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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Fr 07.12.2007 | | Autor: | Caroline |
Hallo liebe Forumuser, ich hoffe ihr könnt mir diesmal bei dieser Aufgabe auch helfen, ich weiß nicht wie ich die machen soll:
Aufgabe:
Sei $ g : [mm] (0,\infty) \times (0,2\pi) \to \IR^{2}$ [/mm] definiert durch: $ [mm] g(r,\phi) [/mm] := [mm] \vektor{r cos(\phi) \\ r sin(\phi)} [/mm] $
Bestimmen Sie Funktionen $ [mm] a_{r}, a_{\phi}, b_{r}, b_{\phi} [/mm] : [mm] (0,\infty) \times (0,2\pi) \to \IR [/mm] $ so, dass für alle stetig differenzierbaren $ f : [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] $ gilt:
$ [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(g(r,\phi)) [/mm] = [mm] a_{r}(r,\phi)\bruch{\partial(f*g)}{\partial r}(r,\phi) [/mm] + [mm] a_{\phi}(r,\phi)\bruch{\partial(f*g)}{\partial \phi}(r,\phi) [/mm] $,
$ [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(g(r,\phi)) [/mm] = [mm] b_{r}(r,\phi)\bruch{\partial(f*g)}{\partial r}(r,\phi) [/mm] + [mm] b_{\phi}(r,\phi)\bruch{\partial(f*g)}{\partial \phi}(r,\phi) [/mm] $
Könnte mir jmd. hier weiterhelfen?
Vielen Dank schon im Voraus und LG
Caro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:35 Fr 07.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Caro!
> Hallo liebe Forumuser, ich hoffe ihr könnt mir diesmal bei
> dieser Aufgabe auch helfen, ich weiß nicht wie ich die
> machen soll:
>
> Aufgabe:
>
> Sei [mm]g : (0,\infty) \times (0,2\pi) \to \IR^{2}[/mm] definiert
> durch: [mm]g(r,\phi) := \vektor{r cos(\phi) \\ r sin(\phi)}[/mm]
>
> Bestimmen Sie Funktionen [mm]a_{r}, a_{\phi}, b_{r}, b_{\phi} : (0,\infty) \times (0,2\pi) \to \IR[/mm]
> so, dass für alle stetig differenzierbaren [mm]f : \IR^{2} \to \IR[/mm]
> gilt:
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(g(r,\phi)) = a_{r}(r,\phi)\bruch{\partial(f*g)}{\partial r}(r,\phi) + a_{\phi}(r,\phi)\bruch{\partial(f*g)}{\partial \phi}(r,\phi) [/mm],
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(g(r,\phi)) = b_{r}(r,\phi)\bruch{\partial(f*g)}{\partial r}(r,\phi) + b_{\phi}(r,\phi)\bruch{\partial(f*g)}{\partial \phi}(r,\phi)[/mm]
>
> Könnte mir jmd. hier weiterhelfen?
Auch hier gilt die Kettenregel. Zum Beispiel:
[mm]\bruch{\partial(f\circ g)}{\partial r}(r,\phi) = \bruch{\partial f}{\partial x}(g(r,\phi)) * \bruch{\partial}{\partial r}(r \cos\phi) + \bruch{\partial f}{\partial y}(g(r,\phi)) * \bruch{\partial}{\partial r}(r \sin\phi) = \bruch{\partial f}{\partial x}(g(r,\phi)) * \cos\phi + \bruch{\partial f}{\partial y}(g(r,\phi)) * \sin\phi [/mm]
Wenn du das für alle 4 Ableitungen machst und einsetzt, bekommst du ein Gleichungssystem mit den Unbekannten [mm]a_{r}, a_{\phi}, b_{r}, b_{\phi}[/mm], das für beliebige Werte von r und [mm]\phi[/mm] gelten muss. Schau mal, ob du die Lösung rausbekommst! Hinweis: Inverse Matrix.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 So 09.12.2007 | | Autor: | Caroline |
Also ich habe nun mit der Kettenregel folgendes herausbekommen:
$ [mm] \bruch{\partial (f*g)}{\partial r}(r,\phi) [/mm] = [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(g(r,\phi))*cos(\phi) [/mm] + [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(g(r,\phi))*sin(\phi) [/mm] $
$ [mm] \bruch{\partial (f*g)}{\partial \phi}(r,\phi) [/mm] = [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(g(r,\phi))*(r*cos(\phi)) [/mm] - [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(g(r,\phi))*(r*sin(\phi)) [/mm] $
Ich habe mir nun den Punkt (0,0) angeschaut und ich bekam raus, dass nun $ [mm] a_{r} [/mm] = 1 $ genau dies tat ich mit der 2. Gleichung und auch hier war $ [mm] b_{r} [/mm] = 1 $
Allerdings habe ich dann festgestellt, dass dies ja nicht allgemein gültig ist, sondern nur für diesen Punkt, also habe ich eigentlich gar nichts... Ich wollte das gleiche zuerst auch noch für $ [mm] a_{\phi} [/mm] $ und $ [mm] b_{\phi} [/mm] $ machen, aber da konnte ich keine 3 Terme eliminieren wie oben bei Punkt (0,0)...
Aber das bringt mich nun auch nicht weiter, gesucht ist ja (wie ich gerade festgestellt habe) eine Funktion und keine Zahl, von daher bringt mich es nicht weiter, dass für (0,0) die beiden obigen 1 sind...
Wie muss ich nun verfahren, damit ich die Funktionen herausbekomme???
LG
Caro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 So 09.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Caro!
> Also ich habe nun mit der Kettenregel folgendes
> herausbekommen:
>
> [mm]\bruch{\partial (f*g)}{\partial r}(r,\phi) = \bruch{\partial f}{\partial x}(g(r,\phi))*cos(\phi) + \bruch{\partial f}{\partial y}(g(r,\phi))*sin(\phi)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial (f*g)}{\partial \phi}(r,\phi) = \bruch{\partial f}{\partial y}(g(r,\phi))*(r*cos(\phi)) - \bruch{\partial f}{\partial x}(g(r,\phi))*(r*sin(\phi))[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie muss ich nun verfahren, damit ich die Funktionen
> herausbekomme???
Schreibe diese beiden Gleichungen als Matrixgleichung:
[mm] \vektor { \bruch{\partial (f*g)}{\partial r}(r,\phi) \\ \bruch{\partial (f*g)}{\partial \phi}(r,\phi) } =
\begin{pmatrix}
\cos\phi & \sin\phi \\
-r \sin\phi & r \cos\phi
\end{pmatrix} \vektor{ \bruch{\partial f}{\partial x}(g(r,\phi)) \\ \bruch{\partial f}{\partial y}(g(r,\phi)) [/mm]
und invertiere die Matrix.
Übrigens ist der Punkt (0,0) eine ganz schlechte Wahl, da ist die Funktion g nicht invertierbar.
Viele Grüße
Rainer
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Also ich hab nun als Lösung folgendes herausbekommen, hoffe es stimmt 
