left(\bruch{z\left(x_{1},x_{2}\right)}{n\left(x_{1},x_{2}\right)}\right)=\bruch{\bruch{\partial z\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}*n\left(x_{1},x_{2}\right)-z\left(x_{1},x_{2}\right)*\bruch{\partial n\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}}{\left(n\left(x_{1},x_{2}\right)\right)^{2}}[/mm]
Dabei ist
[mm]\bruch{\partial z\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}=x_{2}[/mm]
[mm]\bruch{\partial n\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}=\bruch{x_{1}}{n\left(x_{1},x_{2}\right)}[/mm]
> Überall wo im Zähler: [mm]x_{1}^{2}+x_{2}[/mm] steht sollte
> eigentlich [mm]x_{1}^{2}*x_{2}[/mm] stehen.
> Ich editier das gleich.
>
> Grüße
Gruss
MathePower
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