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| Aufgabe | Bilde die Ableitungen der folgenden Funktionen und interpretiere diese geometrisch.
a) $f(x,y) = 3x-2y+1$
b) $g(x,y) = [mm] x^2 +y^2$
[/mm]
c $h(x,y) = [mm] \sqrt{x^2 + y^2}$ [/mm] mit $D = [mm] \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 |x^2 + y^2 \le 1 \}$ [/mm] |
Hallo,
danke, dass ihr euch meiner Fragen annehmt!
Zu a) die partiellen Ableitungen sind natürlich denkbar einfach und die Konstanten 3 (nach x abgeleitet) und -2 (nach y abgeleitet).
Zur geometrischen Interpretation: Wenn die ersten Ableitung eine Konstante ist, dann hat die Funktion in jedem Punkt den gleichen Anstieg (in x Richtung 3 und in y Richtung -2). Das heißt f(x,y) beschreibt eine Ebene, die geneigt ist und konstanten Anstieg in x und y Richtung hat.
zu b)
Die Funktion g entspricht der Oberfläche einer nach oben geöffneten Parabel quasi? Die Ableitungen 2x bzw 2y geben an wie "steil" die Oberfläche eine horizontale Ebene ist, die die Funktion in (x,y) schneidet (für die Ableitung nach x) und das gleiche für die Ableitung nach y mit einer vertikalen Ebene?
Passt das? also stelle ich mir das quasi geoemtrisch richtig vor?
zu c)
Hier sind die Ableitungen [mm] $\frac{\partial h}{\partial x} [/mm] = [mm] \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$
[/mm]
und [mm] $\frac{\partial h}{\partial y} [/mm] = [mm] \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$
[/mm]
Die Funktion h "misst" quasi den Abstand von Punkten im und auf dem Kreis mit Radius 1 zum Ursprung. Jetzt weiß ich aber wirklich nicht so recht wie ich diese Ableitungen geometrisch interpretieren soll?
Danke vorab
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bilde die Ableitungen der folgenden Funktionen und
> interpretiere diese geometrisch.
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> a) [mm]f(x,y) = 3x-2y+1[/mm]
> b) [mm]g(x,y) = x^2 +y^2[/mm]
> c [mm]h(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}[/mm]
> mit [mm]D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 |x^2 + y^2 \le 1 \}[/mm]
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> Hallo,
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> danke, dass ihr euch meiner Fragen annehmt!
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> Zu a) die partiellen Ableitungen sind natürlich denkbar
> einfach und die Konstanten 3 (nach x abgeleitet) und -2
> (nach y abgeleitet).
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> Zur geometrischen Interpretation: Wenn die ersten Ableitung
> eine Konstante ist, dann hat die Funktion in jedem Punkt
> den gleichen Anstieg (in x Richtung 3 und in y Richtung
> -2). Das heißt f(x,y) beschreibt eine Ebene, die geneigt
> ist und konstanten Anstieg in x und y Richtung hat.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> zu b)
> Die Funktion g entspricht der Oberfläche einer nach oben
> geöffneten Parabel quasi? Die Ableitungen 2x bzw 2y geben
> an wie "steil" die Oberfläche eine horizontale Ebene ? ist,
> die die Funktion in (x,y) schneidet (für die Ableitung
> nach x) und das gleiche für die Ableitung nach y mit einer
> vertikalen Ebene?
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> Passt das? also stelle ich mir das quasi geoemtrisch
> richtig vor?
>
Besser: Es ist der Rand eines nach oben geöffneten parabolischen Rotationskörpers ("Sektglaskelch").
Wieso?
Stell dir vor, du bist auf einer konstanten "Höhe" g(x)=25 und betrachtest alle (x|y), die diesen Wert ergeben:
[mm] 25=x^2+y^2.
[/mm]
Das ist die Gleichung eines Kreises mit dem Radius 5. Alle (x|y), die auf diesem Kreis um den Ursprung liegen, erzeugen den "Höhenwert" z=25. Gehst du höher, so wird aus 25 z.B. 49, und in dieser Höhe ist der Radius auf 7 angewachsen. Alle Schnitte parallel zur x-y-Ebene geben also Kreise um die z-Achse, die mit steigender Höhe wachsen (r = Wurzel aus der Höhe). Die partielle Ableitung gibt die Steigung am Rand des "Sektglaskelches" an.
> zu c)
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> Hier sind die Ableitungen [mm]\frac{\partial h}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}[/mm]
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> und [mm]\frac{\partial h}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}[/mm]
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> Die Funktion h "misst" quasi den Abstand von Punkten im und
> auf dem Kreis mit Radius 1 zum Ursprung. Jetzt weiß ich
> aber wirklich nicht so recht wie ich diese Ableitungen
> geometrisch interpretieren soll?
Kreise in einer festen Höhe, wie b), aber jetzt bist du bei der Höhe woanders. Beim Kreis mit Radius 5 ist auch die Höhe 5, beim Kreis mit Radius 6 auch die Höhe usw.. Du erhältst einen nach oben offenen Kegelmantel mit Spitze im Ursprung. Die partielle Ableitung z.B. nach x gibt an, wie steil du am Mantel hochkommst, wenn du nur ein Stückchen in x-Richtung gehst. Direkt über der x-Achse wird y=0, und die Steigung wird 1 (bzw. -1 im negativen x-Bereich).
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> Danke vorab
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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