Partielle Ableitung aufstellen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 Mo 17.01.2011 | | Autor: | Tobiii |
| Aufgabe 1 | Im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystemes in R3 befinde sich eine punktförmige Wärmequelle. Die von ihr im Punkte Vektor (x) ∈ R3, Vektor (x) ungleich 0, erzeugte Temperatur T(Vektor x) nehme quadratisch mit
dem Abstand von der Wärmequelle ab, genauer gesagt sei
T(x) =c/(x1(^2)+x2(^2)+x3(^3)
für alle x = (x1, x2, x3)T mit x ungleich 0, wobei c eine feste Konstante sei. |
| Aufgabe 2 | | (a) Wie sehen die sog. Niveauflächen der Funktion T aus, d.h. die Flächen im Raum, auf denen die Temperatur konstant ist? Warum? |
| Aufgabe 3 | | (b) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen [mm] \partial [/mm] T / [mm] \partial [/mm] x1 ; [mm] \partial [/mm] T / [mm] \partial [/mm] x2 ; [mm] \partial [/mm] T / [mm] \partial [/mm] x3 |
| Aufgabe 4 | | (c) Berechnen Sie den Gradienten von T im Punkte x = (2,−1, [mm] 4)^T [/mm] . In welche Richtung von x aus gesehen zeigt dieser Gradient? Begründen Sie dies auch anschaulich. |
| Aufgabe 5 | (d) Das Objekt aus Aufgabe 60 bewege ich nun gemäss der dort angegebenen Funktion
f(t) = ((sin t)(cos t), cos (3t), -t)
durch diesen gemäß T erwärmten Raum. Es sei g(t) die Temperatur, der dieses Objekt zum
Zeitpunkt t ausgesetzt ist. Leiten Sie eine explizite Formel für g(t) her. |
Hallo,
habe zu dieser riesigen Frage erstmal nur Grundlegende Fragen, um überhaupt mal zu verstehen, was man bei einer partiellen Ableitung machen muss.
Meine Frage bezieht sich also auf Aufgabe (b):
wenn ich nach x1 ableite muss ich ja erstmal so tun, als sei c, x2 und x3 konstant.
Also bedeutet das, dass:
[mm] \partial [/mm] T/ [mm] \partial [/mm] x1 -> f(T)= c/(x1(^2)+x2(^2)+x3(^2))
f'(T)= -2c / x1(^3)+x2(^2)+x3(^3).
STIMMT DAS???
Bei Frage (c) habe ich einfach die o.g. Ableitung auch für x2 und x3 gemacht und habe dann für x1=2, x2=-1, x3=4 eingesetzt (in alle 3 partiellen Ableitungen) und habe die Ergebnisse untereinander geschrieben (Vektorenschreibweise) also ungefähr so:
Gradient= (-2c/11 ; -2c/5 ; -2c/65)
kann ich das so machen?
Oder weiß jemand wie mans richtig macht?
Vielen Dank!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Tobili,
> Im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystemes in R3
> befinde sich eine punktförmige Wärmequelle. Die von ihr
> im Punkte Vektor (x) ∈ R3, Vektor (x) ungleich 0,
> erzeugte Temperatur T(Vektor x) nehme quadratisch mit
> dem Abstand von der Wärmequelle ab, genauer gesagt sei
> T(x) =c/(x1(^2)+x2(^2)+x3(^3)
>
> für alle x = (x1, x2, x3)T mit x ungleich 0, wobei c eine
> feste Konstante sei.
> (a) Wie sehen die sog. Niveauflächen der Funktion T aus,
> d.h. die Flächen im Raum, auf denen die Temperatur
> konstant ist? Warum?
> (b) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen [mm]\partial[/mm] T /
> [mm]\partial[/mm] x1 ; [mm]\partial[/mm] T / [mm]\partial[/mm] x2 ; [mm]\partial[/mm] T /
> [mm]\partial[/mm] x3
> (c) Berechnen Sie den Gradienten von T im Punkte x =
> (2,−1, [mm]4)^T[/mm] . In welche Richtung von x aus gesehen zeigt
> dieser Gradient? Begründen Sie dies auch anschaulich.
> (d) Das Objekt aus Aufgabe 60 bewege ich nun gemäss der
> dort angegebenen Funktion
> f(t) = ((sin t)(cos t), cos (3t), -t)
>
> durch diesen gemäß T erwärmten Raum. Es sei g(t) die
> Temperatur, der dieses Objekt zum
> Zeitpunkt t ausgesetzt ist. Leiten Sie eine explizite
> Formel für g(t) her.
> Hallo,
> habe zu dieser riesigen Frage erstmal nur Grundlegende
> Fragen, um überhaupt mal zu verstehen, was man bei einer
> partiellen Ableitung machen muss.
> Meine Frage bezieht sich also auf Aufgabe (b):
> wenn ich nach x1 ableite muss ich ja erstmal so tun, als
> sei c, x2 und x3 konstant.
> Also bedeutet das, dass:
>
> [mm]\partial[/mm] T/ [mm]\partial[/mm] x1 -> f(T)= c/(x1(^2)+x2(^2)+x3(^2))
> f'(T)= -2c / x1(^3)+x2(^2)+x3(^3).
>
> STIMMT DAS???
Leider nein.
Schreib das mal so:
[mm]f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=\bruch{c}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}=c*\left(\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2} \ \right)^{-1}[/mm]
Differenziere dies nach [mm]x_{1}[/mm]
Hierzu verwendest Du die Kettenregel in Verbindung mit der Potenzregel.
>
> Bei Frage (c) habe ich einfach die o.g. Ableitung auch für
> x2 und x3 gemacht und habe dann für x1=2, x2=-1, x3=4
> eingesetzt (in alle 3 partiellen Ableitungen) und habe die
> Ergebnisse untereinander geschrieben (Vektorenschreibweise)
> also ungefähr so:
>
> Gradient= (-2c/11 ; -2c/5 ; -2c/65)
>
> kann ich das so machen?
> Oder weiß jemand wie mans richtig macht?
>
> Vielen Dank!!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:47 Di 18.01.2011 | | Autor: | Tobiii |
Ah, da hatte sich ein Schreibfehler eingeschlichen, das Ergebnis sollte natürlich für x1
[mm] \bruch{-2cx1}{(x1^2+x2^2+x3^2)^2}
[/mm]
lauten.
Das ist doch richtig, oder?
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Hallo Tobiii,
> Ah, da hatte sich ein Schreibfehler eingeschlichen, das
> Ergebnis sollte natürlich für x1
>
> [mm]\bruch{-2cx1}{(x1^2+x2^2+x3^2)^2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> lauten.
> Das ist doch richtig, oder?
Ja, aber mache bitte in Zukunft Indizes mit dem Unterstrich _
[mm]x_1^2[/mm] kannst du so eintippen: x_{1}^2
Gruß
schachuzipus
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