Partielle Ableitung erster Ordnung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Do 01.07.2004 | | Autor: | angel79 |
Ich habe diese Frage auch in folgenden fremden Foren gestellt:
http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000001410&read=1&kat=Studium
könnte mir jemand hier helfen?ich schreibe morgen die klausur und bin verzweifelt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:25 Do 01.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Bini
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe diese Frage auch in folgenden fremden Foren
> gestellt:
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Da weiss ich jetzt gar nicht, was für eine Frage denn!
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> könnte mir jemand hier helfen?ich schreibe morgen die
> klausur und bin verzweifelt
>
Verzweifeln ist nicht gut!
Es wäre aber doch schön, wenn du ein Wenig konkreter sagen könntest, was du denn genau wissen willst.
Ich nehme mal Folgendes an und beschränke mich auf 3 Variablen:
Gegeben ist eine Funktion [mm] $\mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}$
[/mm]
Das ist also eine Funktion, die jedem Punkt im Raum eine reelle Zahl zuordnet (Wie zum Beispiel die Temperatur in einem Raum)
Wenn du einen Vektor bildest, wobei die erste Komponente die 1. Ableitung deiner Funktion nach $x$ ist, die zweite Komponente die 1. Ableitung deiner Funktion nach $y$ und die dritte Komponente die 1. Ableitung deiner Funktion nach $z$ ist, dann wird dieser Vektor als "Gradient der Funktion" bezeichnet. ($grad(f)$)
Hinweis: um nach $x$ abzuleiten, werden die Variablen $y$ und $z$ wie konstante Zahlen behandelt, entsprechendes für die anderen Ableitungen.
Der Gradient einer Funktion (also ein Vektor) hat die Eigenschaft, dass er in Richtung des grössten Funktionszuwachses zeigt. (Beim Beispiel der Temperatur: in welche Richtung muss man sich bewegen, damit der Temperaturanstieg maximal wird? (Wenn du dich ein wenig in eine Richtung bewegst, die senkrecht auf den Gradienten steht, sollte sich die Temperatur nicht verändern).
Der Gradient steht auch (nach obiger Interpretation eigentlich logisch) senkrechtzu einer Niveaufläche der Funktion. Das heisst zum Beispiel: wenn du im Raum die Fläche bezeichnest, wo die Temperatur 20 Grad ist, dann steht der Gradient senkrecht auf diese Fläche).
Etwas Weiteres: dort, wo der Gradient $0$ ist (also ein Nullvektor, das heisst, wo alle partiellen Ableitungen $= 0$ sind), nimmt die Funktion möglicherweise ein Minimum oder ein Maximum an.
Ein Beispiel: sei die Funktion gegeben durch [mm] $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+5$
[/mm]
Dann ist $grad(f)=(2x, 2y, 0)$
Die Funktion nimmt also auf der z-Achse ein Minimum an (dort hat sie ja den Wert $5$, überall sonst im ganzen Raum ist sie $>5$.
Im Punkt $P(3,5,z)$ ist der Gradient $(6,10,0)$. Ein Vektor, der parallel zur x-y-Ebene ist und genau von der z-Achse weg zeigt (zur z-Achse hin wird der Funktionswert am schnellsten kleiner, von der z-Achse weg wächst der Funktionswert am schnellsten an).
Ich hoffe, das genügt vorerst, um ein Bisschen die Prüfungsangst zu nehmen.  Du solltest aber schon evtl. eine konkrete Aufgabe hier hineinstellen, damit sie ein Wenig besprochen werden kann.
Mit lieben Grüssen
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